八年級數(shù)學上冊 17.5 反證法課件 （新版）冀教版.ppt

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17 5反證法 學習目標 1 掌握反證法的證明步驟 2 能用反證法進行推理 3 學會反面說理的方法 培養(yǎng)從正反兩方面進行說理的能力 學習重點反證法的證明步驟學習難點能用反證法進行推理證明 故事說一個少婦抱著小孩回娘家 路過瓜田 遇上一個惡少調(diào)戲 少婦不從 被誣偷瓜 告到縣衙 惡少暗中用錢收買為他看瓜的地保 囑他摘三個大瓜到縣衙作證 張飛升堂審訊 問惡少 惡少說少婦偷他的瓜 有人證物證 問少婦 少婦說惡少調(diào)戲她 張飛 想了一想 佯斷少婦偷瓜 命惡少先把三個大瓜抱回去 惡少左抱右抱 怎么也抱不起來 張飛虎眉一豎 拍案而起 痛斥惡少 你堂堂男子漢 三個瓜都抱不動 她是弱女子 又抱小孩 怎能偷你三個大瓜 分明是你調(diào)戲 經(jīng)過審問 果然不錯 張飛是怎樣證明少婦無罪的呢 他運用了怎樣的推理方法 張飛斷案 假設(shè) 少婦偷瓜 少婦同時要抱小孩和三個瓜 與 惡少無法抱動三個瓜 產(chǎn)生矛盾 假設(shè) 少婦偷瓜 不成立 所以 少婦沒有偷瓜 是正確的 張飛推理方法是 從前有個聰明的孩子叫王戎 他7歲時 與小伙伴們外出游玩 看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子 小伙伴們紛紛去摘取果子 只有王戎站在原地不動 有人問王戎為什么 王戎回答說 樹在道邊而多子 此必苦李 小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李 王戎是怎樣知道李子是苦的呢 他運用了怎樣的推理方法 假設(shè) 李子甜 樹在道邊則李子少 與已知條件 樹在道邊而多子 產(chǎn)生矛盾 假設(shè) 李子甜 不成立 所以 樹在道邊而多子 此必為苦李 是正確的 王戎推理方法是 身邊的例子 媽媽 小華 聽說鄰居小芳全家這幾天在外地旅游 小華 不可能 我上午還在學校碰到了她和她媽媽呢 上述對話中 小華要告訴媽媽的命題是什么 小芳全家沒外出旅游 如何推斷該命題的正確性的 老師的困惑 一個三角形中不可能有兩個鈍角 一個三角形中最多有一個直角 還有很多呢 證明 一個三角形中不可能有兩個鈍角 已知 ABC 求證 三角形中不可能有兩個鈍角 C B A 證明 假設(shè) ABC有兩個鈍角 不妨設(shè) A和 B都是鈍角 A B 180 A B C 180 這與 三角形的內(nèi)角和是180 相矛盾 所以 我們假設(shè)三角形中可以有兩個鈍角是錯誤的 因此一個三角形中不可能有兩個鈍角 誰能幫老師解決 一個三角形中最多有一個直角 你能證明它嗎 已知 ABC求證 在 ABC中 如果它含有直角 那么它只有一個直角 A B C 證明 假設(shè) ABC中有兩個 或三個 直角 設(shè) A B 90 A B 90 A B C 180 這與 三角形的內(nèi)角和等于180 相矛盾 因此 三角形有兩個 或三個 直角的假設(shè)是不成立的 所以 如果三角形含有直角 那么它只能有一個直角 過同一直線上的三點不能作圓 已知 點A B C三點在直線L上 求證 過A B C三點不能作圓 設(shè)這個圓的圓心為P 那么點P既在線段AB的垂直平分線L1上 又在線段BC的垂直平分線L2上 即點P為L1與L2的交點 而這與我們以前學過的 過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 相矛盾 假設(shè)不成立 所以 過同一直線上的三點不能作圓 證明 假設(shè)過A B C三點可以作一個圓 用反證法證明 填空 在三角形的內(nèi)角中 至少有一個角大于或等于60 這與 相矛盾 所以 不成立 所求證的結(jié)論成立 已知 A B C是 ABC的內(nèi)角 求證 A B C中至少有一個角大于或等于60 證明 假設(shè)所求證的結(jié)論不成立 即 A 60 B 60 C 60 則 A B C 180 三角形三個內(nèi)角的和等于180 假設(shè) 試一試 求證 在同一平面內(nèi) 如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交 那么和另一條也相交 已知 直線l1 l2 l3在同一平面內(nèi) 且l1 l2 l3與l1相交于點P 求證 l3與l2相交 證明 假設(shè) 那么 因為已知 這與 矛盾 所以假設(shè)不成立 即求證的命題正確 l3與l2不相交 l3 l2 l1 l2 經(jīng)過直線外一點 有且只有一條直線平行于已知直線 所以過直線l2外一點P 有兩條直線和l2平行 用反證法證明平行線的性質(zhì)定理一 兩條平行線被第三條直線所截同位角相等 已知 如圖直線AB CD 直線EF分別與直線AB CD交于點G H 1和 2是同位角 求證 1 2 A B C D E G H F 1 2 兩條平行線被第三條直線所截 同位角相等 已知 如圖 只想AB CD 直線EF分別于直線AB CD交于點G H 1和 2是同位角 求證 1 2 證明 假設(shè) 1 2 過點G作直線MN 使得 EGN 1 EGN 1 MN CD 基本事實 又 AB CD 已知 過點G有兩條不同的直線AB和MN都與直線CD平行 這與 經(jīng)過已知直線外一點 有且只有一條直線與已知直線平行 相矛盾 1 2的假設(shè)是不成立的 因此 1 2 1 2 F C M A G E H D N B 推理過程 原結(jié)論是正確的 命題中的結(jié)論不成立 相矛盾的定理原來是它 求證 在同一平面內(nèi) 如果兩條直線都和第三條直線平行 那么這兩條直線也互相平行 定理 不用反證法證明 已知 如圖 l1 l2 l2 l3 求證 l1 l3 l B l1 l2 l2 l3 已知 2 1 1 3 兩直線平行 同位角相等 證明 作直線l 分別與直線l1 l2 l3交于于點A B C 2 3 等式性質(zhì) l1 l3 同位角相等 兩直線平行 l C A 用反證法證明直角三角形全等的 斜邊 直角邊 定理 求證 ABC A B C 不妨設(shè)BC B C A B C A B C D 在B C 上截取C D CB 連接A D 在 ABC和 A DC 中 AC A C C C CB C D ABC A D C SAS AB A D 全等三角形的對應(yīng)邊相等 AB A B 已知 A B A D 等量代換 B A DB 等邊對等角 A DB 90 三角形內(nèi)角和定理 即 C A DB 90 三角形的外角大于和它不相鄰的內(nèi)角 這與 C 90 相矛盾 因此 BC B C 的假設(shè)不成立 即 ABC與 A B C 不全等的假設(shè)不成立 所以 ABC A D C 用反證法證明一個命題是真命題的一般步驟是 第一步 假設(shè)命題的結(jié)論不成立 第二步 從這個假設(shè)和其他已知條件出發(fā) 經(jīng)過推理論證 得出與學過的概念 基本事實 已證明的定理 性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果 第三步 有矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不成立 從而說明命題的結(jié)論是正確的 反證法的一般步驟 假設(shè)命題結(jié)論不成立 假設(shè)不成立 假設(shè)命題結(jié)論反面成立 與已知條件矛盾 假設(shè) 推理得出的結(jié)論 與定理 定義 基本事實矛盾 所證命題成立 常用的互為否定的表述方式 是 存在 平行 垂直 等于 都是 大于 小于 至少有一個 至少有三個 至少有n個 至多有一個 三角形中最多有一個是直角 不是 不存在 不平行 不垂直 不等于 不都是 不大于 不小于 一個也沒有 至多有兩個 至多有 n 1 個 至少有兩個 三角形中有兩個或三個角是直角 鞏固練習 用反證法證明下列命題 1 垂直于同一條直線的兩條直線平行2 兩條直線相交 有且只有一個交點 3 如果兩條直線都平行與第三條直線 那么著兩條直線也互相平行 學以致用 1 用反證法證明 三角形的三個內(nèi)角中 至少有一個內(nèi)角小于或等于60 證明 假設(shè)三角形的三個內(nèi)角都大于60度 即 A60 B60 C60 則 A B C 這與相矛盾 不成立 180 三角形的內(nèi)角和是180 三角形的三個內(nèi)角都大于60 三角形的三個內(nèi)角中 至少有一個內(nèi)角小于或等于60 2 如圖 已知AB EF于M CD EF于N 用反證法證明 AB CD G D C A B E F H N M 證明 假設(shè)AB與CD不平行 過N作GH AB GH AB AME GNE AB EF AME 90 GNE 90 GH EF 又 CD EF 過點N有兩條直線CD和GH都與直線EF垂直 這與 經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 相矛盾 AB與CD不平行的假設(shè)是不成立的 因此 AB CD 如圖 在 ABC中 若 C是直角 那么 B一定是銳角 3 你能用反證法證明以下命題嗎 證明 假設(shè)結(jié)論不成立 則 B是 或 這與 矛盾 當 B是 時 則 這與 矛盾 直角 鈍角 直角 B C 180 三角形的三個內(nèi)角和等于180 鈍角 B C 180 三角形的三個內(nèi)角和等于180 當 B是 時 則 綜上所述 假設(shè)不成立 B一定是銳角 4 說出下列各結(jié)論的否定面 1 a b 2 a b 3 b是正數(shù) 4 a b 5 至少有一個 6 至多有一個 a不平行于b a b b是0或負數(shù) a不垂直于b 一個也沒有 至少有兩個 課堂小結(jié) 本節(jié)課你學會了哪些知識 1 怎樣的證明方法叫反證法 2 用反證法證明一個命題的一般步驟是什么 假設(shè)結(jié)論的反面正確 推理論證 得出結(jié)論 回顧與歸納 反證法 反設(shè) 歸謬 結(jié)論 再見