蘇科版八年級上冊數(shù)學(xué) 第四章數(shù)學(xué)活動 有關(guān)“實數(shù)”的課題研究教案

數(shù)學(xué)活動有關(guān)實數(shù)的課題研究一、 教學(xué)內(nèi)容：九年制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書 數(shù)學(xué)蘇科版八年級上冊第四單元實數(shù)中的數(shù)學(xué)活動有關(guān)實數(shù)的課題研究 二、 創(chuàng)新之處：課前通過希沃平臺，給學(xué)生在線布置預(yù)習(xí)作業(yè)，預(yù)習(xí)更便捷，以學(xué)定教，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計；課中用希沃授課助手的拍照功能及時上傳照片反饋學(xué)生的實驗結(jié)果，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并通過帶有游戲性質(zhì)的討論、互動、搶答等方式，讓更多的學(xué)生參與課堂互動，學(xué)生的解答及時反饋，老師現(xiàn)場了解薄弱點(diǎn)，當(dāng)堂鞏固。還運(yùn)用班級優(yōu)化大師管理學(xué)生，給與不同的評價，激發(fā)學(xué)生的好勝心和創(chuàng)造力，后臺生成的數(shù)據(jù)自動記錄、歸檔和計算，形成大數(shù)據(jù)的分析報表可反饋給家長和老師，十分高效。課后為不同層次學(xué)生布置針對性的作業(yè)，反饋細(xì)致，批改作業(yè)高效，有效提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。三、 教材分析：本節(jié)課的內(nèi)容具有承上啟下的作用。學(xué)生在這之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)和勾股定理及其逆定理，初步積累了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，在此基礎(chǔ)上，教材的數(shù)學(xué)活動課題研究鼓勵學(xué)生動手實踐、合作研究、小組談?wù)?，通過親自實驗，體驗獲得數(shù)學(xué)知識的樂趣，教材給學(xué)生自主探索留有很大的空間，學(xué)生可以充分發(fā)揮想象。四、 學(xué)情分析：學(xué)生在七年級通過生活中的事例已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)系的第一次擴(kuò)充，從非負(fù)有理數(shù)到負(fù)有理數(shù)的擴(kuò)充，從而擴(kuò)充到整個有理數(shù)范圍，本節(jié)從有理數(shù)擴(kuò)充無理數(shù)，學(xué)生理解起來有一定的難度，可以從實例出發(fā)，引入無理數(shù)。而且通過第三章勾股定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決簡單的問題，為引入“新數(shù)”奠定了基礎(chǔ)同時學(xué)生對于剪切這樣的活動已經(jīng)具備基本的能力，并且比較感興趣，也開闊了學(xué)生的發(fā)散思維能力。五、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：通過設(shè)計的一系列的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生感受無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景和引入的必要性；能判斷給出的數(shù)是否為有理數(shù)（無理數(shù)），并能說出理由。2、過程與方法：通過拼圖等一系列數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生感受無理數(shù)存在的必要性和合理性，培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐能力和團(tuán)隊合作精神；通過回顧有理數(shù)的有關(guān)知識，讓學(xué)生能正確地進(jìn)行推理和判斷，識別某些數(shù)是否為有理數(shù)，訓(xùn)練他們的思維判斷能力。3、情感態(tài)度與價值觀：激勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情；引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行交流、討論與探索等數(shù)學(xué)活動，培養(yǎng)他們合作與鉆研精神；了解有關(guān)無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的知識，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的精神。六、教學(xué)重難點(diǎn)及突破：重點(diǎn)：讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，感受生活中確實存在著不同于有理數(shù)的數(shù)；讓學(xué)生理解無理數(shù)的概念，并學(xué)會判斷一個數(shù)是否為有理數(shù)（無理數(shù)）。難點(diǎn)：把兩個邊長為1的正方形拼成一個大的正方形的動手操作過程，用逐次逼近法估算無理數(shù)的過程，判斷一個數(shù)是否為有理數(shù)（無理數(shù)）。教學(xué)突破：通過設(shè)計一系列數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生逐步感受非有理數(shù)構(gòu)造非有理數(shù)估算無理數(shù)，有效分解了本節(jié)課的重難點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，感受生活中確實存在著不同于有理數(shù)的數(shù)。七、 教學(xué)方法：引導(dǎo)探究法教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.。八、教學(xué)過程：8.1實驗活動探究一：拼正方形之合二為一如圖1是兩個邊長為1的正方形，你能通過剪一剪、拼 一拼，設(shè)法得到一個大的正方形嗎？請同學(xué)們利用兩張正方 形紙片完成探索。探索完成后請思考以下三個問題。（1）設(shè)大正方形的邊長為a,則a滿足什么條件？（2）a可能是整數(shù)嗎？請說出你的理由；（3）a可能是分?jǐn)?shù)嗎？請說出你的理由。實驗探究報告一樣例圖1如圖1是兩個邊長為1的正方形，你能通過剪一剪、拼一拼，設(shè)法得到一個大的正方形嗎？請將你的探索得到的拼圖畫在下方。1111（1）設(shè)大正方形的邊長為a,則a滿足的條件是_；（3）a可能是分?jǐn)?shù)嗎？請說明你的理由。（2）a可能是整數(shù)嗎？請說明你的理由。實驗結(jié)論：實驗設(shè)計流程：Step1 首先讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的兩個邊長為1的正 方形紙片和剪刀，獨(dú)立思考之后，動手剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個面積為2的正方形.然后再小組交流、討論，形成共識并對拼圖結(jié)果進(jìn)行展示，學(xué)生的做法可能有多種如圖2所示。 圖2 、Step2通過問題（1）讓學(xué)生得出a滿足條件a2 = 2,然后通過問題（2）適時引導(dǎo)學(xué)生對整數(shù)的平方如12 = 1, 22 = 4,進(jìn)行觀察，得出結(jié)論：a應(yīng)在1和2之間，所以a不可能是整數(shù)(也可以利用拼圖結(jié)果中三角形三邊之間的關(guān)系說明1 < a <2進(jìn)而說明a不可能是整數(shù))，緊接著利用問題(3)繼續(xù)追問并適時引導(dǎo)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的平方如 ，進(jìn)行觀察，得出結(jié)論：兩個相同的最簡分?jǐn)?shù)的乘積仍然是分?jǐn)?shù)，所以a不可能是分?jǐn)?shù)。Step3 通過以上三問發(fā)現(xiàn)歸納出實驗結(jié)論：任何整數(shù)的平方還是整數(shù)，任何最簡分?jǐn)?shù)的平方還是一個分?jǐn)?shù)。因此，a 既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，即a不是有理數(shù)。實驗設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生通過動手拼圖、觀察、計算、思考、交流，感受無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，感知生活中存在著不同于有理數(shù)的數(shù)，即無理數(shù)。8.2實驗探究二：尋找非有理數(shù)1、如圖3，請你計算以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少?設(shè)該正方形的邊長為b，則b應(yīng)滿足什么條件?b是有理數(shù)嗎?2、如圖4是由16個邊長為1的小正方形拼成的，任意連接這些小正方形的若干個頂點(diǎn)，可以得到一些線段，試分別找出兩條長度是有理數(shù)的線段和三條長度不是有理數(shù)的線段。2b2122圖3b圖42.如圖是由16個邊長為1的小正方形拼成的，任意連接這些小正方形的若干個頂點(diǎn)，可以得到一些線段，你能找出三條長度不是有理數(shù)的線段嗎？1.（1）如圖3，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是_；（2）設(shè)正方形的邊長為b，則b應(yīng)滿足條件_；（3）b是有理數(shù)嗎？_。實驗研究報告二樣例實驗設(shè)計流程Step1首先利用問題1讓學(xué)生借助勾股定理得出以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是5，該正方形的邊長b應(yīng)滿足條件b2 = 5,然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實驗探究一的分析方法進(jìn)行小組合作交流、討論，得出2 <b< 3 (可提示學(xué)生結(jié)合直角三角形斜邊大于任一直角邊以及三角形三邊關(guān)系得到)，從而得出b不是有理數(shù)的結(jié)論。Step2然后利用問題2引導(dǎo)學(xué)生在方格紙上獨(dú)立思考構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理尋找不是有理數(shù)的線段，再小組交流、討論，達(dá)成共識后對部分同學(xué)的結(jié)果進(jìn)行展示。實驗設(shè)計意圖進(jìn)一步豐富無理數(shù)的實際背景，以幾何圖形為載體，借助勾股定理讓學(xué)生親歷無理數(shù)的尋找過程，體會到無理數(shù)在現(xiàn)實生活中大量存在，同時增添知識的趣味性，提髙學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。8.3實驗探究三：感受非有理數(shù)1、 請同學(xué)們把表示成小數(shù)的形式，觀察其小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？2、 請同學(xué)們再自行寫兩個分?jǐn)?shù)，并將它化為小數(shù)的形式，觀察其小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字，是否仍具有問題1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？實驗探究報告三樣例1.請同學(xué)們把表示成小數(shù)的形式，觀察其小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?3=_,， 我的發(fā)現(xiàn)： 我的發(fā)現(xiàn)：2.請同學(xué)們再自行寫兩個分?jǐn)?shù)，并將它化為小數(shù)的形式，觀察其小數(shù)點(diǎn)的數(shù)字，是否仍具有問題1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？_=_；_=_.結(jié)論：獲取新知：實驗設(shè)計流程Step1首先讓學(xué)生把問題1中提供的幾個有理數(shù)化為小數(shù)形式，引導(dǎo)學(xué)生觀察這幾個小數(shù)的特征，得出這幾個有理數(shù)可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式。Step2然后利用問題2讓學(xué)生自行構(gòu)造分?jǐn)?shù)，并化為小數(shù)形式，通過觀察發(fā)現(xiàn)其仍具有問題1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律后，再小組交流討論，讓學(xué)生感受到不同的分?jǐn)?shù)都能化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式。從而明確有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，同時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式。從而得出結(jié)論：有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示。反過來，任何有限小數(shù) 或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。讓學(xué)生在腦海中建立有理數(shù) 與“有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)”的對應(yīng)關(guān)系。Step3最后通過獲取新知“無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù). 例如我們十分熟悉的圓周率 = 3.14159265.就是一個無限不循環(huán)小數(shù)，因此它是個無理數(shù)自然就引出了無理數(shù)的概念。實驗設(shè)計意圖通過讓學(xué)生動手計算、觀察歸納、合作交流，把不同的有理數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)，進(jìn)而總結(jié)出有理數(shù)都可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，從而得出無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，因為它們化不成整數(shù)或分?jǐn)?shù)，也就不是有理數(shù)，從而引出新知無理數(shù)的概念。8.4實驗探究四：構(gòu)造無理數(shù)1、 兩人一組，合作進(jìn)行擲十面體骰子實驗:一人負(fù)責(zé)擲骰子，另一人負(fù)責(zé)記錄骰子擲出的點(diǎn)數(shù)。將第一次擲出的點(diǎn)數(shù)作為整數(shù)位，其后擲出的點(diǎn)數(shù)依次寫在小數(shù)位，即可寫出 一個不斷延伸的小數(shù)。請將你的實驗數(shù)據(jù)填寫在實驗記錄表中。如果骰子不斷的擲下去，那么將會得到一個無限小數(shù)，那么這個無限小數(shù)有何特點(diǎn)？它是無理數(shù)嗎？2、請觀察無限小數(shù)0.585885888588885 （其構(gòu)造方法為，相鄰兩個5之間的8的個數(shù)逐次加1），那么這個無限小數(shù)有何特點(diǎn)？它是無理數(shù)嗎？你能根據(jù)類似方法構(gòu)造一個這樣的數(shù)嗎？實驗探究報告四樣例1.兩人一組，合作進(jìn)行擲十面骰子實驗：一人負(fù)責(zé)擲骰子，另一人負(fù)責(zé)記錄骰子擲出的點(diǎn)數(shù)，將第一次擲出的點(diǎn)數(shù)記為整數(shù)位，其后擲出的點(diǎn)數(shù)依次寫在小數(shù)位，即可寫出一個不斷延續(xù)的小數(shù)。實驗記錄表（建議拋擲20次）如果骰子不斷地擲下去，那么將會得到一個無線小數(shù)，那么這個小數(shù)有何特點(diǎn)？它是無理數(shù)嗎？你能根據(jù)類似方法構(gòu)造一個這樣的數(shù)嗎？2.請觀察無限小數(shù)0.585885888588885 （其構(gòu)造方法為相鄰兩個5之間的8個數(shù)逐次加1），那么這個無限小數(shù)有何特點(diǎn)？它是無理數(shù)嗎？實驗設(shè)計流程 Step1首先讓學(xué)生兩人一組，合作進(jìn)行擲十面體骰子實驗，讓學(xué)生親身感受擲出的點(diǎn)數(shù)是沒有任何規(guī)律可循的，如果骰子不斷的擲下去，那么將會得到一個無限小數(shù)，而這樣的小數(shù)是不循環(huán)的，從而得出結(jié)論：通過這種方式構(gòu)造的數(shù)是一個無理數(shù).通過這個實驗活動使學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)的構(gòu)造過程，加深對無理數(shù)無限不循環(huán)這一特征的認(rèn)識。Step2讓學(xué)生通過觀察無限小數(shù)0.585885888588885 （其構(gòu)造方法為，相鄰兩個5之間的8的個數(shù)逐次加1）讓學(xué)生明確，雖然這類小數(shù)的數(shù)字有規(guī)律可循，但卻不是循環(huán)的，從而也是無理數(shù)。最后激勵學(xué)生利用這種方法去構(gòu)造一個無理數(shù)，使其更加全面的認(rèn)識無理數(shù)的概念。實驗設(shè)計意圖 通過讓學(xué)生擲骰子寫小時，構(gòu)造像0.58588588 這樣的小數(shù)，體會無限不循環(huán)小數(shù)是真實存在的，而且按照以上兩種方法很容易就可以構(gòu)造出來。讓學(xué)生通過這個實驗活動更加全面的認(rèn)識無理數(shù)的概念。8.5實驗探究五：估算無理數(shù)的近似值為了探索出面積為2的正方形的邊長a的值究竟是多 少，小明利用Excel軟件的計算功能進(jìn)行了一系列的探索，他的探索過程如下:1<a<2首先，他通過實驗探究一知道，面積為2的正方形的邊長a的大小介于1與2之間，即1 < a < 2。從而獲知 a的整數(shù)部分是1，為了確定a的十分位上的數(shù)字，小明利用Excel軟件的計算功能分別計算了 1至2中的9個數(shù)字 1.1，1.2，1.3， ，1.9的平方，如下表1：1.11.21.31.41.51.61.71.81.9a21.211.441.691.962.252.562.893.243.61與2比較<< < < > > > > > 表1從表1可知1.42=1.96<2,1.52=2.25>2,所以，1.4 < a < 1.5。即a的十分位上的數(shù)字是4。1.4<a<1.5緊接著為了確定a的百分位上的數(shù)字，小明再次利用 Excel軟件的計算功能分別計算了 1.4至1.5中的9個數(shù)字 1.41，1.42，1.43，1.49的平方，如下表2：1.411.421.431.441.451.461.471.481.49a21.98812.01642.04492.07362.10252.13162.16092.19042.2201與2比較<< < < > > > > >表2從表2可知 1.412 = 1.9881 < 2，1.422 = 2.016 > 2,所以，1.41 <a< 1.42。即a的百分位上的數(shù)字是1。 小明利用這種方法將他的探索結(jié)果整理如下表3所示：邊長a面積S = a2 =21 <a< 21 <S< 41.4 < a < 1.51.96 <S < 2.251.41 <a< 1.421.9881 <S < 2.01641.414 <a< 1.4151.999396 <S < 2.0022251.4142 <a< 1.41431.99996164 <S < 2.00024449 表3小明發(fā)現(xiàn)這一探索過程可以永無止境的進(jìn)行下去，a = 1.41421356 是一個無限不循環(huán)小數(shù)。請同學(xué)們參考小明的方法估計面積為5的正方形的邊長b的值，要求結(jié)果精確到0.001。（如果課上時間來不及，可放在課后供同學(xué)們自主探究）實驗報告樣例如下表4所示：班級姓名學(xué)號實驗課題成績估計面積為5的正方形的邊長b的值面積為5的正方形的邊長b介于_與_之間，其整數(shù)位是_。2. 表4.1計算b的十分位上的數(shù)字_<b<_b2與5比較從表1中得出結(jié)論：_3. 表4.2計算b的百分位上的數(shù)字_<b<_b2與5比較從表2中得出結(jié)論：_4. 表4.3計算b的千分位上的5. 數(shù)字_<b<_b2與5比較從表3中得出結(jié)論：_5. 表4.4計算b的萬分位上的數(shù)字_<b<_b2與5比較從表4中得出結(jié)論：_綜上實驗現(xiàn)象可知，面積為5的正方形的邊長b的值精確到0.001的值為_表4實驗設(shè)計流程Step1首先讓學(xué)生獨(dú)自閱讀小明的探索方法，體會逐次逼近法的思想原理，相互交流各自的感悟。Step2給學(xué)生演示如何利用Excel軟件的計算功能快速地進(jìn)行計算。Step3指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實驗，并完成實驗報告。實驗設(shè)計意圖通過利用逐次逼近法對面積為2的正方形的邊長a這一無理數(shù)的值進(jìn)行估算讓學(xué)生體會無限逼近的數(shù)學(xué)思想。讓學(xué)生明白當(dāng)用“逐次逼近法”來解決一個數(shù)學(xué)問題時，首先從一個與該問題的實質(zhì)內(nèi)容有著本質(zhì)聯(lián)系的較大范圍開始進(jìn)行解決，再逐步縮小范圍，逐步逼近，以致最后達(dá)到問題所要求的解。最后通過讓學(xué)生進(jìn)行上機(jī)實驗求解面積為5的正方形的邊長6的近似值這一實踐活動，加深學(xué)生對無限逼近的數(shù)學(xué)思想理解。3.小結(jié)與思考：本文通過設(shè)計一系列的數(shù)學(xué)實驗活動，旨在吸引學(xué)生自己動手實驗、觀察發(fā)現(xiàn)、猜想驗證，合作交流，在已有的對有理數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上去發(fā)現(xiàn)新知識無理數(shù)，探索無理數(shù)的特征，在實驗中讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程，尋找數(shù)學(xué)問題的 規(guī)律，以期達(dá)到提髙學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納及創(chuàng)新思維的能力的目的。八、 教學(xué)探討與反思：· 本節(jié)課借助尋找正方形邊長這一“現(xiàn)實生活中的實例”，讓學(xué)生通過估計、借助計算器進(jìn)行探索、討論等途徑，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，體會無限逼近的數(shù)學(xué)思想，得到無理數(shù)的概念；可能在教學(xué)實施過程中，對基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生和班級，這一探索過程所需時間較長，會影響后面環(huán)節(jié)的進(jìn)行，但感知過程是學(xué)生理解無理數(shù)這一抽象概念所必需的，所以絕對不能淡化。讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能將抽象的知識形象具體化，復(fù)雜知識體系化.同時引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知、探索新知，形成一定的數(shù)學(xué)探究能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分類和歸納的思想，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)。但對概念的理解掌握一些同學(xué)還不很到位，只能在以后的教學(xué)過程中不斷的加深。 8 / 8