2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 2.9指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)教案設(shè)計(jì)(3)新人教A版

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1、2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 2.9指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)教案〔3〕 新人教A版 考情分析 考點(diǎn)新知 ① 對(duì)數(shù)函數(shù)在高考中的考查主要是圖象和性質(zhì)，同時(shí)考查數(shù)學(xué)思想方法，以考查分類討論與運(yùn)算能力為主；考查形式主要是填空題，同時(shí)也有綜合性較強(qiáng)的解答題出現(xiàn)，目的是結(jié)合其他章節(jié)的知識(shí)，綜合進(jìn)展考查. ②冪函數(shù)的考查較為根底，以常見的5種冪函數(shù)為載體，考查求值、單調(diào)性、奇偶性、最值等問題是高考命題的出發(fā)點(diǎn)． ① 理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn). ②知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. ③了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的相互關(guān)系(a>0

2、，a≠1). ④了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x－2的圖象，了解它們的變化情況. 1. (必修1P112測(cè)試8改編)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)，假如f(2)>f(3)，如此實(shí)數(shù)a的取值X圍是________． 答案：(0，1) 解析：因?yàn)閒(2)>f(3)，所以f(x)＝logax單調(diào)遞減，如此a∈(0，1)． 2. (必修1P89練習(xí)3改編)假如冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，如此f(25)＝________． 答案： 解析：設(shè)f(x)＝xα，如此＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝. 3. (必修1P1

3、11習(xí)題15改編)函數(shù)f(x)＝ln是________(填“奇〞或“偶〞)函數(shù)． 答案：奇 解析：因?yàn)閒(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)． 4. (必修1P87習(xí)題13改編)不等式lg(x－1)<1的解集為________. 答案：(1，11) 解析：由0

4、x圖象可得． 1. 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義 一般地，我們把函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)． 2. 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 00；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)<0 (4) 當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)>0 (5)是(0，＋∞)上的增函數(shù) (5)是(0，＋∞)上的減函數(shù) 3. 冪函數(shù)的定義 形如y

5、＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)． 4. 冪函數(shù)的圖象 5. 冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)特 征性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定義域 R R R {x|x≥0} {x|x∈R且x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 (－∞，0]減， [0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)減，(0，＋∞)減 定點(diǎn) (1，1) [備課札記] 題型1　對(duì)數(shù)函數(shù)的概

6、念與性質(zhì) 例1　(1) 設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差是，如此a＝________； (2) 假如a＝log0.40.3，b＝log54，c＝log20.8，用小于號(hào)“<〞將a、b、c連結(jié)起來________； (3) 設(shè)f(x)＝lg是奇函數(shù)，如此使f(x)<0的x的取值X圍是________； (4) 函數(shù)f(x)＝|log2x|，正實(shí)數(shù)m、n滿足m

7、解析：(1) ∵ a>1，∴函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a，2a]上是增函數(shù)，∴ loga2a－logaa＝，∴ a＝4. (2) 由于a>1，01，且mn＝1，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，解得m＝， 所以n＝2. (1) 設(shè)loga＜1，如此實(shí)數(shù)a的取值X圍是________； (2) 函數(shù)f(x)＝lg(x2＋t)的值域?yàn)镽，如此實(shí)數(shù)t的取值X圍是________；

8、 (3) 假如函數(shù)f(x)＝loga|x＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，如此函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是________； (4) 假如函數(shù)f(x)＝log(x2－2ax＋3)在(－∞，1]內(nèi)為增函數(shù)，如此實(shí)數(shù)a的取值X圍是________． 答案：(1) 0＜a＜或a＞1　(2) a≤0　(3) (－1，＋∞)　(4) [1，2) 解析：(1) 分a＞1與a＜1兩種情形進(jìn)展討論． (2) 值域?yàn)镽等價(jià)于x2＋a可以取一切正實(shí)數(shù)． (3) 函數(shù)f(x)的圖象是由y＝loga|x|的圖象向左平移1個(gè)單位得到，∴ 0

9、2. 題型2　冪函數(shù)的概念與性質(zhì) 例2　冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)． (1) 求m的值； (2) 求滿足不等式(a＋1)－<(3－2a)－的實(shí)數(shù)a的取值X圍． 解：(1) 因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3m－9在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以3m－9<0，所以m<3. 因?yàn)閙∈N*，所以m＝1或2. 又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以3m－9是偶數(shù)，所以m＝1. (2) 不等式(a＋1)－<(3－2a)－即為(a＋1)－<(3－2a)－. 結(jié)合函數(shù)y＝x－的圖象和性質(zhì)知： a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a. 解得

10、a<－1或

11、一個(gè)公共點(diǎn)，某某數(shù)a的取值X圍． 解：(1) 由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可知f(x)＝f(－x)， ∴ log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx. log4＝－2kx，即x＝－2kx對(duì)一切x∈R恒成立， ∴ k＝－. (2) 函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一個(gè)實(shí)根，化簡(jiǎn)得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一個(gè)實(shí)根．令t＝2x>0，如此方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一個(gè)正根． ①a＝1t＝－，不合題意；②a≠1時(shí)，Δ＝0a＝或－3.假如a＝t＝－2，不合題意，假如a＝－3t＝；③a≠1時(shí)，

12、Δ>0，一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根，即<0a>1. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值X圍是{－3}∪(1，＋∞)． 函數(shù)f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)． (1) 求函數(shù)y＝f(x)的定義域； (2) 在函數(shù)y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使過此兩點(diǎn)的直線平行于x軸； (3) 當(dāng)a、b滿足關(guān)系時(shí)，f(x)在區(qū)間上恒取正值． 解：(1) 由ax－bx>0，得x>1，因?yàn)閍>1>b>0，所以>1，所以x>0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． (2) 設(shè)x1>x2>0，因?yàn)閍>1>b>0，所以ax1>ax2，bx1－bx2，所以ax1－bx1>ax2

13、－bx2>0，于是lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，即f(x1)>f(x2)，因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)．假設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直線AB平行于x軸，即x1≠x2，y1＝y(tǒng)2，這與f(x)是增函數(shù)矛盾．故函數(shù)y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點(diǎn)，使過此兩點(diǎn)的直線平行于x軸． (3) 由(2)知，f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以當(dāng)a≥b＋1時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上恒取正值．

14、 1. (2013·南師大模擬)函數(shù)f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0，假如對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，如此c的取值X圍是________． 答案：c≥ 解析：由題意，在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥. 2. (2013·某某)函數(shù)f(x)＝ln＋1，如此f(lg2)＋f＝________． 答案：2 解析：f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝2，所以f(lg2)＋f＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2. 3. (2013·某某檢測(cè))x＋(log0.5)－y<(－y)＋(log0.5)x，

15、如此實(shí)數(shù)x、y的關(guān)系為________． 答案：x＋y<0 解析：由x＋(log0.5)－y<(－y)＋(log0.5)x，得x－(log0.5)x<(－y)－(log0.5)－y.設(shè)f(x)＝x－(log0.5)x，如此f(x)0，由af2(x)≥f(x)－1，得a≥＝－＝－≤(當(dāng)且僅當(dāng)f(x)＝2時(shí)等號(hào)成立)，所以

16、實(shí)數(shù)a的最小值為. 1. 假如函數(shù)f(x)＝log2|ax－1|(a＞0)，當(dāng)x≠時(shí)，有f(x)＝f(1－x)，如此a＝________． 答案：2 解析：由f(x)＝f(1－x)，知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝對(duì)稱， 而f(x)＝log2＋log2|a|，從而＝，所以a＝2. 2. 函數(shù)f(x)＝x，x∈[－1，8]，函數(shù)g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]，假如存在x∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，如此實(shí)數(shù)a的取值X圍是________． 答案：∪[1，＋∞) 解析：分別作出函數(shù)f(x)＝x，x∈[－1，8]與函數(shù)g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]的圖象．當(dāng)直線

17、經(jīng)過點(diǎn)(－1，1)時(shí)，a＝1；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(8，4)時(shí)，a＝.結(jié)合圖象有a≤或a≥1. 3. 函數(shù)f(x)＝|lgx|，假如0f(1) ＝1＋2＝3，即a＋2b的取值X圍是(3，＋∞)． 4. 兩條直線l1：y＝m和l2：y＝，l1與函數(shù)y＝|log2x|的圖象從左

18、至右相交于點(diǎn)A、B，l2與函數(shù)y＝|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C、D.記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a、b.當(dāng)m變化時(shí)，求的最小值． 解：由題意得xA＝m，xB＝2m，xC＝，xD＝2，所以a＝|xA－xC|＝，b＝|xB－xD|＝，即＝＝2·2m＝2＋m. 因?yàn)椋玬＝(2m＋1)＋－≥2－＝，當(dāng)且僅當(dāng)(2m＋1)＝ ，即m＝時(shí)取等號(hào)．所以，的最小值為2＝8. 1. 指數(shù)函數(shù)的底數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)、真數(shù)應(yīng)滿足的條件，是求解有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題時(shí)必須予以重視的，如果底數(shù)含有參數(shù)，一般需分類討論． 2. 與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解步驟 (1) 確定定義域； (2) 把復(fù)合函數(shù)分解為幾個(gè)初等函數(shù)； (3) 確定各個(gè)根本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (4) 根據(jù)“同增異減〞判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．