高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：64 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 Word版含解析

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1、 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．(2019·泉州模擬)在下列各圖中，兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是(　　) (1)　　　　(2)　　　　(3)　　　(4) A．(1)(2)　　　　 B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3) D　[(1)是函數(shù)關(guān)系，(4)不具有相關(guān)關(guān)系，排除A，B，C，故選D.] 2．(2019·肇慶模擬)如圖是相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖，現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程y＝b1x＋a1，相關(guān)系數(shù)為r1；方案二：剔除點(diǎn)(10,21)，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程y＝b

2、2x＋a2，相關(guān)系數(shù)為r2.則(　　) A．0＜r1＜r2＜1 B．0＜r2＜r1＜1 C．－1＜r1＜r2＜0 D．－1＜r2＜r1＜0 D　[根據(jù)相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖知，變量x，y具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，且點(diǎn)(10,21)是離群值； 方案一中，沒剔除離群值，線性相關(guān)性弱些，成負(fù)相關(guān)； 方案二中，剔除離群值，線性相關(guān)性強(qiáng)些，也是負(fù)相關(guān)． 所以相關(guān)系數(shù)－1＜r2＜r1＜0.故選D.] 3．(2019·石家莊二模)現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一時(shí)面臨著選科的問題，學(xué)校抽取了部分男、女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個(gè)等高堆積條形圖： 根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列哪個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論是不正確的

3、(　　) A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量 B．樣本中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量 C．樣本中的男生偏愛兩理一文 D．樣本中的女生偏愛兩文一理 D　[由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，男生偏愛兩理一文，女生中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，故選D.] 4．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其線性回歸方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，則實(shí)數(shù)的值是(　　) A. B. C. D. B　[依

4、題意可知樣本點(diǎn)的中心為，則＝×＋，解得＝.] 5．(2019·中原六校聯(lián)考)某醫(yī)療所為了檢查新開發(fā)的流感疫苗對(duì)甲型H1N1流感的預(yù)防作用，把1 000名注射疫苗的人與另外1 000名未注射疫苗的人半年的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種疫苗不能起到預(yù)防甲型H1N1流感的作用”，并計(jì)算得P(χ2≥6.635)≈0.01，則下列說法正確的是(　　) A．這種疫苗能起到預(yù)防甲型H1N1流感的有效率為1% B．若某人未使用疫苗則他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1流感 C．有99%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防甲型H1N1流感的作用” D．有1%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防甲型H1N

5、1流感的作用” C　[因?yàn)镻(χ2≥6.635)≈0.01，這說明假設(shè)不合理的程度為99%，即這種疫苗不能起到預(yù)防甲型H1N1流感的作用不合理的程度約為99%，所以有99%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防甲型H1N1流感的作用”，故選C.] 二、填空題 6．(2019·湖南衡陽聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩個(gè)變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 則________同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性

6、相關(guān)性． 丁　[r越大，m越小，線性相關(guān)性越強(qiáng)．] 7．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程＝0.67x＋54.9. 零件數(shù)x/個(gè) 10 20 30 40 50 加工時(shí)間y/min 62 75 81 89 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________． 68　[由＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75. 設(shè)表中的“模糊數(shù)字”為a， 則62＋a＋75＋81＋89＝75×5，即a＝68.] 8．某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把50

7、0名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得χ2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是________． ①有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；④這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%. ①　[χ2≈3.918＞3.841，而P(χ2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”．要注意我們檢驗(yàn)的假設(shè)是否成

8、立和該血清預(yù)防感冒的有效率是沒有關(guān)系的，不是同一個(gè)問題，不要混淆．] 三、解答題 9．經(jīng)調(diào)查，3個(gè)成年人中就有一個(gè)高血壓，那么什么是高血壓？血壓多少是正常的？經(jīng)國際衛(wèi)生組織對(duì)大量不同年齡的人群進(jìn)行血壓調(diào)查，得出隨年齡變化，收縮壓的正常值變化情況如表所示． 年齡x 28 32 38 42 48 52 58 62 收縮壓y (單位：mm Hg) 114 118 122 127 129 135 140 147 其中＝，＝－，x＝17 232， xiyi＝47 384. (1)請(qǐng)畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出

9、y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋；(，的值精確到0.01) (3)若規(guī)定，一個(gè)人的收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的0.9～1.06倍，則為血壓正常人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.06～1.12倍，則為輕度高血壓人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.12～1.20倍，則為中度高血壓人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.20倍及以上，則為高度高血壓人群．一位收縮壓為180 mmHg的70歲的老人，屬于哪類人群？ [解]　(1)畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示． (2)＝＝45， ＝＝129， ∴＝＝＝≈0.91， ＝－＝129－0.91×45＝88.05， ∴回歸直線方程＝0.91x＋88.05. (3)根據(jù)回歸直線方程的預(yù)測(cè)，年

10、齡為70歲的老人標(biāo)準(zhǔn)收縮壓為0.91×70＋88.05＝151.75(mgHg)， ∵≈1.19， 且1.12＜1.19＜1.20， ∴收縮壓為180 mmHg的70歲老人屬于中度高血壓人群． 10．(2019·清華大學(xué)附中三模)手機(jī)廠商推出一款6寸大屏手機(jī)，現(xiàn)對(duì)500名該手機(jī)使用者(200名女性、300名男性)進(jìn)行調(diào)查，對(duì)手機(jī)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分的頻數(shù)分布表如下： 女性 用戶 分值區(qū)間 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 20 40 80 50 10 男性 用戶 分值區(qū)間 [50,60) [60,70

11、) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 45 75 90 60 30 (1)完成下列頻率分布直方圖，并比較女性用戶和男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大小(不計(jì)算具體值，給出結(jié)論即可)； (2)把評(píng)分不低于70分的用戶稱為“評(píng)分良好用戶”，能否有90%的把握認(rèn)為是否是評(píng)分良好用戶與性別有關(guān)？ 參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如下圖所示： 　　　女性用戶　　

12、　　　　　　男性用戶 由圖可得女性用戶的波動(dòng)小，男性用戶的波動(dòng)大． (2)由題可得2×2列聯(lián)表如下： 女性用戶 男性用戶 合計(jì) 評(píng)分良好用戶 140 180 320 不是評(píng)分良好用戶 60 120 180 合計(jì) 200 300 500 則χ2＝＝≈5.208>2.706， 所以有90%的把握認(rèn)為是否是評(píng)分良好用戶與性別有關(guān)． 1．(2019·衡水中學(xué)調(diào)研)已知變量x，y之間的線性回歸方程為＝－0.7x＋10.3，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　) x 6 8 10 12 y 6 m 3 2

13、A．變量x，y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系 B．可以預(yù)測(cè)，當(dāng)x＝20時(shí)，＝－3.7 C．m＝4 D．該回歸直線必過點(diǎn)(9,4) C　[由－0.7<0，得變量x，y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故A正確；當(dāng)x＝20時(shí)，＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B正確；由表格數(shù)據(jù)可知＝×(6＋8＋10＋12)＝9，＝(6＋m＋3＋2)＝，則＝－0.7×9＋10.3，解得m＝5，故C錯(cuò)；由m＝5，得＝＝4，所以該回歸直線必過點(diǎn)(9,4)，故D正確．故選C.] 2．(2019·大連模擬)在對(duì)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量x和y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)： x 4 m 8 10 12 y 1 2 3 5

14、 6 由表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程為＝0.65x－1.8，則(4,1)，(m,2)，(8,3)這三個(gè)樣本點(diǎn)中落在回歸直線下方的有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè) B　[由表中數(shù)據(jù)，得 ＝×(4＋m＋8＋10＋12)＝， ＝×(1＋2＋3＋5＋6)＝3.4， 代入回歸方程＝0.65x－1.8中， 得3.4＝0.65×－1.8， 計(jì)算得出m＝6. 所以x＝4時(shí)，＝0.65×4－1.8＝0.8＜1，點(diǎn)(4,1)在回歸直線＝0.65x－1.8上方；x＝6時(shí)，＝0.65×6－1.8＝2.1＞2， 點(diǎn)(6,2)在回歸直線＝0.65x－1.8下方； x＝8時(shí)，＝

15、0.65×8－1.8＝3.4＞3，點(diǎn)(8,3)在回歸直線＝0.65x－1.8下方． 綜上，(4,1)，(6,2)，(8,3)這三個(gè)樣本點(diǎn)中落在回歸直線下方的有2個(gè)．故選B.] 3．針對(duì)時(shí)下的“韓劇熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡韓劇是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡韓劇的人數(shù)占女生人數(shù)的.若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，則男生至少有________人． P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18　[設(shè)男生人數(shù)為x，由題意可得列聯(lián)表如下： 喜歡韓

16、劇 不喜歡韓劇 總計(jì) 男生 x 女生 總計(jì) 若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān)， 則k≥3.841，即k＝＝≥3.841， 解得x≥12.697. 因?yàn)楦鞑糠秩藬?shù)均為整數(shù)，所以x是18的倍數(shù)，所以若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，則男生至少有18人．] 4．(2019·莆田二模)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金投入量x(單位：億元)對(duì)年銷售額y(單位：億元)的影響．該公司對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

17、現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i＝1,2，…，12，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值． 令ui＝x，vi＝ln yi(i＝1,2，…，12)，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)： (xi－)2 (yi－)2 20 66 770 200 460 4.20 ·(ui－)2 (ui－)· (yi－) (vi－)2 (xi－)· (vi－) 3 125 000 21 500 0.308 14 (1)設(shè){ui}和{yi}的相關(guān)系數(shù)為r1，{xi}和{vi}的相關(guān)系數(shù)為r2，請(qǐng)從

18、相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的模型； (2)(ⅰ)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)； (ⅱ)若下一年銷售額y需達(dá)到90億元，預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元． 附：①相關(guān)系數(shù)r＝， 回歸直線＝＋x中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：＝，＝－； ②參考數(shù)據(jù)：308＝4×77，≈9.486 8，e4.499 8≈90. [解]　(1)由題意，r1＝＝＝＝＝0.86，r2＝＝＝＝≈0.91， 則|r1|<|r2|，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型y＝eλx＋t的擬合程度更好． (2)(ⅰ)先建立v關(guān)于x的線性回歸方程， 由y＝eλx

19、＋t，得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx， 由于λ＝＝≈0.018≈0.02， t＝－λ＝4.20－0.018×20＝3.84， 所以v關(guān)于x的線性回歸方程為＝0.02x＋3.84， 所以ln ＝0.02x＋3.84，則＝e0.02x＋3.84； (ⅱ)下一年銷售額y需達(dá)到90億元，即y＝90， 代入＝e0.02x＋3.84，得90＝e0.02x＋3.84， 又e4.4998≈90， 所以4.499 8≈0.02x＋3.84， 所以x≈＝32.99， 所以預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元． 1．(多選題)獨(dú)立性檢驗(yàn)中，為了調(diào)查變量X與變量Y的關(guān)系，經(jīng)過計(jì)

20、算得到P(χ2≥6.635)＝0.01，表示的意義是(　　) A．有99%的把握認(rèn)為變量X與變量Y沒有關(guān)系 B．有1%的把握認(rèn)為變量X與變量Y有關(guān)系 C．有99%的把握認(rèn)為變量X與變量Y有關(guān)系 D．有1%的把握認(rèn)為變量X與變量Y沒有關(guān)系 CD　[獨(dú)立性檢驗(yàn)中，由P(K2≥6.635)＝0.01，它表示的意義是：有1%的把握認(rèn)為變量X與變量Y沒有關(guān)系，D正確；即有99%的把握認(rèn)為變量X與變量Y有關(guān)系，C正確．故選CD.] 2．已知由一組樣本數(shù)據(jù)確定的回歸直線方程為＝1.5x＋1，且＝2，發(fā)現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)(2.2,2.9)與(1.8,5.1)誤差較大，去掉這兩組數(shù)據(jù)后，重新求得回歸直線的斜率為1，那么當(dāng)x＝4時(shí)，y的估計(jì)值為________． 6　[已知＝2，則＝1.5×2＋1＝4，由題意知去掉兩組數(shù)據(jù)后中心沒變，設(shè)重新求得的回歸直線方程為＝x＋b，將樣本點(diǎn)的中心(2, 4)代入得b＝2，因而當(dāng)x＝4時(shí)，y的估計(jì)值為6.]