版導(dǎo)與練一輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)習(xí)題：第八篇　平面解析幾何必修2、選修11 第7節(jié)　圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題 Word版含解析

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1、試題為word版 下載可打印編輯 第7節(jié)　圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 2,3,4,8 弦長(zhǎng)和中點(diǎn)弦問(wèn)題 1,5,7 定點(diǎn)、定值問(wèn)題 11,12 最值、范圍、存在性問(wèn)題 6,9,10,13 基礎(chǔ)鞏固(時(shí)間:30分鐘) 1.設(shè)AB為過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦,則|AB|的最小值為(　C　) (A) (B)p (C)2p (D)無(wú)法確定 解析:當(dāng)弦AB垂直于對(duì)稱(chēng)軸時(shí)|AB|最短,這時(shí)x=,所以y=±p,|AB|min=2p.選C. 2.(2018·蘭州一中模擬)已知過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x焦點(diǎn)F

2、的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A(yíng),B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),若=3,則直線(xiàn)l的斜率為(　A　) (A) (B) (C) (D)2 解析:設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l:x=ty+1交拋物線(xiàn)于A(yíng)(x1,y1), B(x2,y2)兩點(diǎn), 因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限且=3, 所以y1=-3y2>0, 聯(lián)立得y2-4ty-4=0, 則解得 即直線(xiàn)l的斜率為.故選A. 3.若直線(xiàn)y=kx+2與雙曲線(xiàn)x2-y2=6的右支交于不同的兩點(diǎn),則k的取值范圍是(　D　) (A)(-,) (B)(0,) (C)(-,0) (D)(-,-1) 解析:由得(1-k2)x2-4kx-10=0.設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支交

3、于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2), 則 解得-

4、1y2)2+y1y2=0即()2+=0, 解得k=-2或,當(dāng)k=時(shí)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),舍去, 所以k=-2,只有選項(xiàng)B滿(mǎn)足.選B. 5.(2017·安徽馬鞍山三模)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交E于A(yíng),B兩點(diǎn).若AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為(　D　) (A)+=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1 解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直 線(xiàn)AB的斜率k==, 兩式相減得+=0, 即+=0?+×()×=0,即a2=2b2,又c2=9,a2=b2+c2, 解得a2=18,b2=9,方程是+=1,故選D.

5、6.(2018·昆明一中模擬)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線(xiàn)段PF上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線(xiàn)OM的斜率的最大值為(　A　) (A) (B) (C) (D)1 解析:由題意可得F(,0),設(shè)P(,y0),(y0>0), 則=+=+=+(-)=+=(+,),可得 kOM==≤=.當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取得等號(hào),選A. 7.(2018·山西省六校第四次聯(lián)考)已知拋物線(xiàn)C:x2=8y,直線(xiàn)l:y=x+2與C交于M,N兩點(diǎn),則|MN|=　 .? 解析:所以(y-2)2=8y, 所以y2-12y

6、+4=0, 所以y1+y2=12,y1y2=4. 因?yàn)橹本€(xiàn)l:y=x+2,過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F(0,2), 所以|MN|=(y1+2)+(y2+2)=y1+y2+4=16. 答案:16 8.(2018·大慶一模)已知拋物線(xiàn)C:y2=4x,過(guò)其焦點(diǎn)F作一條斜率大于0的直線(xiàn)l,l與拋物線(xiàn)交于M,N兩點(diǎn),且|MF|=3|NF|,則直線(xiàn)l的斜率為　　　　.? 解析:拋物線(xiàn)C:y2=4x,焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線(xiàn)為x=-1, 分別過(guò)M和N作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為C和D,作NH⊥CM,垂足為H, 設(shè)|NF|=x,則|MF|=3x, 由拋物線(xiàn)的定義可知:|NF|=|DN|=x,|MF|=|CM|

7、=3x, 所以|HM|=2x,由|MN|=4x, 所以∠HMF=60°, 則直線(xiàn)MN的傾斜角為60°, 則直線(xiàn)l的斜率k=tan 60°=. 答案: 能力提升(時(shí)間:15分鐘) 9.(2018·云南玉溪模擬)已知點(diǎn)F1,F2是橢圓x2+2y2=2的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么|+|的最小值是(　C　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)2 解析:因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn), 所以+=2,可得|+|=2||, 當(dāng)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離最小時(shí),||達(dá)到最小值, |+|同時(shí)達(dá)到最小值. 因?yàn)闄E圓x2+2y2=2化成標(biāo)準(zhǔn)形式,得+y2=1, 所以a2=2且b2=1,可得

8、a=,b=1, 因此點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離最小值為短軸一端到原點(diǎn)的距離, 即||最小值為b=1, 所以|+|=2||的最小值為2, 故選C. 10.(2015·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P為雙曲線(xiàn)x2-y2=1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P到直線(xiàn)x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實(shí)數(shù)c的最大值為　　　　.? 解析:雙曲線(xiàn)x2-y2=1的一條漸近線(xiàn)為直線(xiàn)y=x,顯然直線(xiàn)y=x與直線(xiàn)x-y+1=0平行,且兩直線(xiàn)之間的距離為=.因?yàn)辄c(diǎn)P為雙曲線(xiàn)x2-y2=1的右支上一點(diǎn),所以點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x的距離恒大于0,結(jié)合圖形可知點(diǎn)P到直線(xiàn)x-y+1=0的距離恒大于,即c≤,可得c的最大值為. 答案

9、: 11.(2018·海淀區(qū)校級(jí)三模)如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為A(0,1),離心率為. (1)求橢圓C的方程; (2)若過(guò)點(diǎn)A作圓M:(x+1)2+y2=r2(圓M在橢圓C內(nèi))的兩條切線(xiàn)分別與橢圓C相交于B,D兩點(diǎn)(B,D不同于點(diǎn)A),當(dāng)r變化時(shí),試問(wèn)直線(xiàn)BD是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)因?yàn)閑===, 由題設(shè)知? 故所求橢圓C的方程是+y2=1. (2)設(shè)切線(xiàn)方程為y=kx+1,則得=r, 即(1-r2)k2-2k+1-r2=0, 設(shè)兩條切線(xiàn)的斜率分別為k1,k2,于是k1,k2是方程(1-r2)k2-2k+1

10、-r2=0的兩實(shí)根, 故k1·k2=1. 設(shè)直線(xiàn)BD的方程為y=mx+t, 由 得(1+2m2)x2+4tmx+2t2-2=0, 所以x1+x2=,x1x2=, 又k1k2=·=1, 即(mx1+t-1)(mx2+t-1)=x1x2 ?(m2-1)x1x2+m(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0 ?(m2-1)+m(t-1)+(t-1)2=0 ?t=-3. 所以直線(xiàn)BD過(guò)定點(diǎn)(0,-3). 12.(2018·廣東省海珠區(qū)一模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為2,且過(guò)點(diǎn)A(2,1). (1)求橢圓C的方程; (2)若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l:y=kx+m與C交

11、于P,Q兩點(diǎn),且直線(xiàn)AP與直線(xiàn)AQ的斜率之和為0,證明:直線(xiàn)PQ的斜率為定值. (1)解:因?yàn)闄E圓C的焦距為2,且過(guò)點(diǎn)A(2,1), 所以+=1,2c=2. 因?yàn)閍2=b2+c2,解得a2=8,b2=2, 所以橢圓C的方程為+=1. (2)證明:設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),y1=kx1+m,y2=kx2+m, 由 消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0,(*) 則x1+x2=-,x1x2=, 因?yàn)閗PA+kAQ=0, 即=-, 化簡(jiǎn)得x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0. 即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-

12、4m+4=0(**). 代入得--4m+4=0,整理得(2k-1)(m+2k-1)=0, 所以k=或m=1-2k.若m=1-2k,可得方程(*)的一個(gè)根為2,不合題意,所以直線(xiàn)PQ的斜率為定值,該值為. 13.(2018·西城區(qū)一模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以橢圓C的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積是2. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)A是橢圓C的右頂點(diǎn),點(diǎn)B在x軸上,若橢圓C上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°,求點(diǎn)B橫坐標(biāo)的取值范圍. 解:(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c. 依題意,得=,ab=2,且a2=b2+c2. 解得a=2,b=. 所以橢圓C的方程為+=1. (2)“橢圓C上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°”等價(jià)于“存在不是橢圓左、右頂點(diǎn)的點(diǎn)P,使得·=0成立”, 依題意,A(2,0), 設(shè)B(t,0),P(m,n),則m2+2n2=4, 且(2-m,-n)·(t-m,-n)=0, 即(2-m)(t-m)+n2=0. 將n2=代入上式,得(2-m)(t-m)+=0. 因?yàn)?2