2018年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 知識(shí)點(diǎn)14 一元二次方程的幾何應(yīng)用
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2018年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 知識(shí)點(diǎn)14 一元二次方程的幾何應(yīng)用
一元二次方程的幾何應(yīng)用一、選擇題1. (2018貴州安順,T6,F(xiàn)3)一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是方程x2 -7x+10 = 0的兩根,則該等腰三角形的周長(zhǎng)是( )A. 12B. 9C. 13D. 12或9【答案】A【解析】解x2 -7x+10 = 0,得x=2或5.已知在等腰三角形中,有兩腰相等,且兩邊之和大于第三邊,腰長(zhǎng)為5,底邊長(zhǎng)為2.該等腰三角形的周長(zhǎng)為5+5+2=12.【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程,三角形兩邊的和大于第三邊.二、填空題1. (2018湖北黃岡,12題,3分)一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6,第三邊長(zhǎng)是方程x2-10x+21=0的根,則三角形的周長(zhǎng)為_【答案】16【解析】解該方程得x1=3,x2=7,因?yàn)閮蛇呴L(zhǎng)為3和6,所以第三邊x的范圍為:6-3<x<6+3,即3<x<9,所以舍去x1=3,即三角形的第三邊長(zhǎng)為7,則三角形的周長(zhǎng)為3+6+7=16【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程,三角形三邊關(guān)系2. (2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB6,連接AC,BD,P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn),若PD2AP,則AP的長(zhǎng)為_【答案】2,2,【解析】PD2AP,設(shè)APx,則PD2x,當(dāng)P在AD邊上時(shí),如解圖,AD6,APPD6,x2x6即x2,AP2當(dāng)P在DC上時(shí),如解圖在RtADP中,APPD,PD2AP, 第12題解圖 第12題解圖當(dāng)P在BC邊上時(shí),如解圖,DP最大為6,AP最小為6,PD2AP,當(dāng)P在AB上時(shí),如解圖,在RtADP中,AP2AD2PD2,x262(2x)2,解得x12,x22(舍),AP2; 第12題解圖 第12題解圖 第12題解圖 第12題解圖當(dāng)P在AC對(duì)角線上時(shí),如解圖,在RtADC中,AC6,AOAC3,在RtPDO中,PO3x,PD2x,DOAO3,PD2PO2DO2,(2x)2(3)2(3x)2,解得x1,x2(舍),AP;當(dāng)P在DB對(duì)角線上時(shí),如解圖,在RtAPO中,AP2AO2PO2,x2(2x3)2(3)2,整理得:x24x120,(4)24×1×12160,方程無解,綜上所述:AP2或2或【知識(shí)點(diǎn)】正方形,一元二方程的解法,勾股定理3. (2018浙江省臺(tái)州市,16,5分) 如圖,在正方形中,點(diǎn),分別在,上,相交于點(diǎn).若圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為,則的周長(zhǎng)為 【答案】【思路分析】通過正方形的邊長(zhǎng)可以求出正方形的面積,根據(jù)“陰影部分的面積與正方形的面積之比為2:3”可以求出空白部分的面積;利用正方形的性質(zhì)可以證明BCECDF,一是可以得到BCG是直角三角形,二是可以得到BCG的面積,進(jìn)而求出;利用勾股定理可以求出,這樣就可以求出,因而BCG的周長(zhǎng)就可以表示出來了.【解題過程】在正方形ABCD中,AB=3, , 陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2:3, 空白部分的面積與正方形ABCD的面積之比為1:3, , 四邊形ABCD是正方形, BC=CD,BCE=CDF=90° CE=DF, BCECDF(SAS) CBE=DCF,DCF+BCG=90°,CBE+BCG=90°,即BGC=90°,BCG是直角三角形易知,根據(jù)勾股定理:,即 , , BCG的周長(zhǎng)=BG+CG+BC=【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì),三角形的面積;全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;一元二次方程的解法;三、解答題1. (2018浙江杭州,21,10分) 如圖,在ABC中,ACB=90°,以點(diǎn)B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫弧,交線段AB于點(diǎn)D,以點(diǎn)A為圓心,AD長(zhǎng)為半徑畫弧,交線段AC于點(diǎn)E,連接CD。(1)若A=28°,求ACD的度數(shù);(2)設(shè)BC=,AC=線段AD的長(zhǎng)度是方程的一個(gè)根嗎?說明理由;若AD=EC,求的值?!舅悸贩治觥浚?)先求B,再根據(jù)等腰三角形知識(shí)求BCD,在用直角求出ACD;(2)根據(jù)勾股定理表示出AB,表再示出AD,根據(jù)一元二次方程的解表示出的解進(jìn)行對(duì)比;由AD=AE,則可得AD=,從而可列方程求解出比值【解題過程】【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和,等腰三角形角度計(jì)算,勾股定理,線段轉(zhuǎn)換1. (2018湖北鄂州,20,8分)已知關(guān)于x的方程(1)求證:無論k為何值,原方程都有實(shí)數(shù)根;(2)若該方程的兩實(shí)數(shù)根x1,x2為一菱形的兩條對(duì)角線之長(zhǎng),且,求k值及該菱形的面積【思路分析】(1)只需證明根的判別式0,即可證得無論k為何值,原方程都有實(shí)數(shù)根;(2)利用韋達(dá)定理求出k值,再利用菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半就能求出該菱形的面積【解析】解:(1)證明:由題意可知,a1,b(3k3),c,b24ac,0,0,無論k為何值,原方程都有實(shí)數(shù)根;(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可知, ,化簡(jiǎn)得,解得k2或7,x1,x2為一菱形的兩條對(duì)角線之長(zhǎng),且x1x23k3,3k30,k7舍去,k2,該菱形的面積為9【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系;一元二次方程;根的判別式;菱形的性質(zhì);菱形的面積公式2. (2018湖北宜昌,21,8分)如圖,在中,. 以為直徑的半圓交于點(diǎn),交于點(diǎn).延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連接.(1)求證:四邊形是菱形;(2) 若,求半圓和菱形的面積. (第21題圖) 【思路分析】(1)先由,以及到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上,得到,證明四邊形是平行四邊形;再由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,證明平行四邊形是菱形.(2) 設(shè),則,連接,在RtBDA中,,在RtBDA中,,從而建立方程,求出x的值,并求出BD的值,求出半圓和菱形的面積.【解析】(1)證明:為半圓的直徑,,又,四邊形是平行四邊形.又,(或,)平行四邊形是菱形.(3) 解:連接,,設(shè),則, (第21題第2問答圖) 為半圓的直徑,,在RtBDA中,,在RtBDA中,,或(舍去),【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定,菱形的判定,勾股定理,一元二次方程的解,圓的面積公式,菱形的面積公式.8