高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷文數(shù)文檔:第一部分 考點(diǎn)十二 數(shù)列綜合問(wèn)題
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1、 考點(diǎn)十二 數(shù)列綜合問(wèn)題 一、選擇題 1.若數(shù)列{an}滿足an+1+an=(-1)n·n,則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和為( ) A.-100 B.100 C.-110 D.110 答案 A 解析 由an+1+an=(-1)n·n,得a2+a1=-1,a3+a4=-3,a5+a6=-5,…,a19+a20=-19,∴{an}的前20項(xiàng)的和為a1+a2+…+a19+a20=-1-3-…-19=-×10=-100. 2.(2019·遼寧葫蘆島二模)九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲,它用九個(gè)圓環(huán)相連成串,以解開(kāi)為勝.據(jù)明代
2、楊慎《丹鉛總錄》記載:“兩環(huán)互相貫為一,得其關(guān)捩,解之為二,又合而為一”.在某種玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N*)個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù),{an}滿足a1=1,且an=則解下4個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為( ) A.7 B.10 C.12 D.22 答案 A 解析 依題意a4=2a3-1=2(2a2+2)-1=2[2(2a1-1)+2]-1=7,故選A. 3.(2019·西藏拉薩中學(xué)第二次月考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則a6=( ) A.3×44 B.3×44+1 C.44 D.44+1 答案 A 解析 由an
3、+1=3Sn得an=3Sn-1(n≥2),兩式相減得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,則an+1=4an(n≥2),又a1=1,a2=3S1=3a1=3, ∴an=a2qn-2=3×4n-2(n≥2),即a6=3×44,故選A. 4.等差數(shù)列{an}中,a1+a2=,a2+a5=4,設(shè)bn=[an],[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),[0.8]=0,[2.1]=2,則數(shù)列{bn}的前8項(xiàng)和S8=( ) A.24 B.20 C.16 D.12 答案 C 解析 由已知可得??an=1+(n-1)×=n+?b1=b2=b3=1,b4=b5=2,b6=b7=b8=3?S8=1
4、6. 5.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=2,an+1-an=,若數(shù)列的前n項(xiàng)和為5,則n=( ) A.35 B.36 C.120 D.121 答案 C 解析 用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.因?yàn)閍n+1-an=,所以a-a=4,所以數(shù)列{a}是首項(xiàng)為4,公差為4的等差數(shù)列,所以a=4n,因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以an=2,所以=×=×(-),所以Sn=×[(-)+(-)+…+(-)+(-)]=×(-1)=5,解得n=120,故選C. 6.(2019·安徽宣城第二次調(diào)研)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a9=a8+2a7,若存在兩項(xiàng)am,an,使得aman=2a,則
5、+的最小值為( ) A.2 B. C.3 D.3 答案 C 解析 設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0),∵a9=a8+2a7,∴a7q2=a7q+2a7,∴q2-q-2=0,∴q=2或q=-1(舍去),∵存在兩項(xiàng)am,an使得aman=2a,∴aqm-1+n-1=2a,2m+n-2=2,m+n-2=1,m+n=3,∴+=×(m+n)=≥×9=3,當(dāng)且僅當(dāng)m=1,n=2時(shí)等號(hào)成立.故選C. 7.(2019·浙江三校聯(lián)考二)已知數(shù)列{an}滿足a1=a>0,an+1=-a+tan(n∈N*),若存在實(shí)數(shù)t,使{an}單調(diào)遞增,則a的取值范圍是( ) A.(0,1) B.(1,2)
6、 C.(2,3) D.(3,4)
答案 A
解析 由{an}單調(diào)遞增,得an+1=-a+tan>an,
又a1=a>0,則an>0,所以t>an+1(n∈N*).
n=1時(shí),t>a+1.①
n=2時(shí),t>-a2+ta+1,即(a-1)t<(a+1)(a-1).②
若a=1,②式不成立,不符合題意;
若a>1,②式等價(jià)于t<a+1,與①式矛盾,不符合題意.排除B,C,D,故選A.
8.已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an=2n2(n∈N*),且對(duì)任意n∈N*都有++…+ 7、2a3…an=2n2(n∈N*),∴當(dāng)n=1時(shí),a1=2;當(dāng)n≥2時(shí),a1a2a3…an-1=2(n-1)2,可得an=22n-1,∴=,數(shù)列為等比數(shù)列,首項(xiàng)為,公比為.∴++…+==<,∵對(duì)任意n∈N*都有++…+ 8、a4=9,則a4=9,故a5·a2019=a5·a6×336+3=a5·a3=3a4=27.
10.已知an=(n∈N*),設(shè)am為數(shù)列{an}的最大項(xiàng),則m=________.
答案 8
解析 因?yàn)楹瘮?shù)y=在(-∞,5),(5,+∞)上單調(diào)遞減,結(jié)合該函數(shù)圖象可得a8>a9>…>1>a1>a2>…>a7,即a8為數(shù)列{an}的最大項(xiàng),故m=8.
11.(2019·湖南株洲二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=4,4Sn=a1+a2+…+an+1(n≥1),則an=________.
答案
解析 當(dāng)n≥2時(shí),由4Sn=a1+a2+…+an+1,得4Sn-1=a1+a2+… 9、+an,∴4Sn-4Sn-1=an+1,即4an=an+1,∴=4(n≥2),又4S1=4a1=a1+a2,a1=4,∴a2=12,∴當(dāng)n≥2時(shí),an=12×4n-2=3×4n-1.又a1=4,不滿足上式,所以所求通項(xiàng)公式為an=
12.(2019·山東聊城三模)我國(guó)古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方:如圖,將1,2,…,9填入3×3的方格內(nèi),使三行、三列和兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15.一般地,將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,…,n2填入n×n個(gè)方格中,使得每行、每列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等,這個(gè)正方形叫做n階幻方.記n階幻方的對(duì)角線上的數(shù)字之和為Nn,如圖三階幻方的N3= 10、15,那么N9的值為_(kāi)_______.
答案 369
解析 根據(jù)題意可知,幻方對(duì)角線上的數(shù)成等差數(shù)列,N3=×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=15,N4=×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)=34,N5=×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25)=65,…,∴Nn=×(1+2+3+4+5+…+n2)=×=,故N9==9×41=369.
三、解答題
13.(2019·遼寧丹東質(zhì)量測(cè)試二)數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+2n+1. 11、
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
解 (1)因?yàn)閍n+1=an+2n+1,所以當(dāng)n≥2時(shí),
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=1+3+…+(2n-1)=n2.
由于a1=1滿足an=n2,
所以所求{an}的通項(xiàng)公式為an=n2.
(2)因?yàn)閎n==,
所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為
Tn=b1+b2+…+bn===.
14.(2019·山東煙臺(tái)適應(yīng)性練習(xí))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-2(n∈N*),{bn}是等差數(shù)列,且a3=b4-2b1,b6=a4.
(1)求{an} 12、和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{(-1)nb}的前2n項(xiàng)和T2n.
解 (1)Sn=2an-2,當(dāng)n=1時(shí),得a1=2,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-2,
作差得an=2an-1(n≥2),
所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,
所以an=2n.
設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,
由a3=b4-2b1,b6=a4,
所以8=3d-b1,16=5d+b1,
所以d=3,b1=1,所以bn=3n-2.
(2)T2n=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b+b)
=3(b1+b2)+3(b3+b4)+…+3(b2n-1+b2n)
=3(b1+b2+… 13、+b2n),
又因?yàn)閎n=3n-2,
則T2n=3×=3n[1+3×(2n)-2]=18n2-3n.
一、選擇題
1.已知數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=4,bn+2=bn+cos2,則該數(shù)列的前23項(xiàng)的和為( )
A.4194 B.4195 C.2046 D.2047
答案 A
解析 由題意,得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bn+2=2bn,數(shù)列為以2為公比的等比數(shù)列,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn+2=bn+1,數(shù)列為以1為公差的等差數(shù)列,
∴S23=(b1+b3+…+b23)+(b2+b4+…+b22)=+11×4+×1=212-1+44+55=4194.
2.(2019·浙江金華十 14、校模擬)等差數(shù)列{an},等比數(shù)列{bn},滿足a1=b1=1,a5=b3,則a9能取到的最小整數(shù)是( )
A.-1 B.0 C.2 D.3
答案 B
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,由a1=b1=1,a5=b3,可得1+4d=q2,則a9=1+8d=1+2(q2-1)=2q2-1>-1,可得a9能取到的最小整數(shù)是0,故選B.
3.中國(guó)歷法推測(cè)遵循以測(cè)為輔、以算為主的原則,例如《周髀算經(jīng)》和《易經(jīng)》里對(duì)二十四節(jié)氣的晷(guǐ)影長(zhǎng)的記錄中,冬至和夏至的晷影長(zhǎng)是實(shí)測(cè)得到的,其他節(jié)氣的晷影長(zhǎng)則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的,下表為《周髀算經(jīng)》對(duì)二十四 15、節(jié)氣晷影長(zhǎng)的記錄,其中115.1寸表示115寸1分(1寸=10分).已知《易經(jīng)》中記錄的冬至晷影長(zhǎng)為130.0寸,夏至晷影長(zhǎng)為14.8寸,那么《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)應(yīng)為( )
A.72.4寸 B.81.4寸 C.82.0寸 D.91.6寸
答案 C
解析 設(shè)晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列{an},公差為d,a1=130.0,a13=14.8,則130.0+12d=14.8,解得d=-9.6,
∴a6=130.0-9.6×5=82.0,∴《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)是82.0寸.
4.已知數(shù)列{an}滿足an=若對(duì)于任意的n∈N*都有an>an+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) 16、
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵對(duì)于任意的n∈N*都有an>an+1,
∴數(shù)列{an}單調(diào)遞減,∴即,故
17、n<,4≤n≤9,所以n的最大值為9,故選A.
6.(2019·陜西西安4月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=,若等比數(shù)列{an}滿足a1a2019=1,則f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2019)=( )
A.2019 B. C.2 D.
答案 A
解析 ∵f(x)=,∴f(x)+f=+=2.∵a1a2019=1,∴f(a1)+f(a2019)=2,∵{an}為等比數(shù)列,則a1a2019=a2a2018=…=a1009a1011=a=1.∴f(a2)+f(a2018)=…=f(a1009)+f(a1011)=2,f(a1010)=1,即f(a1)+f(a2)+f(a3)+ 18、…+f(a2019)=2×1009+1=2019.
7.(2019·江西新八校聯(lián)考二)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知(a2017-1)2019+2019a2017+(a2017-1)2021=2000,(a2020-1)2019+2019a2020+(a2020-1)2021=2038,則S4036=( )
A.2020 B.2038 C.4034 D.4036
答案 D
解析 由(a2017-1)2019+2019a2017+(a2017-1)2021=2000得
(a2017-1)2019+2019(a2017-1)+(a2017-1)2021=-19,①
由 19、(a2020-1)2019+2019a2020+(a2020-1)2021=2038得
(a2020-1)2019+2019(a2020-1)+(a2020-1)2021=19,②
令f(x)=x2019+2019x+x2021,
則①式即為f(a2017-1)=-19,
②式即為f(a2020-1)=19,
又f(-x)+f(x)=0,即f(x)是奇函數(shù),
則(a2017-1)+(a2020-1)=0,即a2017+a2020=2,
∴S4036=2018(a1+a4036)=2018(a2017+a2020)=4036.故選D.
8.(2019·廣東韶關(guān)模擬)已知數(shù)列{an 20、}滿足a1+a2+a3+…+an=n2+n(n∈N*),設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若Tn<λ(n∈N*)恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因?yàn)閍1+a2+a3+…+an=n2+n,所以當(dāng)n≥2時(shí),a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2+(n-1),則an=2n,故an=2n2(a1=2滿足此式),所以bn==,則Tn==,由于Tn<λ(n∈N*)恒成立,故<λ,整理得λ>,因?yàn)閥==在n∈N*上單調(diào)遞減,故當(dāng)n=1時(shí),max=,所以λ>,故選D.
二、填空題
9.(2019·遼寧沈陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè)三)數(shù)列 21、{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n-1,則數(shù)列bn=a-7an+6的最小值為_(kāi)_______.
答案?。?
解析 由Sn=2n-1,得a1=S1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1,a1=1適合上式,∴an=2n-1.則bn=a-7an+6=2-,∴當(dāng)an=4時(shí),(bn)min=2-=-6.
10.(2019·遼寧沈陽(yáng)東北育才學(xué)校第八次模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且對(duì)任意的r,t∈N*,都有=2,則an=________.
答案 2n-1
解析 若r=n,t=n+1,n∈N*,則=,令Sn=n2k,Sn+1 22、=(n+1)2k,則a1=S1=k=1,∴Sn=n2,Sn+1=(n+1)2,∴an+1=Sn+1-Sn=(n+1)2-n2=2n+1=2(n+1)-1,∴an=2n-1,經(jīng)驗(yàn)證,n=1時(shí),滿足an=2n-1,所以an=2n-1.
11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{an}為,,,,,,,,,,…,,,…,,…,若Sk=14,則ak=________.
答案
解析 因?yàn)椋剑剑?,++…+==,所以?shù)列,+,++,…,++…+是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以該數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn=+1++…+=.
令Tn==14,解得n=7,所以ak=.
12.(2019·河北衡水四月 23、大聯(lián)考)歷史上數(shù)列的發(fā)展折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用,比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例,引入“兔子數(shù)列”:即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….即F(1)=F(2)=1,F(xiàn)(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*),此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn},又記數(shù)列{cn}滿足c1=b1,c2=b2,cn=bn-bn-1(n≥3,n∈N*),則c1+c2+c3+…+c2019的值為_(kāi)_______.
答案 3
解析 記“兔子數(shù)列”為 24、{an},則數(shù)列{an}每個(gè)數(shù)被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn}為{1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…},可得數(shù)列{bn}構(gòu)成一周期為6的數(shù)列,由題意得數(shù)列{cn}為{1,1,1,1,-2,-1,1,0,1,1,-2,-1,1,0,1,1,-2,-1,…},觀察數(shù)列{cn}可知該數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始后面所有的數(shù)列構(gòu)成一周期為6的數(shù)列,且每一周期的所有項(xiàng)的和為0,所以c1+c2+c3+…+c2019=(c1+c2)+(c3+…+c2018)+c2019=1+1+1=3.
三、解答題
13.(2019·河北石家莊二中二模)已知等比數(shù)列{an}滿足an 25、4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=anlogan,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn.
解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q.
依題意得2(a3+2)=a2+a4,
代入a2+a3+a4=28,得a3=8.
因此a2+a4=20,即有
解得或
又an 26、=2+22+23+…+2n-n·2n+1
=-n·2n+1=2n+1-n·2n+1-2
=(1-n)2n+1-2.
14.(2019·河北廊坊期中聯(lián)合調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2-.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=2-,
∴當(dāng)n=1時(shí),a1=2-=;
當(dāng)n≥2,a1+2a2+3a3+…+(n-1)·an-1=2-,
∴nan=2--=,
可得an=,
又∵當(dāng)n=1時(shí)也成立,∴an=.
(2)∵bn=,
∴bn==-,
∴Tn=-+-+…+-=-.
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