2018年秋九年級數(shù)學上冊 第28章 圓本章總結(jié)提升 （新版）冀教版

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1、 第28章 圓 本章總結(jié)提升　 問題1　垂徑定理 垂直于弦的直徑有什么性質(zhì)？這個性質(zhì)與圓的軸對稱性有什么關(guān)系？ 例1 趙州橋是我國建筑史上的一大創(chuàng)舉，它距今約1400年，歷經(jīng)無數(shù)次洪水沖擊和 8次地震卻安然無恙．如圖28－T－1，若橋的跨度AB約為40米，主拱高CD約10米，則橋弧AB所在圓的半徑R＝________米． 　圖28－T－1 【歸納總結(jié)】與垂徑定理有關(guān)的計算，通常需要作輔助線，常作的輔助線是連半徑、作弦心距，從而構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進行計算． 問題2　弧、弦長、圓心角的關(guān)系及圓周角定理 在同圓或等圓中，若兩個圓心角相等，則它們所

2、對的弧、弦有什么關(guān)系？這些關(guān)系和圓的中心對稱性有什么聯(lián)系？ 同弧所對的圓周角和它所對的圓心角有什么關(guān)系？ 圓的內(nèi)接四邊形有什么性質(zhì)？ 例2[ 2017·臺州]如圖28－T－2，已知等腰直角三角形ABC，P是斜邊BC上一點(不與點B，C重合)，PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑． (1)求證：△APE是等腰直角三角形； (2)若⊙O的直徑為2，求PC2＋PB2的值． 圖28－T－2 【歸納總結(jié)】在解決與圓心角和圓周角有關(guān)的綜合問題時，經(jīng)常添加輔助線，利用同弧(或等弧)實現(xiàn)圓心角和圓周角之間的轉(zhuǎn)化． 問題3　弧長與扇形面積 例3 [2017·咸寧

3、]如圖28－T－3，⊙O的半徑為3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OB，OD.若∠BOD＝∠BCD，則的長為(　　) 　圖28－T－3 A．π　　B. C．2π D．3π 例4 如圖28－T－4，用一個半徑為30cm，面積為300πcm2的扇形鐵皮，制作一個無底 的圓錐(不計損耗)，則圓錐的底面圓的半徑為(　　) 圖28－T－4 A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．5π cm 例5 如圖28－T－5，在△ABC中，∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝4，以點C為圓心，CB長為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E. (1)求BD的長；

4、 (2)求陰影部分的面積． 圖28－T－5 【歸納總結(jié)】利用公式進行計算的關(guān)鍵是找到題目中的基本圖形，找出扇形，利用已知條件確定公式中各個字母的值，然后利用公式進行計算． 問題4　圓中的轉(zhuǎn)化思想 在圓的計算中，常常遇到求一個不規(guī)則圖形的面積問題，你是怎么處理的？ 例6 [2017·貴陽]如圖28－T－6，C，D是半圓O上的三等分點，直徑AB＝4，連接AD，AC，作DE⊥AB，垂足為E，DE交AC于點F. (1)求∠AFE的度數(shù)； (2)求陰影部分的面積．(結(jié)果保留π和根號) 　圖28－T－6 【歸納總結(jié)】在有關(guān)圓的面積計算問題中，如果所求面積的圖形是規(guī)

5、則圖形，按規(guī)則圖形的面積公式去求，如果所求面積的圖形是不規(guī)則圖形，則需運用轉(zhuǎn)化思想，把不規(guī)則圖形的面積運用“割補法”“等積變形法”“平移法”“旋轉(zhuǎn)法”等轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來求． “滾動”中的數(shù)學 數(shù)學來源于生活，滾動處處可見．在千姿百態(tài)的滾動中，如果我們稍加留神，將會發(fā)現(xiàn)很多有趣的數(shù)學問題就在我們身邊． 1．沿直線滾動 例1 如圖28－T－7所示，一枚直徑為d的硬幣沿著一條直線l滾動一圈，圓心經(jīng)過的距 離是多少？ 圖28－T－7 解：圓心經(jīng)過的距離是πd. 例2 如圖28－T－8所示，邊長為a的正方形四邊貼著直線l向右“滾動”，當正方形“滾動” 一周時，正方形的

6、中心O經(jīng)過的路程是多少？正方形的頂點A經(jīng)過的路程又是多少？ 圖28－T－8 解：(1)如圖28－T－9所示，當正方形四邊貼著直線l “滾動”一周時，正方形的中心O所經(jīng)過的路程為×aπ×4＝ aπ. 圖28－T－9 (2)如圖28－T－10所示，當正方形ABCD四邊貼著直線l“滾動”一周時，頂點A所經(jīng)過的路程為×2 aπ＋2××2aπ＝. 圖28－T－10 2．沿圓周滾動 例3 如圖28－T－11所示，已知兩圓，其中大圓半徑是小圓半徑的5倍，將大圓固定． (1)如果小圓在大圓外面貼著大圓邊緣滾動一周，那么小圓自身旋轉(zhuǎn)了幾圈？ (2)若小圓在大圓內(nèi)部貼著大圓邊緣無滑動

7、地滾動一周，那么小圓自身旋轉(zhuǎn)了幾圈？ 圖28－T－11 解：(1)如圖28－T－12所示，設(shè)小圓半徑為R，則大圓半徑為5R.當小圓在大圓外貼著大圓邊緣滾動，自身旋轉(zhuǎn)一周時，小圓圓心相對于大圓圓心的張角的度數(shù)為n°，則 2πR＝，得n＝60. 又因為360÷60＝6， 所以當小圓在大圓外貼著大圓滾動一周時，小圓自身旋轉(zhuǎn)了6圈． 圖28－T－12 (2)如圖28－T－13所示，設(shè)小圓自轉(zhuǎn)一周時，小圓圓心相對于大圓圓心的張角的度數(shù) m°，則2πR＝，得m＝90，360÷90＝4. 所以當小圓在大圓內(nèi)貼著大圓滾動一周時，小圓自身旋轉(zhuǎn)了4圈． 圖28－T－13 3．

8、沿正方形滾動 例4 已知半徑為1的⊙O與邊長為10的正方形ABCD，當⊙O在正方形ABCD的內(nèi)部沿 四邊無滑動地滾動一周時，⊙O經(jīng)過的面積是多少？當⊙O在正方形ABCD的外部沿四邊無滑動地滾動時，⊙O經(jīng)過的面積又是多少？ 解：當⊙O在正方形ABCD內(nèi)沿四邊無滑動地滾動一周時，⊙O所經(jīng)過的面積為 S＝102－(10－4)2－4＝60＋π. 當⊙O在正方形ABCD外沿四邊無滑動地滾動一周時，⊙O所經(jīng)過的面積為 S′＝(10＋4)2－102－4＝80＋4π. 4．沿正多邊形滾動 例5 如圖28－T－14所示，平面內(nèi)一個正五邊形與一個正方形的邊長正好相等，在它們相接的地方形成一個完

9、整的“蘋果”圖案，如果讓正方形沿著正五邊形的四周滾動，并且始終保持正方形和正五邊形有兩條邊鄰接，那么第一次恢復“蘋果”的圖案時，正方形要繞正五邊形轉(zhuǎn)________圈(　　) 圖28－T－14 A．10　　　B．5 C．4 D．上述答案均不正確 [解析] C　正方形有4條邊，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得當正方形繞正五邊形轉(zhuǎn)4圈時，第一次恢復“蘋果”的圖案． 教師詳解詳析 【整合提升】 例1　25　[解析] 根據(jù)垂徑定理，得 AD＝AB＝20米． 設(shè)圓的半徑是R，根據(jù)勾股定理， 得R2＝202＋(R－10)2， 解得R＝25. 故答案為25.

10、 例2　解：(1)證明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠C＝∠ABC＝45°， ∴∠AEP＝∠ABP＝45°. ∵PE是⊙O的直徑， ∴∠PAE＝90°， ∴∠APE＝∠AEP＝45°， ∴AP＝AE， ∴△APE是等腰直角三角形． (2)∵AC＝AB，AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°， ∴∠CAP＝∠BAE， ∴△CAP≌△BAE， ∴PC＝EB. ∵PE為⊙O的直徑，∠PBE＝90°， ∴PC2＋PB2＝EB2＋PB2＝PE2＝22＝4. 例3　C　[解析] ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴∠BCD＋∠A＝180°. ∵∠BOD＝2∠A，∠BO

11、D＝∠BCD， ∴2∠A＋∠A＝180°， ∴∠A＝60°， ∴∠BOD＝120°， ∴的長為＝2π. 故選C. 例4　B　[解析] ∵扇形的半徑為30 cm，面積為300π cm2， ∴扇形的圓心角為＝120(度)， ∴扇形的弧長為＝20π(cm)． ∵圓錐的底面圓的周長等于它的側(cè)面展開扇形的弧長， ∴根據(jù)圓的周長公式，得2πr＝20π，解得r＝10， ∴圓錐的底面圓的半徑為10 cm. 故選B. 例5　解：(1)如圖，作CH⊥AB于點H. 由題意，知∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°. 在Rt△BCH中， ∵∠CH

12、B＝90°，∠B＝30°，BC＝4， ∴CH＝BC＝2，BH＝CH＝2. ∵CH⊥BD， ∴DH＝BH， ∴BD＝2BH＝4. (2)連接CD，如圖所示． ∵BC＝DC， ∴∠CDB＝∠B＝30°， ∴∠BCD＝120°. 由(1)知，BD＝4，CH＝2， ∴S陰影＝S扇形BCD－S△CBD＝－×4×2＝－4， 即陰影部分的面積為π－4. 例6　解：(1)連接OD，OC. ∵C，D是半圓O上的三等分點， ∴∠AOD＝∠COB＝×180°＝60°. ∴∠CAB＝∠COB＝30°. ∵DE⊥AB， ∴∠AFE＝90°－30°＝60°. (2) 由題意及(1)，可知OA＝2，DE＝2×sin60°＝2×＝， ∴S陰影＝S扇形AOD－S△AOD＝－×2×＝π－，即陰影部分的面積為π－. 11