高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí)沖刺方案文數(shù)經(jīng)典版文檔：第二編 專題七 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 Word版含解析

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1、 專題七 選修4系列 第1講　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 「考情研析」　　　　高考中，該部分內(nèi)容常以直線、圓錐曲線(主要是圓、橢圓)幾何元素為載體，主要考查參數(shù)方程與普通方程互化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化；同時(shí)進(jìn)一步考查利用相應(yīng)方程形式或幾何意義解決元素位置關(guān)系、距離、面積等綜合問題．該部分試題難度一般不大. 核心知識(shí)回顧 1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式 設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ)，則 (ρ，θ)?(x，y) (x，y)?(ρ，θ) 2．常見圓的極坐標(biāo)方程 (1)圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓：ρ＝r(0≤θ<2π)． (2)圓心為M(a,

2、0)，半徑為a的圓：ρ＝2acosθ. (3)圓心為M，半徑為a的圓：ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)． 3．常見直線的極坐標(biāo)方程 (1)直線過極點(diǎn)，直線的傾斜角為α：θ＝α(ρ∈R)． (2)直線過點(diǎn)M(a,0)，且垂直于極軸：ρcosθ＝a. (3)直線過點(diǎn)M，且平行于極軸：ρsinθ＝a(0<θ<π)． 4．直線、圓與橢圓的參數(shù)方程 熱點(diǎn)考向探究 考向1 極坐標(biāo)方程及應(yīng)用 例1　(2019·全國卷Ⅱ)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當(dāng)θ0＝時(shí)，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)

3、方程； (2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程． 解　(1)因?yàn)镸(ρ0，θ0)在曲線C上， 當(dāng)θ0＝時(shí)，ρ0＝4sin＝2. 由已知得|OP|＝|OA|cos＝2. 設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P外的任意一點(diǎn)． 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線ρcos＝2上， 所以，l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2. (2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因?yàn)镻在線段OM上，且AP⊥OM， 所以θ的取值范圍是. 所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，θ∈. 直角坐標(biāo)與極坐

4、標(biāo)方程的互化及應(yīng)用 (1)直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程時(shí)，通?？梢灾苯訉＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可． (2)極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程時(shí)，一般需要構(gòu)造ρ2，ρsinθ，ρcosθ，常用的技巧有式子兩邊同乘以ρ，兩角和與差的正弦、余弦展開等． (2019·武漢市高三調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C1：ρsin＝，C2：ρ2＝. (1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程； (2)曲線C1和C2的交點(diǎn)為M，N，求以MN為直徑的圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)． 解　(1)由ρsin＝得 ρ＝， 將代入上式得x＋y＝1. 即C1的直角坐

5、標(biāo)方程為x＋y＝1， 同理，由ρ2＝可得3x2－y2＝1， ∴C2的直角坐標(biāo)方程為3x2－y2＝1. (2)∵PM⊥PN，先求以MN為直徑的圓， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 得3x2－(1－x)2＝1，即x2＋x－1＝0. ∴則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為. ∴|MN|＝ |x1－x2|＝×＝， ∴以MN為直徑的圓的方程為 2＋2＝2， 令x＝0，得＋2＝，即2＝， ∴y＝0或y＝3，∴所求P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)或(0,3)． 考向2 參數(shù)方程及應(yīng)用 例2　(2019·四川省華文大教育聯(lián)盟高三第二次質(zhì)量檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，

6、直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))． (1)求曲線C和直線l的普通方程； (2)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝1，求直線l的方程． 解　(1)對(duì)曲線C：消去參數(shù)θ，得x2＋y2＝1. 對(duì)直線l：消去參數(shù)t， 當(dāng)cosα＝0時(shí)，l：x＝2； 當(dāng)cosα≠0時(shí)，l：y＝tanα(x－2)． (2)把代入x2＋y2＝1中， 得t2＋4tcosα＋3＝0. 因?yàn)棣ぃ?6cos2α－12>0，所以cos2α>. 因?yàn)閠1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3，|AB|＝|t1－t2|＝1， 所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝16cos2α－12＝1， 所

7、以cos2α＝，所以tan2α＝＝. 所以tanα＝±，即直線l的斜率為±. 所以直線l的方程為y＝x－或y＝－x＋. 參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法 (1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個(gè)方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法． (2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運(yùn)用三角恒等式法． (3)常見消參數(shù)的關(guān)系式： ①t·＝1； ②2－2＝4； ③2＋2＝1. (2019·太原市高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程

8、為ρ＝2cosθ. (1)若曲線C1方程中的參數(shù)是α，且C1與C2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求C1的普通方程； (2)已知點(diǎn)A(0,1)，若曲線C1方程中的參數(shù)是t,0<α<π，且C1與C2相交于P，Q兩個(gè)不同點(diǎn)，求＋的最大值． 解　(1)∵ρ＝2cosθ，∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為 (x－1)2＋y2＝1，∵α是曲線C1：的參數(shù)， ∴C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝t2， ∵C1與C2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴|t|＝－1或|t|＝＋1， ∴C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝(－1)2或x2＋(y－1)2＝(＋1)2. (2)∵t是曲線C1：的參數(shù)， ∴C1是過點(diǎn)A(0,1

9、)的一條直線， 設(shè)與點(diǎn)P，Q相對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1，t2，把 代入(x－1)2＋y2＝1得t2＋2(sinα－cosα)t＋1＝0， ∴ ∴＋＝＋＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2| ＝2≤2， 當(dāng)α＝時(shí)，Δ＝4(sinα－cosα)2－4＝4>0， 所以＋取得最大值2. 考向3 極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 角度1　極坐標(biāo)方程中極徑幾何意義的應(yīng)用 例3　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的方程為x2＝4y＋4. (1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8，求l的斜率

10、． 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得拋物線C的極坐標(biāo)方程ρ2cos2θ－4ρsinθ－4＝0. (2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)， 設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2cos2α－4ρsinα－4＝0， 因?yàn)閏os2α≠0(否則，直線l與拋物線C沒有兩個(gè)公共點(diǎn))，于是ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－， |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝＝， 由|AB|＝8得cos2α＝，tanα＝±1，所以l的斜率為1或－1. (1)幾何意義：極徑ρ表示極坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離． (2)應(yīng)用：一般應(yīng)

11、用于過極點(diǎn)的直線與曲線相交，所得的弦長問題，需要用極徑表示出弦長，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題． (2019·哈爾濱市第三中學(xué)高三第一次模擬)已知曲線C1：x＋y＝和C2：(φ為參數(shù))．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位． (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離． 解　(1)因?yàn)镃2的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，所以其普通方程為＋＝1， 又C1：x＋y＝，所以可得C1和C2的極坐標(biāo)方程分別為 C1：ρsin＝，C2：ρ

12、2＝. (2)∵M(jìn)(，0)，N(0,1)，∴P， ∴OP的極坐標(biāo)方程為θ＝， 把θ＝代入ρsin＝，得ρ1＝1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，把θ＝代入ρ2＝，得ρ2＝2，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q兩點(diǎn)間的距離為1. 角度2　直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用 例4　(2019·山東高三模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角)，點(diǎn)P和F的坐標(biāo)分別為(－1,3)和(1,0)；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (

13、2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且·＝22，求α的值． 解　(1)由ρ＝，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，即y2＝4x， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x. (2)將代入y2＝4x得， t2sin2α＋(6sinα－4cosα)t＋13＝0(sin2α≠0)， 由題意，得Δ＝(6sinα－4cosα)2－4×13sin2α>0，(*) 設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2＝， 由點(diǎn)P在直線l上，得·＝||·|| ＝|t1t2|＝，22＝2||2＝2()＝26， 所以＝26，即sinα＝±， 結(jié)合0≤α≤π，所以α＝或α＝，將α代入(*)， 可知α＝不適合

14、，α＝適合．綜上，α＝. 對(duì)直線參數(shù)方程(t為參數(shù))，其中M0(x0，y0)為定點(diǎn)，α為直線傾斜角的理解 (1)幾何意義：參數(shù)t的絕對(duì)值等于直線上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離，若t>0，則的方向向上；若t<0，則的方向向下；若t＝0，則點(diǎn)M與M0重合． (2)應(yīng)用：一般應(yīng)用于過定點(diǎn)的直線與圓錐曲線交于A，B兩點(diǎn)，與弦長|AB|及其相關(guān)的問題，解決的方法是首先用t表示出弦長，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程、函數(shù)式等解決問題． (2019·廣州市普通高中高三綜合測試)在直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線

15、C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝2ρcosθ＋8. (1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝4，求直線l的傾斜角． 解　(1)因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，當(dāng)α＝時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為x＝2. 當(dāng)α≠時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為y－＝tanα(x－2)． 因?yàn)棣?＝x2＋y2，ρcosθ＝x， 又因?yàn)棣?＝2ρcosθ＋8，所以x2＋y2＝2x＋8. 所以C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－8＝0. (2)因?yàn)榍€C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－8＝0， 將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程整理，得 t2＋(2si

16、nα＋2cosα)t－5＝0. 因?yàn)棣ぃ?2sinα＋2cosα)2＋20>0，所以可設(shè)該方程的兩個(gè)根為t1，t2，則t1＋t2＝－(2sinα＋2cosα)， t1t2＝－5. 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ＝ ＝4. 整理得(sinα＋cosα)2＝3，故2sin＝±. 因?yàn)?≤α<π，所以α＋＝或α＋＝， 解得α＝或α＝， 綜上所述，直線l的傾斜角為或. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 真題押題 『真題模擬』 1．(2019·大慶市高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立

17、極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，射線l2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ≥0)． (1)求直線l1的傾斜角及極坐標(biāo)方程； (2)若射線l2與l1交于點(diǎn)M，與圓C交于點(diǎn)N(異于原點(diǎn))，求|OM|·|ON|. 解　(1)消去方程中的參數(shù)t， 整理得x＋y－4＝0， ∴直線l1的普通方程為x＋y－4＝0. 設(shè)直線l1的傾斜角為α，則tanα＝－， ∵0≤α<π，∴α＝. 把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x＋y－4＝0，可得直線l1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＋ρsinθ＝4. (2)把θ＝代入l1的極坐標(biāo)方程中得|OM|＝ρ1＝， 把θ＝代入圓的極坐標(biāo)方程中得|ON|＝ρ2＝2

18、， ∴|OM|·|ON|＝ρ1ρ2＝8. 2．(2019·江蘇高考)在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A，B，直線l的方程為ρsin＝3. (1)求A，B兩點(diǎn)間的距離； (2)求點(diǎn)B到直線l的距離． 解　(1)設(shè)極點(diǎn)為O.在△OAB中，A，B， 由余弦定理，得 AB＝ ＝. (2)因?yàn)橹本€l的方程為ρsin＝3， 所以直線l過點(diǎn)，傾斜角為. 又B，所以點(diǎn)B到直線l的距離為(3－)×sin＝2. 3．(2019·郴州市高三第三次質(zhì)量檢測)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤α<π)，點(diǎn)M(0，－2)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐

19、標(biāo)方程為ρ＝4cos. (1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程，并指出其形狀； (2)曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，若＋＝，求sinα的值． 解　(1)由ρ＝4cos，得ρ＝4cosθ－4sinθ， 所以ρ2＝4ρcosθ－4ρsinθ， 即x2＋y2＝4x－4y，(x－2)2＋(y＋2)2＝8. 所以曲線C2是以(2，－2)為圓心，2為半徑的圓． (2)將代入(x－2)2＋(y＋2)2＝8， 整理得t2－4tcosα－4＝0， 設(shè)點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝4cosα，t1t2＝－4. ＋＝＝＝ ＝＝＝. 解得cos2α＝，則sinα＝. 4

20、．(2019·全國卷Ⅲ)如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0)，B， C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1,0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程； (2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標(biāo)． 解　(1)由題設(shè)可得，弧，，所在圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ， 所以M1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ， M2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ， M3的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2cosθ. (2)設(shè)P(ρ，θ)，由題設(shè)及(1)知 若0≤θ≤，則

21、2cosθ＝，解得θ＝； 若≤θ≤，則2sinθ＝，解得θ＝或θ＝； 若≤θ≤π，則－2cosθ＝，解得θ＝. 綜上，P的極坐標(biāo)為或或或. 『金版押題』 5．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2(1＋3sin2θ)＝4，曲線C2：(θ為參數(shù))． (1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程和C2的普通方程； (2)極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A(ρ1，θ0)，B都在曲線C1上，求＋的值． 解　(1)由題意可得，曲線C1的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1，C2的普通方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)由點(diǎn)A，B在曲線C1上，得 ρ＝，ρ＝， 則＝，＝

22、， 因此＋＝＋＝. 配套作業(yè) 1．(2019·廣西八市高三聯(lián)合考試)已知曲線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為 ρ＝4cos. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)P(2,1)，直線l與曲線C交于點(diǎn)A，B，求|PA|·|PB|的值． 解　(1)由ρ＝4cos，得ρ＝4cosθ＋4sinθ， ∴ρ2＝4ρcosθ＋4ρsinθ， 又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， ∴x2＋y2＝4x＋4y，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為 (x－2)2＋(y－2)2＝8. (2)將代入C的直角坐標(biāo)方程，得 t2＋2＝8， ∴t

23、2＋t－7＝0， 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，∴t1t2＝－7. 則|PA|·|PB|＝|t1t2|＝7. 2．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin＝5，射線OM：θ＝，在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))． (1)求圓C的普通方程及極坐標(biāo)方程； (2)射線OM與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長． 解　(1)由圓C的參數(shù)方程(φ為參數(shù))知，圓C的圓心為(0,2)，半徑為2， 所以圓C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， 將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4， 得圓C

24、的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ. (2)設(shè)P(ρ1，θ1)，則由解得ρ1＝2，θ1＝. 設(shè)Q(ρ2，θ2)，則由 解得ρ2＝5，θ2＝， 所以線段PQ的長|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝3. 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos2θ－4sinθ＝0. (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)已知點(diǎn)P(1,0)．若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，直線l經(jīng)過點(diǎn)M且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q，求|PQ|的值． 解　(1)∵直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，

25、 ∴直線l的普通方程為y＝tanα·(x－1)． 由ρcos2θ－4sinθ＝0得ρ2cos2θ－4ρsinθ＝0， 即x2－4y＝0. ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y. (2)∵點(diǎn)M的極坐標(biāo)為， ∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(0,1)． ∴tanα＝－1，直線l的傾斜角α＝. ∴直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0. 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2. ∵Q為線段AB的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為＝＝3. 又點(diǎn)P(1,0)，則|PQ|＝＝3. 4．(2019·蘭州市高三二診)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，

26、以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ. (1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α，0<α<π，ρ∈R，點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn)，且A，B均異于原點(diǎn)O，且|AB|＝4，求實(shí)數(shù)α的值． 解　(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))， 消去參數(shù)得曲線C1的普通方程為(x－2)2＋y2＝4， 因?yàn)榍€C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ， 所以ρ2＝4ρsinθ. 所以C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4y， 整理得x2＋(y－2)2＝4. (2)C1：(x－2)

27、2＋y2＝4化為極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ， 所以|AB|＝|ρA－ρB|＝4|sinα－cosα| ＝4＝4， 所以sin＝±1， 所以α－＝＋kπ(k∈Z)即α＝＋kπ(k∈Z)． 又因?yàn)?<α<π，所以α＝. 5．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(θ為參數(shù))，點(diǎn)P在直線l：x＋y－4＝0上，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系． (1)求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程； (2)射線OP交圓C于點(diǎn)R，點(diǎn)Q在射線OP上，且滿足|OP|2＝|OR|·|OQ|，求Q點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程． 解　(1)圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝2，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (2)設(shè)P，Q，R的極

28、坐標(biāo)分別為(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 因?yàn)棣?＝，ρ2＝2， 又因?yàn)閨OP|2＝|OR|·|OQ|，即ρ＝ρ·ρ2， 所以ρ＝＝×， 所以Q點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝. 6．(2019·青島市高三一模)直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中α為參數(shù))．以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，曲線C2：ρ＝4sinθ. (1)求曲線C1的普通方程和極坐標(biāo)方程； (2)已知直線l與曲線C1和曲線C2分別交于M和N兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)O)，求線段MN的長． 解　(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 所以C1的普通方程

29、為(x－2)2＋(y－1)2＝5，?、? 在極坐標(biāo)系中，將代入①得ρ2－4ρcosθ－2ρsinθ＝0， 化簡得，C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ＋2sinθ.　② (2)因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)， 且直線l與曲線C1和曲線C2分別交于M，N， 可設(shè)M，N， 將M代入②得ρ1＝4cos＋2sin＝4×＋2×＝－， 將N代入曲線C2：ρ＝4sinθ得ρ2＝4sin＝4×＝2. 所以|MN|＝|ρ1|＋|ρ2|＝|－|＋2＝3. 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(t>0，α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)

30、方程為ρsin＝3. (1)當(dāng)t＝1時(shí)，求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值； (2)若曲線C上的所有點(diǎn)都在直線l的下方，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解　(1)由ρsin＝3得ρsinθ＋ρcosθ＝3， 把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－3＝0， 當(dāng)t＝1時(shí)，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x2＋y2＝1， ∴曲線C為圓，且圓心為O，則點(diǎn)O到直線l的距離 d＝＝， ∴曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為1＋. (2)∵曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的下方， ∴對(duì)任意的α∈R，tcosα＋sinα－3<0恒成立， 即

31、cos(α－φ)<3恒成立， ∴<3，又t>0，∴00，解得－3