版一輪復(fù)習理科數(shù)學習題：第八篇　平面解析幾何必修2、選修11 第4節(jié)　橢　圓 Word版含解析

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1、 第4節(jié)　橢　圓 【選題明細表】 知識點、方法 題號 橢圓的定義與標準方程 1,2,3,7 橢圓的幾何性質(zhì) 4,6,8,9 直線與橢圓的位置關(guān)系 5,10,11,12,13 基礎(chǔ)鞏固(時間:30分鐘) 1.已知橢圓+=1(m>0)的左焦點為F1(-4,0),則m等于(　B　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)9 解析:4=(m>0)?m=3, 故選B. 2.(2018·寶雞三模)已知橢圓的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),P是橢圓上一點,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中項,則橢圓的方程是(　C　) (A)+=1 (B)+=1

2、(C)+=1 (D)+=1 解析:因為F1(-1,0),F2(1,0), 所以|F1F2|=2, 因為|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項, 所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, 即|PF1|+|PF2|=4, 所以點P在以F1,F2為焦點的橢圓上, 因為2a=4,a=2,c=1,所以b2=3. 所以橢圓的方程是+=1.故選C. 3.已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(,0),直線y=x與橢圓的一個交點的橫坐標為2,則橢圓方程為(　C　) (A)+y2=1 (B)x2+=1 (C)+=1 (D)+=1 解析:依題意,設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),則

3、有由此解得a2=20,b2=5,因此所求的橢圓方程是+=1,選C. 4.(2018·廣西柳州市一模)已知點P是以F1,F2為焦點的橢圓+ =1(a>b>0)上一點,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,則橢圓的離心率e等于(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:因為點P是以F1,F2為焦點的橢圓+=1(a>b>0)上一點,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2, 所以=2, 設(shè)|PF2|=x,則|PF1|=2x, 由橢圓定義知x+2x=2a, 所以x=, 所以|PF2|=, 則|PF1|=, 由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2, 所以解

4、得c=a, 所以e==,選A. 5.過橢圓+=1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:由題意知橢圓的右焦點F的坐標為(1,0),則直線AB的方程為y=2x-2. 聯(lián)立橢圓方程解得交點為(0,-2),(,), 所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB| =×1× =, 故選B. 6.若橢圓的方程為+=1,且此橢圓的焦距為4,則實數(shù)a=　　　　.? 解析:由題可知c=2. ① 當焦點在x軸上時,10-a-(a-2)=22,解得a=4. ②

5、 當焦點在y軸上時,a-2-(10-a)=22, 解得a=8. 故實數(shù)a=4或8. 答案:4或8 7.已知橢圓的中心在原點,以坐標軸為對稱軸,且經(jīng)過兩點P1(,1),P2(-,-),則橢圓的方程為　　　　.? 解析:設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n). 因為橢圓經(jīng)過點P1,P2,所以點P1,P2的坐標適合橢圓方程. 則得 所以所求橢圓方程為+=1. 答案:+=1 8.(2018·安徽模擬)已知F1,F2是長軸長為4的橢圓C:+=1(a>b>0)的左右焦點,P是橢圓上一點,則△PF1F2面積的最大值為　　　　.? 解析:F1,F2是長軸長為4的橢圓C:

6、+=1(a>b>0)的左右焦點,a=2,b2+c2=4,P是橢圓上一點,△PF1F2面積最大時,P在橢圓的短軸的端點,此時三角形的面積最大,S=bc≤=2,當且僅當b=c=時,三角形的面積最大. 答案:2 能力提升(時間:15分鐘) 9.(2018·河南一模)已知兩定點A(-1,0)和B(1,0),動點P(x,y)在直線l:y=x+3上移動,橢圓C以A,B為焦點且經(jīng)過點P,則橢圓C的離心率的最大值為(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:設(shè)點A(-1,0)關(guān)于直線l:y=x+3的對稱點為A′(m,n),則 得所以A′(-3,2). 連接A′B,則|PA|+|PB|=|P

7、A′|+|PB|≥|A′B|=2, 所以2a≥2. 所以橢圓C的離心率的最大值為==.故選A. 10.(2018·臨沂三模)直線x+4y+m=0交橢圓+y2=1于A,B,若AB中點的橫坐標為1,則m等于(　A　) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2 解析:由題意,設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則 +=1,+=1兩式相減, =-·, 結(jié)合直線的斜率為-,AB中點橫坐標為1, 所以AB中點縱坐標為, 將點(1,)代入直線x+4y+m=0得m=-2.故選A. 11.(2018·珠海一模)過點M(1,1)作斜率為-的直線l與橢圓C: +=1(a>b>0)相交于

8、A,B兩點,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率為　　　　.? 解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 x1+x2=2,y1+y2=2,kAB==-, +=1, ① +=1, ② ①-②整理,得=-·, 即=, 所以離心率e===. 答案: 12.(2018·天津卷)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為,|AB|=. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)直線l:y=kx(k

9、<0)與橢圓交于P,Q兩點,l與直線AB交于點M,且點P,M均在第四象限.若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,求k 的值. 解:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有=, 又由a2=b2+c2,可得2a=3b. 又|AB|==, 從而a=3,b=2. 所以,橢圓的方程為+=1. (2)設(shè)點P的坐標為(x1,y1),點M的坐標為(x2,y2) , 由題意知,x2>x1>0,點Q的坐標為(-x1,-y1). 由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍, 可得|PM|=2|PQ|, 從而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1. 易知直線AB的方程為2x+3y=6, 由

10、方程組 消去y,可得x2=. 由方程組 消去y,可得x1=. 由x2=5x1,可得=5(3k+2), 兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0, 解得k=-或k=-. 當k=-時,x2=-9<0,不合題意,舍去; 當k=-時,x2=12,x1=,符合題意. 所以k的值為-. 13.(2018·和平區(qū)校級一模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點為(,0),且經(jīng)過點(-1,-),點M是y軸上的一點,過點M的直線l與橢圓C交于A,B兩點. (1)求橢圓C的方程; (2)若=2,且直線l與圓O:x2+y2=相切于點N,求|MN|的長. 解:(1)由題意知, 即(a2-

11、4)(4a2-3)=0, 因為a2=3+b2>3, 解得a2=4,b2=1, 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)顯然直線l的斜率存在,設(shè)M(0,m),直線l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 直線l與圓O:x2+y2=相切, 所以=,即m2=(k2+1), ① 由得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 由韋達定理,得x1+x2=-, x1x2=, 由=2,有x1=-2x2, 解得x1=-,x2=, 所以-=, 化簡得-=m2-1, ② 把②代入①可得48k4+16k2-7=0, 解得k2=,m2=, 在Rt△OMN中,可得|MN|==. 故|MN|的長為.