2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1.6 解析幾何(講)理

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1、 專題1.6 解析幾何 考向一 直線與圓 【高考改編☆回顧基礎(chǔ)】 1.【直線垂直的位置關(guān)系及直線的點(diǎn)斜式方程】【2016·天津卷改編】過(guò)原點(diǎn)且與直線2x+y=0垂直的直線方程為_(kāi)_______. 【答案】y=x 【解析】因?yàn)橹本€2x+y=0的斜率為-2,所以所求直線的斜率為,所以所求直線方程為y=x. 2.【弦長(zhǎng)問(wèn)題】【2016·全國(guó)卷Ⅰ改編】設(shè)直線y=x+2與圓C:x2+y2-2y-2=0相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________. 【答案】2 3.【直線與圓,圓與圓的位置關(guān)系】【2016·山東卷改編】已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)

2、截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是________. 【答案】相交 【解析】由垂徑定理得2+()2=a2,解得a2=4,∴圓M:x2+(y-2)2=4,∴圓M與圓N的圓心距d==.∵2-1<<2+1,∴兩圓相交. 4.【橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系】【2017課標(biāo)3,改編】已知橢圓C:,(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切,則C的離心率為 . 【答案】 【解析】 故填. 【命題預(yù)測(cè)☆看準(zhǔn)方向】 從近五年的高考試題來(lái)看,高考的重點(diǎn)是求圓的方程、求與圓有關(guān)的軌跡

3、方程、直線與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題、切線問(wèn)題、圓與圓的位置關(guān)系,圓與圓錐曲線的交匯問(wèn)題是高考的熱點(diǎn),經(jīng)常以選擇題、解答題的形式出現(xiàn).另外,從高考試題看,涉及直線、圓的問(wèn)題有與圓錐曲線等綜合命題趨勢(shì).復(fù)習(xí)中應(yīng)注意圍繞圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等,其中經(jīng)??疾榈氖菆A與圓位置關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)軌跡,直線與圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題、切線問(wèn)題、參數(shù)的取值范圍等. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2018屆北京豐臺(tái)二中高三上學(xué)期期中】已知點(diǎn)及圓. (Ⅰ)設(shè)過(guò)的直線與圓交于, 兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求以為直徑的圓的方程. (Ⅱ)設(shè)直線與圓交于, 兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù),使得過(guò)點(diǎn)的直線,垂直平分弦?

4、若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1) (2) 不存在實(shí)數(shù),使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦. 【解析】試題分析:(1)由利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心C到P的距離,再根據(jù)弦長(zhǎng)|MN|的一半及半徑,利用勾股定理求出弦心距d,發(fā)現(xiàn)|CP|與d相等,所以得到P為MN的中點(diǎn),所以以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo),半徑為|MN|的一半,根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可;(2)把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)交點(diǎn),所以得到△>0,列出關(guān)于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范圍,利用反證法證明證明即可. (Ⅱ)把直線

5、及代入圓的方程,消去,整理得: , 由于直線交圓于, 兩點(diǎn), 故,即,解得. 則實(shí)數(shù)的取值范圍是. 設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在, 由于垂直平分弦,故圓心必在直線上, 所以的斜率,所以, 由于, 故不存在實(shí)數(shù),使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦. 【趁熱打鐵】【2018屆江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校、黃橋中學(xué)、口岸中學(xué)三校高三12月聯(lián)考】經(jīng)過(guò)點(diǎn)且圓心是直線與直線的交點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________. 【答案】 【解析】直線與直線的交點(diǎn)為 即圓心為,因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以半徑為2,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 故答案為 【例2】已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,2),B(2,0),圓C的圓心在圓x2+y2=2的內(nèi)

6、部,且直線3x+4y+5=0被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2.點(diǎn)P為圓C上異于A,B的任意一點(diǎn),直線PA與x軸交于點(diǎn)M,直線PB與y軸交于點(diǎn)N. (1)求圓C的方程; (2)若直線y=x+1與圓C交于A1,A2兩點(diǎn),求·; (3)求證:|AN|·|BM|為定值. 【答案】(1)x2+y2=4.(2)3.(3)證明:見(jiàn)解析. (2)將y=x+1代入x2+y2=4得2x2+2x-3=0. 設(shè)A1(x1,y1),A2(x2,y2), 則x1+x2=-1,x1x2=-. ∴·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+(x1+1)(x2+1)=2x1x2-(x1+

7、x2)+5=-3+1+5=3. (3)證明:當(dāng)直線PA的斜率不存在時(shí),|AN|·|BM|=8. 當(dāng)直線PA與直線PB的斜率都存在時(shí),設(shè)P(x0,y0), 直線PA的方程為y=x+2,令y=0得M. 直線PB的方程為y=(x-2),令x=0得N. ∴|AN|·|BM|==4+4 = 4 + 4· = 4 + 4· = 4 + 4× = 8, 故|AN|·|BM|為定值8. 【趁熱打鐵】(1)已知圓C的方程為x2+y2+8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的取值范圍為_(kāi)_______________. (2)已知

8、圓C:x2+y2-ax+2y-a+4=0關(guān)于直線l1:ax+3y-5=0對(duì)稱,過(guò)點(diǎn)P(3,-2)的直線l2與圓C交于A,B兩點(diǎn),則弦長(zhǎng)|AB|的最小值為_(kāi)_______________. 【答案】(1)-≤k≤0 (2)2. (2)圓C:x2+y2-ax+2y-a+4=0,其圓心C為,半徑r=. ∵圓C關(guān)于直線l1:ax+3y-5=0對(duì)稱,∴-3-5=0, 解得a=±4. 當(dāng)a=-4時(shí),半徑小于0,不合題意,舍去. ∴a=4,則圓心C為(2,-1),半徑r=. 由|PC|=<,可知點(diǎn)P在圓內(nèi),則當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最小時(shí),直線l2與PC所在直線垂直. 此時(shí)圓心C到直線l2的距離

9、d=|PC|=, 弦長(zhǎng)|AB|=2=2, 即所求最小值為2. 【方法總結(jié)☆全面提升】 1.要注意幾種直線方程的局限性,點(diǎn)斜式、斜截式方程要求直線不能與x軸垂直,兩點(diǎn)式方程要求直線不能與坐標(biāo)軸垂直,而截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線. 2.求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問(wèn)題時(shí),主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件,即若斜率存在時(shí),“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”;若出現(xiàn)斜率不存在的情況,可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究. 3.求圓的方程一般有兩類方法: (1)幾何法,通過(guò)圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,求得圓的基本量和方程; (2)代數(shù)法,即用待定系數(shù)

10、法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù). 4.直線與圓的位置關(guān)系: (1)代數(shù)法.將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來(lái)組成方程組,利用判別式Δ來(lái)討論位置關(guān)系:Δ>0?相交;Δ=0?相切;Δ<0?相離; (2)幾何法.把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較:dr?相離. 優(yōu)先選用幾何法. 5.處理有關(guān)圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題求解方法: (1)根據(jù)平面幾何知識(shí)構(gòu)建直角三角形,把弦長(zhǎng)用圓的半徑和圓心到直線的距離表示,l=2(其中l(wèi)為弦長(zhǎng),r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離). (2)根據(jù)公式:l=|x1-x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng),x1,x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo),k

11、為直線的斜率). (3)求出交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求解. 【規(guī)范示例☆避免陷阱】 【典例】已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B. ①求圓的圓心坐標(biāo). ②求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程. ③是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由. 【規(guī)范解答】: ①由,得(x-3)2+y2=4, 從而可知圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0). ②設(shè)線段AB的中點(diǎn)M(x,y), 由弦的性質(zhì)可知C1M⊥AB,即C1M⊥OM. 故點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)C1為直徑的圓, 該圓的圓心為C,半徑r=|OC1|=3=,其方程為+

12、y2=,即x2+y2-3x=0. 又因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),所以點(diǎn)M在圓C1內(nèi),所以<2. 又x2+y2-3x=0,所以x> 易知x≤3,所以

13、.涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí),應(yīng)多考慮圓的幾何性質(zhì),利用幾何法進(jìn)行運(yùn)算求解往往會(huì)減少運(yùn)算量. 考向二 橢圓、雙曲線、拋物線 【高考改編☆回顧基礎(chǔ)】 1.【橢圓的方程及其幾何性質(zhì)】【2017·江蘇卷改編】橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,橢圓的半焦距為c且a2=4c,則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________. 【答案】+=1  【解析】因?yàn)闄E圓E的離心率為,所以e==,又a2=4c, 所以a=2,c=1,于是b==, 因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1. 2.【雙曲線的方程及其幾何性質(zhì)】【2017·全國(guó)卷Ⅲ】雙曲線-=1(a>0)的一條漸近線方程為y=x,則a=____

14、____. 【答案】 【解析】令-=0,得雙曲線的漸近線方程為y=±x,∵雙曲線-=1(a>0)的一條漸近線方程為y=x,∴a=5. 3. 【拋物線方程及其幾何性質(zhì)】【2017課標(biāo)1,改編】已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A、B兩點(diǎn),直線l2與C交于D、E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為 . 【答案】16 【命題預(yù)測(cè)☆看準(zhǔn)方向】 從近五年的高考試題來(lái)看,圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是高考考查的重點(diǎn),也是高考命題的基本元素.考查的角度有:對(duì)圓錐曲線的定義的理解及定義的應(yīng)用,求圓錐曲線

15、的標(biāo)準(zhǔn)方程,求圓錐曲線的離心率以及向量、直線、圓錐曲線的小綜合. 考查的重點(diǎn)是依據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)求離心率;根據(jù)圓錐曲線的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程;圓錐曲線與向量的小綜合;兩種圓錐曲線間的小綜合;直線與圓錐曲線的小綜合;圓錐曲線的綜合應(yīng)用等. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2017課標(biāo)II,理9】若雙曲線(,)的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2,則的離心率為( ) A.2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【趁熱打鐵】【2018屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上第五次月考(一模

16、)】F1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn).若△ABF2是等邊三角形,則該雙曲線的離心率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè),則, 由余弦定理得 選D. 【例2】【2017課標(biāo)II,理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:上,過(guò)M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足。 (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上,且。證明:過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F。 【答案】(1) 。 (2)證明略。 【解析】 (2)由題意知.設(shè),則 , 。 由得,又由(1)知,故 . 所

17、以,即.又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 【趁熱打鐵】如圖,拋物線.點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C2上,過(guò)點(diǎn)M作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O).當(dāng)時(shí),切線MA的斜率為. (1)求p的值; (2)當(dāng)點(diǎn)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB的中點(diǎn)N的軌跡方程(當(dāng)A,B重合于點(diǎn)O時(shí),中點(diǎn)為O). 【答案】(1)p=2.(2)x2=y. 【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€C1:x2=4y上任意一點(diǎn)(x,y)的切線斜率為y'=,且切線MA的斜率為-,所以A點(diǎn)坐標(biāo)為,所以切線MA的方程為y=-(x+1)+. 因?yàn)辄c(diǎn)M(1-,y0)在切線MA及

18、拋物線C2上, 于是y0=-(2-)+=-,① y0=-=-.② 由①②得p=2. (2)設(shè)N(x,y),A,B,x1≠x2,由N為線段AB中點(diǎn), 知x=,③ y=.④ 切線MA的方程為y=(x-x1)+,⑤ 切線MB的方程為y=(x-x2)+.⑥ 由⑤⑥得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為x0=,y0=. 因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在C2上,即=-4y0, 所以x1x2=-.⑦ 由③④⑦得x2=y,x≠0. 當(dāng)x1=x2時(shí),A,B重合于原點(diǎn)O,AB中點(diǎn)N為O,坐標(biāo)滿足x2=y. 因此線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x2=y. 【例3】【2017課標(biāo)3,理20】已知拋

19、物線C:y2=2x,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C與A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; (2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn),求直線l與圓M的方程. 【答案】(1)證明略; (2)直線 的方程為 ,圓 的方程為 . 或直線 的方程為 ,圓 的方程為 . 【解析】 所以 ,解得 或 . 當(dāng) 時(shí),直線 的方程為 ,圓心 的坐標(biāo)為 ,圓 的半徑為 ,圓 的方程為 . 當(dāng) 時(shí),直線 的方程為 ,圓心 的坐標(biāo)為 ,圓 的半徑為 ,圓 的方程為 . 【趁熱打鐵】【2018屆廣東省仲元中學(xué)、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓的上、下、左、右四個(gè)頂點(diǎn)分別為x軸正半軸上的

20、某點(diǎn)滿足. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在圓上,且在第一象限,過(guò)作圓的切線交橢圓于,求證:△的周長(zhǎng)是定值. 【答案】(1) (2)見(jiàn)解析 【解析】試題分析: (1) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為可知,可得橢圓方程;(2)法一:設(shè),結(jié)合橢圓方程可得,在圓中, 是切點(diǎn), ,同理可得,則易得結(jié)論;法二:設(shè) 的方程為,聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出,再求出,則結(jié)論易得. 試題解析: (1)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為,可知, . 因此橢圓的方程是. (2)方法1:設(shè),則, =, ∵,∴, 在圓中, 是切點(diǎn), ∴==, ∴, 同理,∴, 因

21、此△的周長(zhǎng)是定值. 方法2:設(shè)的方程為, 由,得, 設(shè),則, ∴== = , ∵與圓相切,∴,即, ∴, ∵, ∵,∴, 同理可得, ∴, 因此△的周長(zhǎng)是定值. 【方法總結(jié)☆全面提升】 1.涉及橢圓(或雙曲線)兩焦點(diǎn)距離的問(wèn)題或焦點(diǎn)弦問(wèn)題以及到拋物線焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)距離的問(wèn)題,可優(yōu)先考慮圓錐曲線的定義.求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)“先定型,后計(jì)算”,即首先確定是何種曲線,焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上,然后利用條件求a,b,p的值. 2.求橢圓、雙曲線的離心率問(wèn)題,關(guān)鍵是首先根據(jù)已知條件確定a,b,c的關(guān)系,然后將b用a,c代換,求e= 的值;另外要注意雙曲線的漸近線與離心率的

22、關(guān)系.圓錐曲線的性質(zhì)常與等差數(shù)列、等比數(shù)列、三角函數(shù)、不等式等問(wèn)題聯(lián)系在一起,一般先利用條件轉(zhuǎn)化為單一知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題再求解. 3.求曲線的軌跡方程時(shí),先看軌跡的形狀是否預(yù)知,若能依據(jù)條件確定其形狀,可用定義法或待定系數(shù)法求解;若動(dòng)點(diǎn)P與另一動(dòng)點(diǎn)Q有關(guān),點(diǎn)Q在已知曲線上運(yùn)動(dòng),可用代入法求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;否則用直接法求解. 4.涉及圓錐曲線的焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形問(wèn)題,常結(jié)合定義、正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決. 5.涉及垂直問(wèn)題可結(jié)合向量的數(shù)量積解決. 6.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題,主要有方程組法,和“點(diǎn)差法”.對(duì)于弦中點(diǎn)問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)

23、,要注意使用條件Δ≥0,在用“點(diǎn)差法”時(shí),要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交. 【規(guī)范示例☆避免陷阱】 【典例】【2016·乙卷】設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. (Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程; (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn), 過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求 四邊形MPNQ面積的取值范圍. 【規(guī)范解答】(Ⅰ)圓A整理為(x+1)2+y2=16,圓心A(-1,0),1分 如圖, 因?yàn)锽E∥AC,則∠ACB=∠EBD,

24、由|AC|=|AD|, 則∠ADC=∠ACD,所以∠EBD=∠EDB, 則|EB|=|ED|,1分 所以|EA|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4. 所以E的軌跡為一個(gè)橢圓,1分 a=2,c=1,方程為+=1(y≠0).1分 (Ⅱ)C1:+=1;設(shè)l:x=my+1, 因?yàn)镻Q⊥l,設(shè)PQ:y=-m(x-1),聯(lián)立l與橢圓C1, 得(3m2+4)y2+6my-9=0; 則|MN|=|yM-yN| ==;2分 圓心A到PQ距離d==, 所以|PQ|=2=2 =,2分, 所以SMPNQ=|MN|·|PQ|=·· = 2分 =24∈[12,8).

25、2分 【反思提升】處理有關(guān)圓錐曲線與圓相結(jié)合的問(wèn)題,要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用,如直徑對(duì)的圓心角為直角,構(gòu)成了垂直關(guān)系;弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形.利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,往往使問(wèn)題簡(jiǎn)化.. 【誤區(qū)警示】第(Ⅰ)問(wèn)得分點(diǎn)及說(shuō)明 得分點(diǎn) 1.寫出圓心坐標(biāo)得1分. 2.得出EB=ED,得1分. 3.根據(jù)橢圓定義判斷點(diǎn)E的軌跡是橢圓,得1分. 4.得出橢圓方程,得1分. 踩點(diǎn)說(shuō)明 1.只要得出橢圓方程正確,得4分,忽略y≠0扣1分. 2.只要正確判斷出點(diǎn)E的軌跡是橢圓,得3分. 3.若只有橢圓方程,而沒(méi)有解答過(guò)程,得2分. 第(Ⅱ)問(wèn)得分點(diǎn)及說(shuō)

26、明 5.根據(jù)弦長(zhǎng)公式整理得出弦長(zhǎng)|MN|得2分 6.得出弦長(zhǎng)|PQ|得2分. 7.列出面積表達(dá)式,得2分. 8.求出面積的范圍,得2分. 踩點(diǎn)說(shuō)明 1.結(jié)果正確,有過(guò)程得滿分. 2.兩個(gè)弦長(zhǎng)|MN|,|PQ|只要結(jié)果正確,每個(gè)得2分. 3.直線方程和橢圓方程聯(lián)立,給1分. 4.寫對(duì)弦長(zhǎng)公式,給1分. 5.寫出點(diǎn)到直線距離公式正確,給1分. 考向三 圓錐曲線的熱點(diǎn)問(wèn)題 【高考改編☆回顧基礎(chǔ)】 1.【直線、圓、橢圓的位置關(guān)系及過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】【2017·全國(guó)卷Ⅱ改編】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:+y2=1上,P在圓x2+y2=2上,設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且·=1,則過(guò)

27、點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l ________(填“經(jīng)過(guò)”或“不經(jīng)過(guò)”)C的左焦點(diǎn)F. 【答案】經(jīng)過(guò) 2. 【直線與橢圓的位置關(guān)系及定值問(wèn)題】【2016·山東卷改編】如圖13-1,已知橢圓C:+=1(a>b>0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0,m)(00,y0>0). 由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m), 所以直線PM的斜率

28、k==, 直線QM的斜率k′==-. 此時(shí)=-3,所以為定值-3. 3.【直線與拋物線的位置關(guān)系及范圍問(wèn)題】【2017·浙江卷改編】已知拋物線x2=y(tǒng),點(diǎn)A,拋物線上的點(diǎn)P(x,y),則直線AP斜率的取值范圍為_(kāi)_______________ . 【答案】 (-1,1) 【解析】設(shè)直線AP的斜率為k,則k==x-.因?yàn)椋?x<,所以直線AP斜率的取值范圍是(-1,1). 【命題預(yù)測(cè)☆看準(zhǔn)方向】 直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系是高考的重點(diǎn),常常與平面向量、三角函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識(shí)交匯命題. 直線與圓錐曲線相交,求其弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、定點(diǎn)、定值、最值、面積、對(duì)稱、參數(shù)范圍、存在性

29、問(wèn)題等是高考的熱點(diǎn),常用到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.預(yù)測(cè)2018年應(yīng)側(cè)重直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、定點(diǎn)問(wèn)題、 定值問(wèn)題、最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題、探索性問(wèn)題等. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2017浙江,21】(本題滿分15分)如圖,已知拋物線,點(diǎn)A,,拋物線上的點(diǎn).過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q. (Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍; (Ⅱ)求的最大值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) 【解析】 試題解析: (Ⅰ)設(shè)直線AP的斜率為k,則,∵,∴直線AP斜率的取值范圍是. (Ⅱ)聯(lián)立直線AP與BQ的方程 解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是,因?yàn)閨PA|== |PQ|= ,所以|PA||

30、PQ|= 令,因?yàn)?,所?f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,因此當(dāng)k=時(shí),取得最大值. 【趁熱打鐵】【2018屆河南省鄭州市高三第一次質(zhì)量檢測(cè)(模擬)】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,以為直徑的圓與直線相切. (1)求橢圓的離心率; (2)如圖,過(guò)作直線與橢圓分別交于兩點(diǎn),若的周長(zhǎng)為,求的最大值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】試題分析: (1)有直線和圓相切得到關(guān)于的關(guān)系式,整理可得,從而可得.(2)根據(jù)三角形的周長(zhǎng)可得,故,可得橢圓的方程.分直線斜率存在和不存在兩種情況分別求得的值,可得最大值是. 試題解析: (1)由題意, 即 ∴, . (2)因?yàn)槿?/p>

31、角形的周長(zhǎng)為, 所以 ∴, ∴橢圓方程為,且焦點(diǎn), ①若直線斜率不存在,則可得軸,方程為 解方程組可得或. ∴, ∴, 故. ②若直線斜率存在,設(shè)直線的方程為, 由消去整理得 , 設(shè), 則 ∴ ∵, ∴可得, 綜上可得. 所以最大值是. 【例2】【2018屆廣西柳州市高三上摸底】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5. (1)求該拋物線的方程; (2)已知拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條弦和,且,判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)?并說(shuō)明理由. 【答案】(1).(2) 【解析】試題分析:(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐

32、標(biāo),結(jié)合題意列關(guān)于p的等式求p,則拋物線方程可求; (2)由(1)求出M的坐標(biāo),設(shè)出直線DE的方程 ,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化為關(guān)于y的一元二次方程后D,E兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積,利用 得到t與m的關(guān)系,進(jìn)一步得到DE方程,由直線系方程可得直線DE所過(guò)定點(diǎn). (2)由(1)可得點(diǎn),可得直線的斜率不為0, 設(shè)直線的方程為: , 聯(lián)立,得, 則①. 設(shè),則. ∵ 即,得: , ∴,即或, 代人①式檢驗(yàn)均滿足, ∴直線的方程為: 或. ∴直線過(guò)定點(diǎn)(定點(diǎn)不滿足題意,故舍去). 【趁熱打鐵】【2018屆云南省昆明一中高三第一次摸底】已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足: .

33、 (1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程; (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),證明:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】(1);(2)直線過(guò)定點(diǎn) ,證明見(jiàn)解析. 試題解析:(1)由已知,動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn), 的距離之和為, 且,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓,而, ,所以, 所以,動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程: . (2)設(shè), ,則,由已知得直線的斜率存在,設(shè)斜率為,則直線的方程為: 由 得, 所以, , 直線的方程為: ,所以, 令,則, 所以直線與軸交于定點(diǎn).      

34、    【例3】【2018屆廣東省仲元中學(xué)、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓的上、下、左、右四個(gè)頂點(diǎn)分別為x軸正半軸上的某點(diǎn)滿足. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在圓上,且在第一象限,過(guò)作圓的切線交橢圓于,求證:△的周長(zhǎng)是定值. 【答案】(1) (2)見(jiàn)解析 【解析】試題分析: (1) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為可知,可得橢圓方程;(2)法一:設(shè),結(jié)合橢圓方程可得,在圓中, 是切點(diǎn), ,同理可得,則易得結(jié)論;法二:設(shè) 的方程為,聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出,再求出,則結(jié)論易得. 試題解析: (1)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為,可知, .

35、 因此橢圓的方程是. (2)方法1:設(shè),則, =, ∵,∴, 在圓中, 是切點(diǎn), ∴==, ∴, 同理,∴, 因此△的周長(zhǎng)是定值. 方法2:設(shè)的方程為, 由,得, 設(shè),則, ∴== = , ∵與圓相切,∴,即, ∴, ∵, ∵,∴, 同理可得, ∴, 因此△的周長(zhǎng)是定值. 【趁熱打鐵】【2018屆福建省泉州市高三1月檢查】已知橢圓的離心率為,上頂點(diǎn)為. 點(diǎn)在上,點(diǎn), 的最大面積等于. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)若直線與交于另一點(diǎn),直線分別與軸交于點(diǎn),試判斷是否為定值. 【答案】(1)(2) 【解析】試題分析: 運(yùn)用題設(shè)條件建立方程求解; 直

36、線的方程為,聯(lián)立方程組,解,求得直線, 的方程,解得, 的坐標(biāo),計(jì)算出結(jié)果。 解析:(Ⅰ)由題意,可得的最大面積為,即.……① 又……②  ……③  聯(lián)立①②③,解得, , 故的方程.  (Ⅱ)設(shè)直線的方程為, , .  聯(lián)立方程組消去,得, 整理,得, 由韋達(dá)定理,得, 又直線的方程為,所以, 直線的方程為,所以, 所以  , 即為定值.  【例4】已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),過(guò)點(diǎn)F2垂直于長(zhǎng)軸的直線l交橢圓C于B,D兩點(diǎn),且|BD|=3. (1)求橢圓C的方程; (2)是否存在過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l1與橢圓C相交于

37、不同的兩點(diǎn)M,N,且滿足·=?若存在,求出直線l1的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)+=1.(2)存在直線l1滿足條件,其方程為y=x. 【解析】 (1)設(shè)橢圓的方程是+=1(a>b>0),由題可知c=1, 因?yàn)閨BD|=3,所以=3, 又a2-b2=1,所以a=2,b=, 所以橢圓C的方程為+=1. 所以(x1-2)(x2-2)(1+k2)=, 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)=, 所以(1+k2)==, 解得k=±.因?yàn)閗>-,所以k=, 故存在直線l1滿足條件,其方程為y=x. 【趁熱打鐵】如圖,圓: . (1)若圓與軸相切,求圓的

38、方程; (2)求圓心的軌跡方程; (3)已知,圓與軸相交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)).過(guò)點(diǎn)任作一條直線與圓: 相交于兩點(diǎn).問(wèn):是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出實(shí)數(shù)的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1);(2)(3)存在,使得 (2)求圓心點(diǎn)坐標(biāo)為,則 圓心點(diǎn)的軌跡方程為 (3)令,得,即所以 假設(shè)存在實(shí)數(shù),當(dāng)直線AB與軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為, 代入得, ,設(shè)從而 因?yàn)? 而 因?yàn)?,所以,即,得? 當(dāng)直線AB與軸垂直時(shí),也成立.故存在,使得 【方法總結(jié)☆全面提升】 1.圓錐曲線中求最值或范圍問(wèn)題的方法 若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立

39、目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值.常從以下幾個(gè)方面考慮: ①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍; ②利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系; ③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍; ④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍; ⑤利用函數(shù)的值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍. 2.定點(diǎn)問(wèn)題的求法 解題的關(guān)鍵在于尋找題中用來(lái)聯(lián)系已知量和未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式,然后將已知量和未知量代入上述關(guān)系,通過(guò)整理、變形轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線系、曲線系來(lái)解決. 3. 定值問(wèn)題的求法 解這類問(wèn)題常通過(guò)取參數(shù)和特殊值先

40、確定“定值”是多少,再進(jìn)行證明,或者將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式,再證明該式是與變量無(wú)關(guān)的常數(shù). 特別提醒:解決定值問(wèn)題一定要分清哪些量為變量,哪些量為常量. 4. 求解存在性問(wèn)題時(shí),通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在,然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算,若不出現(xiàn)矛看,并且得到了相應(yīng)的幾何元素或參數(shù)值,就說(shuō)明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在;若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾,則說(shuō)明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在,同時(shí)推理與計(jì)算的過(guò)程就是說(shuō)明理由的過(guò)程. 【規(guī)范示例☆避免陷阱】 【典例】【2017·全國(guó)卷Ⅰ】已知橢圓C:+=1(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(

41、0,1),P3(-1,),P4(1,)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. (1)求C的方程. (2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn). 【規(guī)范解答】 (1)由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3,P4兩點(diǎn). 又由+>+知,C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1, 所以點(diǎn)P2在C上.1分 因此解得 故C的方程為+y2=1.4分 (2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2. 如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐標(biāo)分別為(t,),(t,-). 則k1+k2=-=-1,得t=2,不

42、符合題設(shè). 2分 從而可設(shè)l:y=kx+m(m≠1).將y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)>0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=-,x1x2=.2分 而k1+k2=+=+ =. 由題設(shè)k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即(2k+1)·+(m-1)·=0.解得k=-.3分 當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時(shí),Δ>0, 于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2), 所以l過(guò)定點(diǎn)(2,-1).1分 【反思提升】1.求解定點(diǎn)和定值問(wèn)題的基本思想

43、是一致的,定值是證明求解的一個(gè)量與參數(shù)無(wú)關(guān),定點(diǎn)問(wèn)題是求解的一個(gè)點(diǎn)(或幾個(gè)點(diǎn))的坐標(biāo),使得方程的成立與參數(shù)值無(wú)關(guān).解這類試題時(shí)要會(huì)合理選擇參數(shù)(參數(shù)可能是直線的斜率、截距,也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等),使用參數(shù)表達(dá)其中變化的量,再使用這些變化的量表達(dá)需要求解的解題目標(biāo).當(dāng)使用直線的斜率和截距表達(dá)直線方程時(shí),在解題過(guò)程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系,把雙參數(shù)問(wèn)題化為單參數(shù)問(wèn)題解決. 2.證明直線過(guò)定點(diǎn)的基本思想是使用一個(gè)參數(shù)表示直線方程,根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無(wú)關(guān)得出x,y的方程組,以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過(guò)的定點(diǎn). 【誤區(qū)警示】1.正確使用圓錐曲線的定義:牢記圓錐曲線的定義及性質(zhì),用解方程的方法求出a2、b2,如本題第(1)問(wèn)就涉及橢圓的性質(zhì)來(lái)判斷點(diǎn)在不在橢圓上. 2.注意分類討論:當(dāng)用點(diǎn)斜式表示直線方程時(shí),應(yīng)分直線的斜率存在和不存在兩種情況求解,易出現(xiàn)忽略斜率不存在的情況,導(dǎo)致扣分,如本題第(2)問(wèn)中首先要求出斜率不存在時(shí)的情況. 3.寫全得分關(guān)鍵:在解析幾何類解答題中,直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后得到的一元二次方程,根據(jù)一元二次方程得到的兩根之和與兩根之積,弦長(zhǎng),目標(biāo)函數(shù),……等一些關(guān)鍵式子和結(jié)果都是得分點(diǎn),在解答時(shí)一定要寫清楚. 34

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