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雙基限時(shí)練(二十五)
基 礎(chǔ) 強(qiáng) 化
1．已知兩個(gè)力F1、F2的夾角為90°，它們的合力大小為10 N，合力與F1的夾角為60°，那么F1的大小為( )
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
解析 |F1|＝10×cos60°＝5.故選B.
答案 B
2．△ABC中，＝c，＝a，且c·a<0，則△ABC是( )
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．無(wú)法確定
解析 ∵a·c<0，∴a與c所成角為鈍角，〈a·c〉>.
則∠B＝π－〈a
2、，b〉<，
∴∠B為銳角，△ABC形狀無(wú)法確定．
答案 D
3．和直線3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分別是( )
A．a(chǎn)＝(3,4)，b＝(3，－4)
B．a(chǎn)＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a(chǎn)＝(4,3)，b＝(3，－4)
D．a(chǎn)＝(－4,3)，b＝(3,4)
解析 與直線3x－4y＋7＝0垂直的向量為(3，－4)，
與直線3x－4y＋7＝0平行的向量為(4,3)．
∴a＝(4,3)，b＝(3，－4)．
答案 C
4．在△OAB中，＝a，＝b，M為OB的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，ON、AM交于點(diǎn)P，則＝( )
A.a－b B．－a＋b
C.a
3、－b D．－a＋b
解析 P為△OAB的重心，∴＝－＝－＝－＝－＋＝－a＋b.
答案 B
5．已知P為三角形ABC內(nèi)部任一點(diǎn)(不包括邊界)，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC一定為( )
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
解析 由題意，·(＋)＝0，即AB邊上的中線與AB垂直，
∴該三角形是等腰三角形．
答案 D
6．點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度向量v＝(4，－3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同，且每秒移動(dòng)的距離為|v|個(gè)單位)．設(shè)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－10,10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A．(－2,4) B．
4、(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
解析 P點(diǎn)的位移為5v＝(20，－15)．
∵P點(diǎn)的起始位置為(－10,10)，
∴5秒后P點(diǎn)的位置為(10，－5)．
答案 C
7．已知△AOB，點(diǎn)P在直線AB上，且滿足＝2t＋t(t∈R)，則t＝________.
解析 ＝2t(－)＋t，
(2t＋1)＝2t＋t，
∴＝＋，∵A、B、P三點(diǎn)共線，
∴＋＝1，∴t＝1.
答案 1
8．已知一物體在共點(diǎn)力F1＝(2,2)，F(xiàn)2＝(3,1)的作用下產(chǎn)生位移S＝，則共點(diǎn)力對(duì)物體所做的功為_(kāi)_______．
解析 F1＋F2＝(5,3)，共點(diǎn)力對(duì)物體所做的功為F
5、·S＝5×＋×3＝7.
答案 7
能 力 提 升
9．如圖所示，已知點(diǎn)A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，則AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
解析 設(shè)＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，
則＝－＝(4t－3,4t)，
＝(2,1)－(3,0)＝(－1,1)．
由，共線得(4t－3)×1－4t×(－1)＝0，解得t＝.
∴＝(4t,4t)＝.
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為.
答案
10．如圖所示，已知四邊形ABCD是梯形，與共線，(＋)·(＋)＝0.試證：梯形ABCD是等腰梯形．
證明 作DE∥AB交BC于E，如圖所示，由于AD∥BC，
所以＝λ，設(shè)F為CE的
6、中點(diǎn)，
則＋＝＋＝2.
又∵＋＝＋＋＋
＝＋＝(1＋λ).
代入(＋)·(＋)＝0，得
2·(1＋λ)＝0.
∴⊥，∴||＝||.
∴||＝||.
即梯形ABCD是等腰梯形．
11．有一艘在靜水中速度為10 km/h的船，現(xiàn)船沿與河岸成60°角的方向向河的上游行駛．由于受水流的影響，結(jié)果沿垂直于河岸的方向駛達(dá)對(duì)岸．設(shè)兩岸平行，流速均勻．
(1)設(shè)船相對(duì)于河岸和靜水的速度分別為u km/h，v km/h，河水的流速為w km/h，求u，v，w之間的關(guān)系式；
(2)求這條河河水的流速．
解析 (1)如圖，u是垂直到達(dá)河對(duì)岸方向的速度，v是與河岸與60°角的靜水中的船
7、速，則v與u的夾角為30°.
由題意知，u，v，w三條有向線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形，其中＝v，＝u，＝＝w.由向量加法的三角形法則知，＝＋，即u＝w＋v.
(2)∵|v|＝10 km/h，而||＝||sin30°＝10×＝5 km/h，
∴這條河河水的流速為5 km/h，方向順著河岸向下．
12．如圖，已知Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM＝1，N在OA上，且ON＝1，P為AM與BN的交點(diǎn)，求∠MPN.
解析 設(shè)＝a，＝b且，的夾角為θ，則＝b，＝a.
又∵＝－＝b－a，
＝－＝a－b，
∴·＝·＝－5，
||＝，||＝，
∴cosθ＝＝－，∴θ＝.
又∵∠MPN即為向量，的夾角，∴∠MPN＝.
品 味 高 考
13．在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)，若·＝1，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
解析 ∵·＝||·||·cos60°＝||，∴·＝(＋)·＝
－||2＋1＋||.
∵·＝1，∴－||2＋||＝0，解得||＝.
答案
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