【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第七章 第2講二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 第2講 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性 規(guī)劃問(wèn)題 一、填空題 1．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于________． 解析　畫(huà)圖可知，不等式組所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，且三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面積S＝××1＝. 答案　 2．已知x，y滿足記目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最大值為7，最小值為1，則b，c的值分別為_(kāi)_______． 解析 由題意知，直線x＋by＋c＝0經(jīng)過(guò)直線2x＋y＝7和直線x＋y＝4的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)直線2x＋y＝1和直線x＝1的交點(diǎn)，即經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1)和點(diǎn)(1，－1)

2、，∴ ∴b＝－1，c＝－2. 答案 －1，－2 3．已知A(3，)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足設(shè)Z為在上的投影，則Z的取值范圍是________． 解析 約束條件所表示的平面區(qū)域如圖.在上的投影為||cos θ＝2cos θ(θ為與的夾角)， ∵∠x(chóng)OA＝30°，∠x(chóng)OB＝60°， ∴θ∈[30°，150°]，∴2cos θ∈[－3,3]． 答案 [－3,3] 4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時(shí)的最優(yōu)解 (x，y)有無(wú)數(shù)個(gè)，則a的值為_(kāi)_______． 解析 依題意，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．要使z＝y(tǒng)－ax取得

3、最大值時(shí)的最優(yōu)解(x，y)有無(wú)數(shù)個(gè)，則直線z＝y(tǒng)－ax必平行于直線y－x＋1＝0，于是有a＝1. 答案 1 5．設(shè)λ＞0，不等式組所表示的平面區(qū)域是W.給出下列三個(gè)結(jié)論： ①當(dāng)λ＝1時(shí)，W的面積為3； ②?λ＞0，使W是直角三角形區(qū)域； ③設(shè)點(diǎn)P(x，y)，?P∈W有x＋≤4. 其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________． 解析 當(dāng)λ＝1時(shí)，不等式組變成其表示以點(diǎn)(0,0)，(2,2)，(2，－1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，易得W的面積為3，①正確；∵直線λx－y＝0的斜率為λ，直線x＋2λy＝0的斜率為－，λ×＝－≠－1，且直線x＝2垂直于x軸，∴W不可能成為直角三角形區(qū)域，

4、②錯(cuò)誤；顯然，不等式組表示的區(qū)域是以點(diǎn)(0,0)，(2,2λ)，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，令z＝x＋，則其在三個(gè)點(diǎn)處的值依次為：0,4,2－，∴z＝x＋的最大值z(mì)max＝4，③正確． 答案 ①③ 6．已知點(diǎn)Q(5,4)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足則|PQ|的最小值為_(kāi)_______． 解析 不等式組所表示的可行域如圖所示，直線AB的方程為x＋y－2＝0，過(guò)Q點(diǎn)且與直線AB垂直的直線為y－4＝x－5，即x－y－1＝0，其與直線x＋y－2＝0的交點(diǎn)為，而B(niǎo)(1,1)，A(0,2)，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)Q在直線x＋y－2＝0上的射影不在線段AB上，則|PQ|的最小值即為點(diǎn)Q到點(diǎn)B的距離，故 |PQ|mi

5、n＝＝5. 答案 5 7．若實(shí)數(shù)x，y滿足則z＝3x＋2y的最小值是________． 解析　在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組表示的平面區(qū)域(如圖中的陰影部分所示)及直線x＋2y＝0，平移直線x＋2y＝0，當(dāng)平移到經(jīng)過(guò)該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(0,0)時(shí)，相應(yīng)直線在x軸上的截距最小，此時(shí)x＋2y取得最小值，3x＋2y取得最小值，則z＝3x＋2y的最小值是30＋2×0＝1. 答案　1 8．若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從－2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線x＋y＝a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為_(kāi)_______． 解析　平面區(qū)域A如圖所示，所求面積為S＝×2×2－××＝2－＝. 答案　 9

6、．已知集合P＝， Q＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－b)2≤r2，r＞0}．若“點(diǎn)M∈P”是“點(diǎn)M∈Q”的必要條件，則當(dāng)r最大時(shí)，ab的值是________． 解析　集合P所在區(qū)間如圖陰影部分所示，由題意，Q?P，且AB⊥BC，所以當(dāng)r最大時(shí)，圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2是四邊形OABC的內(nèi)切圓，從而a＝b＝r，于是由＝a且＝a，解得a＝b＝，所以ab＝. 答案　 10．已知正數(shù)a，b，c滿足：5c－3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c，則的取值范圍是________． 解析　由條件可得令＝x，＝y(tǒng)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束條件為求目標(biāo)函數(shù)z＝＝的取值范圍．作出不等式組所

7、表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分)，過(guò)原點(diǎn)作y＝ex的切線，切線方程為y＝ex，切點(diǎn)P(1，e)在區(qū)域內(nèi)．故當(dāng)直線y＝zx過(guò)點(diǎn)P(1，e)時(shí)，zmin＝e；當(dāng)直線y＝zx過(guò)點(diǎn)C時(shí)，zmax＝7，故∈[e,7]． 答案　[e,7] 二、解答題 11．實(shí)數(shù)x、y滿足 (1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍； (2)若z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍． 解 作出可行域如圖中陰影部分所示． (1)z＝表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，因此的取值范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(OA斜率不存在)． 而由，得B(1,2)，則kOB＝＝2.

8、 ∴zmax不存在，zmin＝2， ∴z的取值范圍是[2，＋∞)． (2)z＝x2＋y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間的距離的平方． 因此x2＋y2的范圍最小為OA2(取不到)，最大為OB2. 由，得A(0,1)，[來(lái)源:] ∴OA2＝()2＝1，OB2＝()2＝5. ∴z的最大值為5，沒(méi)有最小值． 故z的取值范圍是(1,5]． 12．制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確

9、?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元，問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？ 解 設(shè)投資人分別用x萬(wàn)元、y萬(wàn)元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意知目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.5y. 上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即為可行域． 將z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，這是斜率為－2、隨z變化的一組平行線，當(dāng)直線y＝－2x＋2z經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)M時(shí)，直線y＝－2x＋2z在y軸上的截距2z最大，z也最大． 這里M點(diǎn)是直線x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交點(diǎn)． 解方程組 得x＝4，y＝6， 此時(shí)z＝4＋0.5×6＝7(萬(wàn)元)． ∵7＞0，∴

10、當(dāng)x＝4，y＝6時(shí)，z取得最大值，所以投資人用4萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目、6萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元的前提下，使可能的盈利最大． 13．某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐．已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C. 如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐？ 解　設(shè)

11、需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位，所花的費(fèi)用為z元，則依題意得：z＝2.5x＋4y，且x，y滿足即讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在(4,3)處取得最小值．因此，應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐，就可滿足要求． 14．若a≥0，b≥0，且當(dāng)時(shí)，恒有ax＋by≤1，求以a，b為坐標(biāo)的點(diǎn)P(a，b)所形成的平面區(qū)域的面積． 解　作出線性約束條件對(duì)應(yīng)的可行域如圖(1)所示，在此條件下，要使ax＋by≤1恒成立，只要ax＋by的最大值不超過(guò)1即可． 令z＝ax＋by，則y＝－x＋. 因?yàn)閍≥0，b≥0，則－1＜－≤0時(shí)，b≤1，或－≤－1時(shí)，a≤1. 此時(shí)對(duì)應(yīng)的可行域如圖(2)， 所以以a，b為坐標(biāo)的點(diǎn)P(a，b)所形成的面積為1. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品