數(shù)學理高考二輪專題復習與測試：第二部分 專題六 第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程 Word版含解析

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1、 A級　基礎(chǔ)通關(guān) 一、選擇題 1．(2019·北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝x　　　　 B．y＝2－x C．y＝logx D．y＝ 解析：易知y＝2－x與y＝logx，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，由冪函數(shù)性質(zhì)，y＝在(0，＋∞)上遞減，y＝x在(0，＋∞)上遞增． 答案：A 2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當x＞0時，f(x)＝2x＋2x－4，則f(x)的零點個數(shù)是(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 解析：由于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 故f(0)＝0. 由于f ·f(2)＜0，

2、而函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 故當x＞0時有1個零點，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知， 當x＜0時，也有1個零點．故一共有3個零點． 答案：B 3．(2019·山東省實驗中學聯(lián)考)設(shè)實數(shù)a、b、c滿足a＝2－log23，b＝a－，c＝ln a，則a、b、c的大小關(guān)系為(　　) A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a 解析：因為a＝2－log23＝2log23－1＝. 所以c＝ln a＝ln ＜0，b＝＝3＞1. 因此b＞a＞c. 答案：A 4．若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域為{y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大

3、致是(　　) 解析：由于y＝a|x|的值域為{y|y≥1}，所以a＞1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關(guān)于y軸對稱．因此y＝loga|x|的圖象大致為選項B. 答案：B 5．(2019·衡水質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝|logax|－3－x(a＞0，a≠1)的兩個零點是m，n，則(　　) A．mn＝1 B．mn＞1 C．mn＜1 D．無法判斷 解析：令f(x)＝0， 得|logax|＝， 則y＝|logax|與y＝的圖象有2個交點， 不妨設(shè)a＞1，m＜n，作出兩函數(shù)的圖象(如圖)． 所以＞，即－logam＞logan，

4、所以loga(mn)＜0，則mn＜1. 答案：C 6．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則(　　) A．a(chǎn)＋b＜ab＜0 B．a(chǎn)b＜a＋b＜0 C．a(chǎn)＋b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a＋b 解析：由a＝log0.20.3得＝log0.30.2， 由b＝log20.3得＝log0.32. 所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4， 則0＜＋＜1，即0＜＜1. 又a＞0，b＜0，知ab＜0， 所以ab＜a＋b＜0. 答案：B 二、填空題 7．(2018·浙江卷改編)已知λ∈R，函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)恰有2

5、個零點，則λ的取值范圍是________． 解析：令f(x)＝0，當x≥λ時，x＝4. 當x＜λ時，x2－4x＋3＝0， 則x＝1或x＝3.若函數(shù)f(x)恰有2個零點，結(jié)合如圖函數(shù)的圖象知，1＜λ≤3或λ＞4. 答案：(1，3]∪(4，＋∞) 8．將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y＝aent.假設(shè)過5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m min甲桶中的水只有升，則m的值為________． 解析：因為5 min后甲桶和乙桶的水量相等， 所以函數(shù)y＝f(t)＝aent滿足f(5)＝ae5n＝a， 可得n＝ln ，所以f(t)＝a

6、·， 因此，當k min后甲桶中的水只有 L時， f(k)＝a·＝a，即＝， 所以k＝10，由題可知m＝k－5＝5. 答案：5 9．已知函數(shù)f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1＋x2＋x3的取值范圍為(1，8)，則實數(shù)m的值為________． 解析：作出f(x)的圖象，如圖所示，可令x1＜x2＜x3，則由圖知點(x1，0)，(x2，0)關(guān)于直線x＝－對稱，所以x1＋x2＝－1.又因為1＜x1＋x1＋x3＜8，所以2＜x3＜9.結(jié)合圖象可知A點坐標為(9，3)，代入函數(shù)解析式得3＝log2(9－m)，解得m＝1. 答案：1 三、

7、解答題 10．經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(單位：升)與速度x(單位：千米/時)(50≤x≤120)的關(guān)系可近似表示為： y＝ (1)該型號汽車速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？ (2)已知A，B兩地相距120千米，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？ 解：(1)當x∈[50，80)時， y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]， 當x＝65時，y有最小值×675＝9. 當x∈[80，120]時，函數(shù)單調(diào)遞減，故當x＝120時，y有最小值10. 因為9＜10，故當x＝65時每小時耗油量最低． (2)

8、設(shè)總耗油量為l，由題意可知l＝y(tǒng)·. ①當x∈[50，80)時， l＝y(tǒng)·＝≥＝16， 當且僅當x＝，即x＝70時，l取得最小值16. ②當x∈[80，120]時，l＝y(tǒng)·＝－2為減函數(shù)， 當x＝120時，l取得最小值10. 因為10＜16，所以當速度為120千米/時時，總耗油量最少． B級　能力提升 11．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)y＝f(x)－k有三個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－2，2) B．(－2，1) C．(0，2) D．(1，3) 解析：當x＜0時，f(x)＝x3－3x，則f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0，所以x＝±1(舍

9、去正根)，故f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，0)上單調(diào)遞減，又f(x)＝ln(x＋1)在x≥0上單調(diào)遞增．則函數(shù)f(x)圖象如圖所示．f(x)極大值＝f(－1)＝－1＋3＝2，且f(0)＝0.故當k∈(0，2)時，y＝f(x)－k有三個不同零點． 答案：C 12．(2018·江蘇卷節(jié)選)記f′(x)，g′(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導函數(shù)．若存在x0∈R，滿足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”． (1)證明：函數(shù)f(x)＝x與g(x)＝x2＋2x－2不存在“S點”； (2)若函數(shù)f(x)＝ax2－

10、1與g(x)＝ln x存在“S點”，求實數(shù)a的值． (1)證明：函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝x2＋2x－2， 則f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2. 由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，得 此方程組無解， 因此，f(x)與g(x)不存在“S點”． (2)解：函數(shù)f(x)＝ax2－1，g(x)＝ln x， 則f′(x)＝2ax，g′(x)＝. 設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點”，由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得 即(*) 得ln x0＝－，即x0＝e－，則a＝＝. 當a＝時，x0＝e－滿足方程組(*)， 即x0為f(x)與g(x)的“S點”． 因此，a的值為.