《向量替斜率解題免討論- 江西教研網(wǎng)＞＞ 網(wǎng)站首頁》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《向量替斜率解題免討論- 江西教研網(wǎng)＞＞ 網(wǎng)站首頁（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、向量替斜率 解題免討論
江西省永豐中學 331500 劉 忠 （特級教師）
（本文發(fā)表于《中學數(shù)學雜志》2009年第1期）
直線是由一個點和一個方向確定的，而方向又可用它的傾斜角來確定.由于斜率可以直接反映于它的方程中（特別是斜截式），所以通常用斜率來確定一條直線的方向.又由于并不是任何直線都有斜率，所以在對一些與直線斜率有關的問題的解決時就不得不分斜率存在與否進行討論了.考慮到任何直線的方向都可由它的方向向量來確定，所以在解決一些與直線斜率有關的問題時用它的方向向量來代替斜率就可以避免繁雜的討論，而使過程簡潔明快.本文介紹利用直線的方向向量和法向量來解決一些與斜率有關的問題的
2、方法，供大家參考.
1 直線的方向向量與法向量
1.1 直線：Ax+By +C =0的方向向量：若直線經(jīng)過，，則直線上的向量及與它平行的向量都稱為直線的方向向量.所以及與它平行的向量都是直線的方向向量.
當直線與軸不垂直時 ，，此時向量也是直線的方向向量 ，且它的坐標是（其中是直線的斜率）＝.
當直線與軸垂直時 ，， ，所以是直線的方向向量，且 .
因此，是直線Ax+By+C =0的方向向量.
1.2 直線：Ax+By +C =0的法向量：如果向量與直線垂直，則稱向量為直線的法向量.
顯然，向量是直線的法向量.
雖然直線的方向向量和法向量都可由直線方程得到，但Ax+B
3、y+C=0的法向量形式更簡單，更容易記憶，因此解題時通常不用直線的方向向量而改用它的法向量.
2 直線法向量的運用
2.1 兩直線平行的必要條件的推導
例1 求兩直線平行的必要條件.
解：要∥，只要∥，即∥，亦即.
所以兩直線平行的必要條件是.
2.2 兩直線垂直的充要條件的推導
例2 求兩直線垂直的充要條件.
解：因為兩直線和垂直的充要條件是它們的法向量垂直，即.
故兩直線垂直的充要條件.
2.3 兩直線夾角公式的推導
例3 求兩直線的夾角.
解：設直線和的夾角為，它們的法向量的夾角為，則或，所以.
因為，
所以，
所以兩直線的夾角.
2.4 點到直線距離公式的推導
例4 求點到直線的距離.
解：在直線上任取一點，則點到直線的距離即為在的法向量方向上的射影長，
因為，法向量，所以＝.
故點到直線的距離.
2.5 過圓上一點的圓的切線方程的推導
例5 求過圓上一點的切線方程.
解：顯然，是過切點的圓的切線的法向量，所以可以設切線方程為，因切線過點，所以，即，所以切線方程為.
所以過圓上一點的切線方程為.
3 / 3
向量替斜率解題免討論- 江西教研網(wǎng)＞＞ 網(wǎng)站首頁
