高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列、推理與證明 42 數(shù)列的求和課件 文

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1、第第42課數(shù)列的求和課數(shù)列的求和課 前 熱 身激活思維2 101 1. 常用的一般數(shù)列的求和方法 (1) 公式法：若可以判斷出所求數(shù)列是等差或等比數(shù)列，則可以直接利用公式進(jìn)行求和若數(shù)列不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，有時(shí)可直接運(yùn)用常見的基本求和公式進(jìn)行求和 (2) 分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的差(或和)，或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列 (3) 裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的差(或和)，使求和時(shí)出現(xiàn)的一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)和變成首尾兩項(xiàng)或少數(shù)幾項(xiàng)的和(差)知識梳理 (4) 倒序相加法：把Sn中項(xiàng)的順序首尾顛倒過來，再與原來順序的Sn相加這種方法體現(xiàn)了“補(bǔ)”的思想

2、，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用它推導(dǎo)出來的事實(shí)上，如果一個數(shù)列倒過來與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)的和可求出來，那么這樣的數(shù)列就可以用倒序相加法求和 (5) 錯位相減法：數(shù)列anbn的求和問題應(yīng)用此法，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列 (3) 形如anbn的形式(其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列) 方法：采用錯位相減法 (4) 首尾對稱的兩項(xiàng)和為定值的形式 方法：倒序相加法 (5) 正負(fù)交替出現(xiàn)的數(shù)列形式 方法：并項(xiàng)相加法.課 堂 導(dǎo) 學(xué)利用利用“分組轉(zhuǎn)化法分組轉(zhuǎn)化法”求和求和 例例 1 所以Sn2n2n. 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3； 當(dāng)n1

3、時(shí)，a1S11，滿足上式 綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n3. (2) 若bn(1)nan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. 【解答】由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3)， 【思維引導(dǎo)】第(1)問利用項(xiàng)與和之間的關(guān)系求出通項(xiàng)公式；第(2)問由于通項(xiàng)公式中含有(1)n，故采取分奇偶討論來求和 【精要點(diǎn)評】本題中bn是一個擺動數(shù)列，適用于分組求和，當(dāng)一個數(shù)列是由兩個不同類型的數(shù)列相加而成時(shí)，我們需要將它們進(jìn)行分組，然后分別求和 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對任意的nN*滿足2Snan(an1)，且an0. (1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 【解答】(1) 因?yàn)?Snan(an1)， 所以當(dāng)n2

4、時(shí)，2Sn1an1(an11) 即(anan1)(anan11)0. 若anan110， 當(dāng)n2時(shí)，有anan11，變式變式 又當(dāng)n1時(shí)，由2S1a1(a11)及a10，得a11， 所以數(shù)列an是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為ann(nN*)利用利用“倒序相加法倒序相加法”求和求和 例例 2 【思維引導(dǎo)】(1) 熟練地運(yùn)用對數(shù)的三個運(yùn)算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變換是對數(shù)的計(jì)算、化簡、證明的常用技巧；(2) 若前后項(xiàng)的和相加為定值，則采用倒序相加法求數(shù)列的和，其基本思想和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和相類似 (2016廣州模擬)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a12，對任意nN*，都有2Sn(n1)an. (1) 求

5、數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 【解答】(1) 因?yàn)?Sn(n1)an， 當(dāng)n2時(shí)，2Sn1nan1， 兩式相減，得2an(n1)annan1， 即(n1)annan1，利用利用“裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法”求和求和 例例 3 【思維引導(dǎo)】(1) 先找出遞推關(guān)系；(2) 數(shù)列背景下的不等式證明常用放縮法、單調(diào)性求最值法 【解答】(1) 由S(n2n3)Sn3(n2n)0， 得(Sn3)(Snn2n)0， 則Snn2n或Sn3. 因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)， 所以Snn2n，Sn1(n1)2(n1)， 所以當(dāng)n2時(shí)， anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n. 又a1221，滿足上式，所以an2n.變式變式

6、(2016山東卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1. (1) 求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式； 【解答】(1) 由題意知，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n5，當(dāng)n1時(shí)，a1S111，滿足上式 所以an6n5. 設(shè)數(shù)列bn的公差為d.利用利用“錯位相減法錯位相減法”求和求和 例例 4 又Tnc1c2cn， 得Tn3222323(n1)2n1， 2Tn3223324(n1)2n2， 【思維引導(dǎo)】第(1)小問，先根據(jù)所給Sn求出an，再求出bn；第(2)小問，求出cn后，用錯位相減法求解 【精要點(diǎn)評】(1) 如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，使用錯位相減法求數(shù)列anb

7、n的前n項(xiàng)和 (2) 在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式后，“錯位相減”的本質(zhì)是“指數(shù)相同的兩式相減”，因此要將兩式“指數(shù)相同的兩項(xiàng)對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式 兩式相減得an3n(n2，nN*)， 又a1S13也滿足上式 綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n.變式變式 (2) 若bnanlog3an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. 【解答】由(1)知bnanlog3ann3n， 則Tn3232333n3n， 3Tn132233(n1)3nn3n1， 兩式相減得2Tn332333nn3n1 已知等差數(shù)列an的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列 (1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 由題意得(2a12)2a1(4a112)， 解得a11，所以an2n1.備用例題備用例題課 堂 評 價(jià) 1. (2016蘇州期中)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S48a1，a44a2，則S10_.120 7 (2) 設(shè)bn(an1)2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 Tn. 【解答】由(1)知bn2n22n1n4n， 所以Tn141242n4n， 所以4Tn142243n4n1，