第一講 集合的概念與運(yùn)算

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1、 第一講 集合的概念與運(yùn)算 例題精講 板塊一 元素與子集 元素與子集是集合中最基本的概念.其基本題型如下： 1、 根據(jù)給定的集合性質(zhì)確定某元素是否屬于某集合或確定某待定元數(shù)值； 2、 對數(shù)集中的元素按某種規(guī)律排序并找出其中某個(gè)特定元素； 3、 對某集合中元素按特定運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算 4、 確定滿足某條件的子集個(gè)數(shù) 基本解題思路有：利用集合的互異性；分類討論或枚舉；對數(shù)集的元素排序；反證法等 【例1】 已知, ,且. 求x的所有可能值個(gè)數(shù) 【例2】 已知數(shù)集具有性質(zhì)：對任意的 ，，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于． （Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)

2、，并說明理由； （Ⅱ）證明：，且； 【例3】 已知集合，,，且，則整數(shù)對的個(gè)數(shù)為 （ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【例4】 已知任意的記集合，，將M中的元素按從大到小順序排列，則第2005個(gè)數(shù)是 A. B. C. D. 【例5】 設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 （ ） A． B． C． D． 【例6】 已知a為給定的實(shí)數(shù)，那么集

3、合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.4 D.不確定 【變式】 一個(gè)n元集的子集個(gè)數(shù)有多少個(gè)？非空子集個(gè)數(shù)有多少個(gè)？ 【例7】 對于集合和它的每一個(gè)非空子集，定義“交替和”如下： 把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù). 例如：的交替和為，{5}的交替和為5. 對于n=7,求所有這些交替和之和. 板塊二 集合的運(yùn)算 集合的基本運(yùn)算包括交并補(bǔ)運(yùn)算，.其基本題型如下： 1、 給定兩個(gè)或多個(gè)集合對其做復(fù)雜的復(fù)合運(yùn)算，只要先利

4、用函數(shù)或解析幾何等相關(guān)知識(shí)確定原始集合，就可以按部就班地計(jì)算出最后結(jié)果. 2、 題目中對集合定義某種新運(yùn)算，要求按新運(yùn)算來進(jìn)行計(jì)算. 但第一類題型往往要用到很多高中的知識(shí)作為基礎(chǔ)，因此放在以后的章節(jié)中逐漸滲透. 【例8】 集合A= ，B= ，求, 【例9】 定義集合運(yùn)算：，設(shè)A={2,0},B={0,8}，則集合的所有元素之和為（） A.16 B.18 C.20 D.22 【例10】 已知集合 對于，，定義A與B的差和距離分別為 （Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)，求，； （Ⅱ）證明

5、：，且; (Ⅲ) 證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù) 板塊三 有限集的階 定義：有限集A的元素?cái)?shù)目叫做這個(gè)集合的階，記作|A|. 注：高考中常記作card(A),本講義中一律寫作|A|. 求集合的階的問題通常與組合相關(guān)，特別是求滿足某給定條件的子集的階的最大值問題通常難度很大.這類問題在競賽中變化極多，難以掌握.此處僅舉數(shù)例說明，更深層次的問題將在學(xué)完組合基礎(chǔ)之后再來學(xué)習(xí). 【例11】 設(shè)集合 . 【例12】 S是的一個(gè)子集，且S中任兩數(shù)之差不能為4或7, （1） 證明：原集合中任11個(gè)連續(xù)整數(shù)中最多有5個(gè)能是S中元素. （

6、2） 試求 【例13】 已知A與B是集合{1，2，3，…，100}的兩個(gè)子集，滿足：A與B的元素個(gè)數(shù)相同，且A∩B為空集。若n∈A時(shí)總有2n+2∈B，則集合A∪B的元素個(gè)數(shù)最多為（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 【例14】 已知集合是集合的子集，且對任意，都有，則集合中的元素最多有多少個(gè)？ 【變式】 已知集合是集合的子集，且對任意，都有，則集合中的元素最多有（ ） （A）67個(gè)　　　?。˙）68個(gè)　　　?。–）69個(gè)　　　　　（D）70個(gè) 大顯身手 1． 集合M=，N=.M,N的關(guān)系為 （A）M

7、=N?。˙）?。–）M為N的真子集?。―）N為M的真子集 2． 設(shè)集合A的元素都是正整數(shù)，滿足以下條件： (1) A的元素個(gè)數(shù)不小于3； (2) 若，則a的所有因數(shù)都屬于A； (3) 若，1

8、 6． 設(shè)集合A=, ,且，，，中所有元素之和為224.求集合A . 7． 設(shè),A是M的子集且滿足條件：當(dāng)時(shí)，，求.若將15換為17,19又如何. 譯者序： 本文譯自澳大利亞數(shù)學(xué)家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?”。 Tao 是調(diào)和分析、 微分方程、 組合數(shù)學(xué)、 解析數(shù)論等領(lǐng)域的大師級的年輕高手。 2006 年， 31 歲的 Tao 獲得了數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng) Fields 獎(jiǎng)， 成為該獎(jiǎng)項(xiàng)七十年來最年輕的獲獎(jiǎng)?wù)咧弧? 美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì) (AMS) 對 Tao 的評價(jià)是： “他將精純的技巧、 超凡入圣的

9、獨(dú)創(chuàng)及令人驚訝的自然觀點(diǎn)融為一體”。 著名數(shù)學(xué)家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 獎(jiǎng)得主) 的評價(jià)則是： “如果你有解決不了的問題， 那么找到出路的辦法之一就是引起 Terence Tao 的興趣”。 1. 數(shù)學(xué)品質(zhì)的諸多方面 我們都認(rèn)為數(shù)學(xué)家應(yīng)該努力創(chuàng)造好數(shù)學(xué)。 但 “好數(shù)學(xué)” 該如何定義？ 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前一個(gè)問題。 我們幾乎立刻能夠意識(shí)到有許多不同種類的數(shù)學(xué)都可以被稱為是 “好” 的。 比方說， “好數(shù)學(xué)” 可以指 (不分先后順序)： 好的數(shù)學(xué)題解 (比如在一個(gè)重要數(shù)學(xué)問題上的重大突破)； 好的數(shù)學(xué)技巧

10、(比如對現(xiàn)有方法的精湛運(yùn)用， 或發(fā)展新的工具)； 好的數(shù)學(xué)理論 (比如系統(tǒng)性地統(tǒng)一或推廣一系列現(xiàn)有結(jié)果的概念框架或符號選擇)； 好的數(shù)學(xué)洞察 (比如一個(gè)重要的概念簡化， 或?qū)σ粋€(gè)統(tǒng)一的原理或主題的實(shí)現(xiàn))； 好的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) (比如對一個(gè)出人意料、 引人入勝的新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、 關(guān)聯(lián)或反例的揭示)； 好的數(shù)學(xué)應(yīng)用 (比如應(yīng)用于物理、 工程、 計(jì)算機(jī)科學(xué)、 統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域的重要問題， 或?qū)⒁粋€(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的結(jié)果應(yīng)用于另一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域)； 好的數(shù)學(xué)展示 (比如對新近數(shù)學(xué)課題的詳盡而廣博的概覽， 或一個(gè)清晰而合理的論證)； 好的數(shù)學(xué)教學(xué) (比如能讓他人更有效地學(xué)習(xí)及研究數(shù)學(xué)的講義或?qū)懽黠L(fēng)格， 或?qū)?shù)學(xué)教育的

11、貢獻(xiàn))； 好的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)見 (比如富有成效的長遠(yuǎn)計(jì)劃或猜想)； 待續(xù) 好的數(shù)學(xué)品味 (比如自身有趣且對重要課題、 主題或問題有影響的研究目標(biāo))； 好的數(shù)學(xué)公關(guān) (比如向非數(shù)學(xué)家或另一個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家有效地展示數(shù)學(xué)成就)； 好的元數(shù)學(xué) (比如數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、 哲學(xué)、 歷史、 學(xué)識(shí)或?qū)嵺`方面的進(jìn)展)； [ 嚴(yán)密的數(shù)學(xué) (所有細(xì)節(jié)都正確、 細(xì)致而完整地給出)； 美麗的數(shù)學(xué) (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恒等式； 陳述簡單漂亮， 證明卻很困難的結(jié)果)； 優(yōu)美的數(shù)學(xué) (比如 Paul E

12、rdos 的 “來自天書的證明” 觀念； 通過最少的努力得到困難的結(jié)果)； 創(chuàng)造性的數(shù)學(xué) (比如本質(zhì)上新穎的原創(chuàng)技巧、 觀點(diǎn)或各類結(jié)果)； 有用的數(shù)學(xué) (比如會(huì)在某個(gè)領(lǐng)域的未來工作中被反復(fù)用到的引理或方法)； 強(qiáng)有力的數(shù)學(xué) (比如與一個(gè)已知反例相匹配的敏銳的結(jié)果， 或從一個(gè)看起來很弱的假設(shè)推出一個(gè)強(qiáng)得出乎意料的結(jié)論)； 深刻的數(shù)學(xué) (比如一個(gè)明顯非平凡的結(jié)果， 比如理解一個(gè)無法用更初等的方法接近的微妙現(xiàn)象)； 直觀的數(shù)學(xué) (比如一個(gè)自然的、 容易形象化的論證)； 明確的數(shù)學(xué) (比如對某一類型的所有客體的分類； 對一個(gè)數(shù)學(xué)課題的結(jié)論)； 其它。 如上所述， 數(shù)學(xué)品質(zhì)這一概念是一

13、個(gè)高維的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在顯而易見的標(biāo)準(zhǔn)排序[注二]。 我相信這是由于數(shù)學(xué)本身就是復(fù)雜和高維的， 并且會(huì)以一種自我調(diào)整及難以預(yù)料的方式而演化； 上述每種品質(zhì)都代表了我們作為一個(gè)群體增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解及運(yùn)用的不同方式。 至于上述品質(zhì)的相對重要性或權(quán)重， 看來并無普遍的共識(shí)。 這部分地是由于技術(shù)上的考慮： 一個(gè)特定時(shí)期的某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展也許更易于接納一種特殊的方法； 部分地也是由于文化上的考慮： 任何一個(gè)特定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)W派都傾向于吸引具有相似思維、 喜愛相似方法的數(shù)學(xué)家。 它同時(shí)也反映了數(shù)學(xué)能力的多樣性： 不同的數(shù)學(xué)家往往擅長不同的風(fēng)格， 因而適應(yīng)不同類型的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)。 · 學(xué)習(xí)之外 陶哲軒談什么是好數(shù)學(xué) 5 高一·聯(lián)賽班·第1講·教師版