高考數(shù)學 熱點難點突破技巧 第07講 導數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題

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1、 第07講：導數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題的處理 【知識要點】 在平時的數(shù)學學習和高考中，我們經常會遇到不等式的雙變量的存在性和任意性問題，學生由于對于這類問題理解不清，很容易和不等式的恒成立問題混淆，面對這類問題總是感到很棘手，或在解題中出現(xiàn)知識性錯誤. 1、雙存在性問題 “存在，存在，使得成立”稱為不等式的雙存在性問題，存在，存在，使得成立，即在區(qū)間內至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內的一個函數(shù)值小.，即.（見下圖1） “存在，存在，使得成立”，即在區(qū)間內至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內的一個函數(shù)值大，即.（見下圖2） 2、雙任意性問題 “任意，對任意的，使得成立” 稱為不等式

2、的雙任意性問題. 任意，對任意的，使得成立，即在區(qū)間任意一個值比函數(shù)在區(qū)間內的任意一個函數(shù)值都要小，即. “任意，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間內任意一 個值比函數(shù)在區(qū)間內的任意一個函數(shù)值都要大,即. 3、存在任意性問題 “存在，對任意的，使得成立” 稱為不等式的存在任意性問題. 存在，對任意的，使得成立，即在區(qū)間內至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內的任意一個函數(shù)值都要小，即. （見下圖3） “存在，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間內至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內的任意一個函數(shù)值都要大，即.（見下圖4） 【方法講評】 題型一 雙存在性問題 使用情景 不等式中的兩個自變量屬性都

3、是存在性的. 解題理論 存在，存在，使得成立” 稱為不等式的雙存在性問題，存在，存在，使得成立，即在區(qū)間內至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內的一個函數(shù)值小，即. “存在，存在，使得成立”，即在區(qū)間內至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內的一個函數(shù)值大，即. 【例1】已知函數(shù). （Ⅰ）討論的單調性； （Ⅱ）當時，設，若存在，，使，求實數(shù)的取值范圍.（為自然對數(shù)的底數(shù)，） 當時，，， , 當時，，單調遞減， 當時，，單調遞增， 當時，，單調遞減， 所以當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間. 當時，的減區(qū)間為. 當時，的減區(qū)間為， 增區(qū)間為. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值為， ，令，得.

4、 時，，單調遞減， ，，單調遞增， 所以在上的最小值為， 由題意可知，解得, 所以. 【點評】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關系問題，關鍵是是什么樣的最值關系，所以務必理解清楚,不能含糊.(2)對于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結合理解（見前面的知識要點），也可以這樣記憶，雙存在性問題兩邊的最值相反. 【反饋檢測1】設函數(shù)， （1）若是函數(shù)的一個極值點，試求出關于的關系式（用表示）,并確定的單調區(qū)間； （2）在（1）的條件下，設，函數(shù)，若存在使得成立，求的取值范圍. 題型二 雙任意性問題 使用情景 不等式的兩個自變量屬性都是任意的. 解題理論 “任意

5、，對任意的，使得成立” 稱為不等式的雙任意性問題. 任意，對任意的，使得成立，即在區(qū)間任意一個值比函數(shù)在區(qū)間內的任意一個函數(shù)值都要小，即. “任意，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間 內任意一個值比函數(shù)在區(qū)間內的任意一個函數(shù)值都要大,即 . 【例2】已知函數(shù)．若不等式對所有，都成立，求實數(shù)的取值范圍． 【解析】則對所有的，都成立， 令，，是關于的一次函數(shù)， 因為，所以 【點評】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關系問題，關鍵是是什么樣的最值關系，所以務必理解清楚,不能含糊.(2)對于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結合理解（見前面的知識要點），也可以這樣記憶，雙任意性

6、問題，兩邊的最值相反. 【反饋檢測2】已知函數(shù)，，，. （Ⅰ）討論的單調性； （Ⅱ）對于任意，任意，總有，求的取值范圍. 題型三 存在任意性 使用情景 不等式的兩個自變量一個屬性是存在性的，一個是任意性的. 解題理論 “存在，對任意的，使得成立”稱為不等式的存在任意性問題. 存在，對任意的，使得成立，即在區(qū)間內至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內的任意一個函數(shù)值都要小，即. “存在，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間內至少有一個值比函數(shù)在區(qū)間內的任意一個函數(shù)值都要大，即. 【例3】（2010高考山東理數(shù)第22題）已知函數(shù). (Ⅰ)當時，討論的單調性； （Ⅱ）設當時，若對任意，存

7、在，使，求實數(shù)取值范圍. （1）當時，，當,函數(shù)單調遞減；當，函數(shù)單調遞增. (2)當時，由，即，解得. 當時，恒成立，此時，函數(shù)單調遞減； 當時，，時，函數(shù)單調遞減； 時，，函數(shù)單調遞增； 時，，函數(shù)單調遞減. 當時，當,函數(shù)單調遞減； 當，函數(shù)單調遞增. 綜上所述：當時，函數(shù)在單調遞減，單調遞增； 當時，恒成立，此時，函數(shù)在單調遞減； 當時，在單調遞減，單調遞增，單調遞減. （Ⅱ）當時，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意，有 又已知存在，使，所以，，（※） 又 當時，與（※）矛盾； 當時，也與（※）矛盾； 當時，. 綜上所述，

8、實數(shù)的取值范圍是. 【點評】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關系問題，關鍵是是什么樣的最值關系，所以務必理解清楚,不能含糊.(2)對于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結合理解（見前面的知識要點），也可以這樣記憶，存在任意性問題，兩邊的最值相同. 【反饋檢測3】已知函數(shù). （Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間； （Ⅱ）已知，函數(shù).若對任意，都存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍. 高中數(shù)學熱點難點突破技巧第07講： 導數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題的處理參考答案 【反饋檢測1答案】（1）；（2） . 令，得或 ∵是極值點，∴，即 當即時，由得或 由得 當

9、即時，由得或 由得 綜上可知：當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為. （2）由（1）知，當a>0時，在區(qū)間（0，1）上的單調遞減，在區(qū)間（1，4）上單調遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 又∵，， ∴函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的值域是，即 又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，且它在區(qū)間[0，4]上的值域是 ∵－＝＝， ∴存在使得成立只須僅須 －<1 【反饋檢測2答案】（Ⅰ）當時，遞減區(qū)間為，不存在增區(qū)間；當時，遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間；（Ⅱ）. ∴遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間； 綜上：當時，遞減區(qū)間為，不存在增區(qū)間； 當時，遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間； （Ⅱ）令，由已知得只需即 若對任意，恒成立，即 令，則 設，則 ∴在遞減，即 ∴在遞減∴即 的取值范圍為． 【反饋檢測3答案】（I）詳見解析；（II）. 【反饋檢測3詳細解析】 當時，或，在上遞增，在和上遞減； ，在上遞減. (II)由（2）知在內單調遞減，內單調遞增，內單調遞減， 又， 故有， 只需在[0,2]上最小值小于等于-1即可. 即時最小值，不合題意，舍去； 即時最小值； 即時最小值； 綜上所述：. 10