2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 第2講 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想名師導(dǎo)學(xué)案 文

《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 第2講 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想名師導(dǎo)學(xué)案 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 第2講 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想名師導(dǎo)學(xué)案 文（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2講　分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想 數(shù)學(xué)思想解讀 1.分類討論的思想是當(dāng)問(wèn)題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答.實(shí)質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想. 2.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，思維受阻或?qū)で蠛?jiǎn)單方法或從一種狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問(wèn)題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的有效策略，同時(shí)也是獲取成功的思維方式. 熱點(diǎn)一　分類討論思想的應(yīng)用 應(yīng)用1　由概念、法則、公式、性質(zhì)引起的分類討論 【例1】　(1)若函數(shù)

2、f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________； (2)在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝，S3＝，則a1＝________. 解析　(1)若a>1，有a2＝4，a－1＝m，解得a＝2，m＝. 此時(shí)g(x)＝－為減函數(shù)，不合題意. 若0

3、＝－時(shí)，a1＝＝6， 綜上可知，a1＝或a1＝6. 答案　(1)　(2)或6 探究提高　1.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a，因此，當(dāng)?shù)讛?shù)a的大小不確定時(shí)，應(yīng)分01兩種情況討論. 2.利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，若公比q的大小不確定，應(yīng)分q＝1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論，這是由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式?jīng)Q定的. 【訓(xùn)練1】　(1)(2017·長(zhǎng)沙一中質(zhì)檢)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和且Sn＝2an－2，則S5－S4的值為(　　) A.8 B.10 C.16 D.32 (2)函數(shù)f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，則a的所有可能取值的集合是______

4、__. 解析　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2. 因?yàn)镾n＝2an－2， 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－2， 兩式相減得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1， 則數(shù)列{an}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， 則S5－S4＝a5＝25＝32. (2)f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1. 由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1. 當(dāng)a≥0時(shí)，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1. 當(dāng)－1

5、所以a＝－. 則實(shí)數(shù)a取值的集合為. 答案　(1)D　(2) 應(yīng)用2　由圖形位置或形狀引起的分類討論 【例2】　(1)(2017·昆明一中質(zhì)檢)已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為________； (2)設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線C的離心率等于________. 解析　(1)由于e＝＝， ∴＝＝，則a2＝3b2， 若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程y＝±x. 若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，漸近線方程y＝±x. (2)不妨設(shè)|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0.

6、 若該曲線為橢圓，則有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝； 若該曲線為雙曲線，則有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝. 答案　(1)y＝±x，或y＝±x　(2)或 探究提高　1.圓錐曲線形狀不確定時(shí)，常按橢圓、雙曲線來(lái)分類討論，求圓錐曲線的方程時(shí)，常按焦點(diǎn)的位置不同來(lái)分類討論. 2.相關(guān)計(jì)算中，涉及圖形問(wèn)題時(shí)，也常按圖形的位置不同、大小差異等來(lái)分類討論. 【訓(xùn)練2】　設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn).已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，則的值為_

7、_______. 解析　若∠PF2F1＝90°.則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2， 又因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2， 解得|PF1|＝，|PF2|＝，所以＝. 若∠F1PF2＝90°，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， 所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20， 所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2. 綜上知，＝或2. 答案　或2 應(yīng)用3　由變量或參數(shù)引起的分類討論 【例3】　已知f(x)＝x－aex(a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底). (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)≤e2x對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的

8、取值范圍. 解　(1)f′(x)＝1－aex， 當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)； 當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0得x＝－ln a， 所以函數(shù)f(x)在(－∞，－ln a)上的單調(diào)遞增，在(－ln a，＋∞)上的單調(diào)遞減. (2)f(x)≤e2x?a≥－ex， 設(shè)g(x)＝－ex，則g′(x)＝. 當(dāng)x<0時(shí)，1－e2x>0，g′(x)>0， ∴g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增. 當(dāng)x>0時(shí)，1－e2x<0，g′(x)<0， ∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減. 所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1. 故a的取值范圍是[

9、－1，＋∞). 探究提高　1.(1)參數(shù)的變化取值導(dǎo)致不同的結(jié)果，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等.本題中參數(shù)a與自變量x的取值影響導(dǎo)數(shù)的符號(hào)應(yīng)進(jìn)行討論. (2)解析幾何中直線點(diǎn)斜式、斜截式方程要考慮斜率k存在或不存在，涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系要進(jìn)行討論. 2.分類討論要標(biāo)準(zhǔn)明確、統(tǒng)一，層次分明，分類要做到“不重不漏”. 【訓(xùn)練3】　(2015·全國(guó)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋a(1－x). (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時(shí)，求a的取值范圍. 解　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－a. 若a

10、≤0，則f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增. 若a＞0，則當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 綜上，知當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2)由(1)知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上無(wú)最大值； 當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在x＝處取得最大值，最大值為f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1. 因此f＞2a－2等價(jià)于ln a＋a－1＜0. 令g(a)＝ln a＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， g(1)＝0. 于是，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g

11、(a)＜0；當(dāng)a＞1時(shí)，g(a)＞0. 因此，a的取值范圍是(0，1). 熱點(diǎn)二　轉(zhuǎn)化與化歸思想 應(yīng)用1　特殊與一般的轉(zhuǎn)化 【例4】　(1)過(guò)拋物線y＝ax2(a>0)的焦點(diǎn)F，作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn).若線段PF與FQ的長(zhǎng)度分別為p，q，則＋等于(　　) A.2a B. C.4a D. (2)(2017·浙江卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________. 解析　(1)拋物線y＝ax2(a>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)(a>0)，焦點(diǎn)F. 過(guò)焦點(diǎn)F作直線垂直于y軸，則|PF|＝|QF|＝，

12、 ∴＋＝4a. (2)由題意，不妨設(shè)b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)， 則a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ). 令y＝|a＋b|＋|a－b| ＝＋ ＝＋， 令y＝＋， 則y2＝10＋2∈[16，20]. 由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝＝2， (|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4， 即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2. 答案　(1)C　(2)4　2 探究提高　1.一般問(wèn)題特殊化，使問(wèn)題處理變得直接、簡(jiǎn)單.特殊問(wèn)題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問(wèn)題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問(wèn)題的

13、效果. 2.對(duì)于某些選擇題、填空題，如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案. 【訓(xùn)練4】　在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則＝________. 解析　令a＝b＝c，則△ABC為等邊三角形，且cos A＝cos C＝，代入所求式子，得＝＝. 答案　 應(yīng)用2　函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化 【例5】　已知函數(shù)f(x)＝3e|x|，若存在實(shí)數(shù)t∈[－1，＋∞)，使得對(duì)任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，試求m的最大值. 解　∵當(dāng)t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m

14、]時(shí)，x＋t≥0， ∴f(x＋t)≤3ex?ex＋t≤ex?t≤1＋ln x－x. ∴原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù)t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x對(duì)任意x∈[1，m]恒成立. 令h(x)＝1＋ln x－x(1≤x≤m). ∵h(yuǎn)′(x)＝－1≤0， ∴函數(shù)h(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)， 又x∈[1，m]，∴h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m. ∴要使得對(duì)任意x∈[1，m]，t值恒存在， 只需1＋ln m－m≥－1. ∵h(yuǎn)(3)＝ln 3－2＝ln>ln＝－1， h(4)＝ln 4－3＝ln

15、 ∴滿足條件的最大整數(shù)m的值為3. 探究提高　1.函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，解決方程、不等式的問(wèn)題需要函數(shù)幫助. 2.解決函數(shù)的問(wèn)題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問(wèn)題，從而求出參變量的范圍. 【訓(xùn)練5】　(2017·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上.若·≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________. 解析　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且A(－12，0)，B(0，6). 則·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(12＋x)＋

16、y(y－6)≤20， 又x2＋y2＝50， ∴2x－y＋5≤0， 則點(diǎn)P在直線2x－y＋5＝0上方的圓弧上(含交點(diǎn)). 聯(lián)立解得x＝－5或x＝1， 結(jié)合圖形知，－5≤x≤1. 故點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是[－5，1]. 答案　[－5，1] 應(yīng)用3　正與反、主與次的轉(zhuǎn)化 【例6】　(1)若對(duì)于任意t∈[1，2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2－2x在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________； (2)對(duì)于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)p，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，則x的取值范圍是________. 解析　(1)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g

17、(x)在區(qū)間(t，3)上總為單調(diào)函數(shù)， 則①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立. 由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x. 當(dāng)x∈(t，3)時(shí)恒成立，∴m＋4≥－3t恒成立， 則m＋4≥－1，即m≥－5； 由②得m＋4≤－3x，當(dāng)x∈(t，3)時(shí)恒成立，則m＋4≤－9，即m≤－. ∴使函數(shù)g(x)在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為－3或x<－1. 答案　　

18、(2)(－∞，－1)∪(3，＋∞) 探究提高　1.第(1)題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則. 題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)很少，從后面考慮較簡(jiǎn)單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問(wèn)題中. 2.第(2)題是把關(guān)于x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為在[0，4]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題. 在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以選取其中的參數(shù)，將其看作是“主元”，而把其它變?cè)醋魇菂?shù). 【訓(xùn)練6】　已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).對(duì)滿足－1≤a

19、≤1的一切a的值，都有g(shù)(x)<0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________. 解析　由題意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5， 令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1. 對(duì)－1≤a≤1，恒有g(shù)(x)<0，即φ(a)<0， ∴即 解得－

20、解題思想，降低問(wèn)題難度. 常見的分類討論問(wèn)題： (1)集合：注意集合中空集?討論. (2)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應(yīng)分a＞1和0＜a＜1的討論，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有時(shí)候分a＝0和a≠0的討論，對(duì)稱軸位置的討論，判別式的討論. (3)數(shù)列：由Sn求an分n＝1和n＞1的討論；等比數(shù)列中分公比q＝1和q≠1的討論. (4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論. (5)不等式：解不等式時(shí)含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論. (6)立體幾何：點(diǎn)線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論. (7)平面解析幾何：直線點(diǎn)斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b＝0和b≠0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時(shí)曲線類型及形狀的討論. (8)去絕對(duì)值時(shí)的討論及分段函數(shù)的討論等. 2.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題. - 9 -