考前三個月】高考數(shù)學(江蘇專用文科)高考必會題型:專題8 概率與統(tǒng)計 第35練
第35練用樣本估計總體題型一頻率分布直方圖的應用例1某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如下圖,其中成績分組區(qū)間是50,60),60,70),70,80),80,90),90,100(1)求圖中a的值;(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這100名學生語文成績的平均分;(3)假設這100名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)(y)之比方下表所示,求數(shù)學成績在50,90)之外的人數(shù).分數(shù)段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445破題切入點(1)根據(jù)樣本頻率之和為1,求出參數(shù)a的值(2)根據(jù)頻率分布直方圖和平均值的計算公式,求出樣本平均值(3)由直方圖可計算語文成績在每分段上的頻數(shù),再根據(jù)語文和數(shù)學成績在同一段上的人數(shù)比,便可計算數(shù)學成績在50,90)之間的人數(shù),進而求解解(1)由頻率分布直方圖知(2a)×101,解得a0.005.(2)由頻率分布直方圖知這100名學生語文成績的平均分為55××1065××1075××1085××1095××1073(分)(3)由頻率分布直方圖知語文成績在50,60),60,70),70,80),80,90)×10×1005,×10×10040,×10×10030,×10×10020.由題中給出的比例關系知數(shù)學成績在上述各分數(shù)段的人數(shù)依次為5,40×20,30×40,20×25.故數(shù)學成績在50,90)之外的人數(shù)為100(5204025)10.題型二莖葉圖的應用例2從甲、乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機,對其銷售額進行統(tǒng)計,統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如下圖)設甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲,乙,中位數(shù)分別為m甲,m乙,那么它們的大小關系分別為_破題切入點由莖葉圖觀察求解比擬兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)答案甲<乙,m甲<m乙解析由莖葉圖可知甲數(shù)據(jù)集中在10至20之間,乙數(shù)據(jù)集中在20至40之間,明顯甲乙,甲的中位數(shù)為20,乙的中位數(shù)為29,即m甲m乙題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征例3甲、乙兩名射擊運發(fā)動參加某大型運動會的預選賽,他們分別射擊了5次,成績?nèi)缦卤?單位:環(huán)):甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選,那么入選的最正確人選應是_破題切入點計算樣本的方差直接作為總體的方差答案甲解析甲乙9環(huán),s(109)2(89)2(99)2(99)2(99)2,s(109)2(109)2(79)2(99)2(99)2>s,故甲更穩(wěn)定,故填甲總結(jié)提高(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的異同眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量,平均數(shù)是最重要的量平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個數(shù)據(jù)均有關系,任何一個數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)的變動,而中位數(shù)和眾數(shù)都不具備此性質(zhì)眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率,當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)屢次出現(xiàn)時,眾數(shù)往往更能反映問題中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關,中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中,當一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時,可用中位數(shù)描述其集中趨勢(2)莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)的優(yōu)點所有數(shù)據(jù)信息都可以在莖葉圖中看到莖葉圖便于記錄和表示,且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況(3)利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計中位數(shù)的值平均數(shù):平均數(shù)的頻率分布直方圖的“重心,等于圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和眾數(shù):在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點的橫坐標1某校對高三年級的學生進行體檢,現(xiàn)將高三男生的體重(kg)數(shù)據(jù)進行整理后分成五組,并繪制頻率分布直方圖(如圖)根據(jù)一般標準,高三男生的體重超過65 kg屬于偏胖,低于55 kg屬于偏瘦圖中從左到右第一、第三、第四、,,第二小組的頻數(shù)為400,那么該校高三年級的男生總數(shù)和體重正常的頻率分別為_答案1 000,解析據(jù)題意,得第二小組的頻率為1()0.40,且其頻數(shù)為400,設高三年級男生總數(shù)為n,那么有0.40,n1 000.體重正常的學生所占的頻率為第二和第三小組頻率之和,即0.200.400.60.2. 記錄7名運發(fā)動選手身高(單位:cm)的莖葉圖如圖,其平均身高為177 cm,因有一名運發(fā)動的身高記錄看不清楚,設其末位數(shù)為x,那么推斷x的值為_答案8解析據(jù)莖葉圖可知177,解得x8.3在樣本的頻率分布直方圖中,一共有n個小矩形假設中間一個小矩形的面積等于其余(n1)個小矩形面積之和的,且樣本容量為240,那么中間一組的頻數(shù)是_答案40解析設中間小矩形的面積為S,那么由題意知,解得S,即頻率為,所以中間一組的頻數(shù)為×24040.4樣本中共有五個個體,其值分別為a,0,1,2,3,假設該樣本的平均值為1,那么樣本方差為_答案2解析由題意知(a0123)1,解得a1,所以樣本方差為s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.5(2021·山東)為了研究某藥品的療效,選取假設干名志愿者進行臨床試驗,所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組,第五組,如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,那么第三組中有療效的人數(shù)為_答案12解析志愿者的總?cè)藬?shù)為50,所以第三組人數(shù)為50×0.3618,有療效的人數(shù)為18612.6在樣本的頻率分布直方圖中,共有4個小長方形,這4個小長方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列an,a22a1,且樣本容量為300,那么小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為_答案160解析小長方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列an,且a22a1,樣本的頻率構(gòu)成一個等比數(shù)列,且公比為2,a12a14a18a115a1300,a120,小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為8a1160.7(2021·江蘇)為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況,隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位:cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間80,130上,其頻率分布直方圖如下圖,那么在抽測的60株樹木中,有_株樹木的底部周長小于100 cm.答案24解析底部周長在80,90)×100.15,底部周長在90,100)×100.25,樣本容量為60,所以樹木的底部周長小于100 cm的株數(shù)為()×6024.8如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運發(fā)動每場比賽得分的莖葉圖,那么甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)分別是_答案18,23解析根據(jù)莖葉圖分別將甲、乙得分按從小到大順序排起來,根據(jù)中位數(shù)定義易知甲、乙中位數(shù)分別為18,23.9甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位:t/hm2)品種第1年第2年第3年第4年第5年甲10乙其中產(chǎn)量比擬穩(wěn)定的小麥品種是_答案甲解析甲()10.0,乙()10.0;s(22)1020.02,s(22)1020.244>0.02.10為了解某校今年準備報考飛行員學生的體重(單位:kg)情況,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了頻率分布直方圖(如圖),圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為123,第2小組的頻數(shù)為12,那么報考飛行員的總?cè)藬?shù)是_答案48解析據(jù)頻率分布直方圖可得第四與第五小組的頻率之和為5×()×0.25,又其頻數(shù)為12,故總?cè)藬?shù)為48人11(2021·北京)從某校隨機抽取100名學生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:組號分組頻數(shù)10,2)622,4)834,6)1746,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合計100(1)從該校隨機選取一名學生,試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率;(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值;(3)假設同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組(只需寫出結(jié)論)解(1)根據(jù)頻數(shù)分布表,100名學生中課外閱讀時間不少于12小時的學生共有62210(名),所以樣本中的學生課外閱讀時間少于12小時的頻率是10.9.從該校隨機選取一名學生,估計其課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9.(2)課外閱讀時間落在組4,6) 的有17人,頻率為0.17,所以a0.085.課外閱讀時間落在組8,10)的有25人,頻率為0.25,所以b0.125.(3)樣本中的100名學生課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組12(2021·廣東)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表:(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差;(2)以十位數(shù)為莖,個位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖;(3)求這20名工人年齡的方差解(1)這20名工人年齡的眾數(shù)為30;這20名工人年齡的極差為401921.(2)以十位數(shù)為莖,個位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖如下:(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為:(1928×329×330×531×432×340)÷2030;所以這20名工人年齡的方差為:(3019)2(3028)2(3029)2(3030)2(3031)2(3032)2(3040)212.6.