新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案:第三章 167;3 第2課時(shí) 半角公式及其應(yīng)用 Word版含答案

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1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 第2課時(shí) 半角公式及其應(yīng)用 [核心必知] 正弦、余弦和正切的半角公式 半角的正弦公式 sin =±_ 半角的余弦公式 cos =±_ 半角的正切公式 tan =±== [問(wèn)題思考] 1.半角公式適用條件是什么? 提示:cos =± ,sin =± 中,α∈R,tan =± =中, α≠2kπ+π,k∈Z,tan =中,α≠kπ,k∈Z. 2.半角正切公式中的三個(gè)公式各有什么優(yōu)缺點(diǎn)? 提示:無(wú)理式公式的優(yōu)點(diǎn)是只含一個(gè)函數(shù)cos α,缺點(diǎn)是含有“±”號(hào),需判斷所在的象限來(lái)確定tan 的正負(fù);有理式公式的優(yōu)點(diǎn)是不用判斷

2、所在的象限,缺點(diǎn)是需知道sin α,cos α兩個(gè)函數(shù)的值才能計(jì)算. 講一講 1.已知cos α=,α為第四象限的角,求tan 的值. [嘗試解答] 法一:(用tan =± 來(lái)處理). ∵α為第四象限的角,∴是第二或第四象限的角. ∴tan <0. ∴tan =- =- =- =- =- =. 法二:(用tan =來(lái)處理) ∵α為第四象限的角, ∴sin α<0. ∴sin α=- =- =-. ∴tan ===. 法三:(用tan =來(lái)處理) ∵α為第四象限的角, ∴sin α<0. ∴sin α=- =-=-. ∴tan == =

3、=. 在求半角的正切tan 時(shí),用tan =± 來(lái)處理,要由α所在的象限確定所在的象限,再用三角函數(shù)值的符號(hào)取舍根號(hào)前的雙重符號(hào);而用tan =或tan =來(lái)處理,可以避免這些問(wèn)題.尤其是tan =,分母是單項(xiàng)式,容易計(jì)算.因此常用tan =求半角的正切值. 練一練 1.已知sin α=-,180°<α<270°,求sin ,cos ,tan 的值. 解:∵180°<α<270°,∴90°<<135°. 又∵sin α=-,∴cos α=-. ∴sin = = =. cos =- = =-. tan ==-2. 講一講 2.設(shè)α∈(,2π),化簡(jiǎn):

4、. [嘗試解答] ∵α∈, ∴cos α>0,cos <0. 故原式= = ==|cos | =-cos . 利用半角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí),應(yīng)正確選用升、降冪公式:當(dāng)待化簡(jiǎn)式中含有根式時(shí),應(yīng)選用升冪公式(cos 2α=1-2sin2α=2cos2α-1)去根號(hào);當(dāng)待化簡(jiǎn)式中含有高次式時(shí),應(yīng)選用降冪公式(sin2α=,cos2α=)降低次數(shù)以減少運(yùn)算量,注意隱含條件中角的范圍. 練一練 2.化簡(jiǎn):(1+tan xtan ). 解:原式=(1+·) =sin x(1+) =sin x=tan x. 講一講 3.求證:=sin 2α. [嘗試解答] 左邊

5、= == =sin αcos α=sin 2α= 右邊. 1.證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)是消除等式兩邊的差異,有目的地化繁為簡(jiǎn)、左右歸一或變更論證. 2.常用定義法、化弦法、化切法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法,要熟練掌握基本公式,善于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法. 3.證明條件三角恒等式,首先應(yīng)觀察條件與結(jié)論之間的差異(三角函數(shù)名及結(jié)構(gòu)),從解決某一差異入手,采用條件轉(zhuǎn)化法或條件代入法. 練一練 3.求證:sin2-1=-. 證明:由sin =± , 知sin =± , ∴sin2=, ∴sin2-1=-1 =-, 原等式得證. 化簡(jiǎn):(90°

6、<α<180°). [錯(cuò)解] ∴α是第二象限角, ∴原式= = = =cos α. [錯(cuò)因] 錯(cuò)解中把α的范圍錯(cuò)誤地當(dāng)作的范圍,從而判斷cos 的符號(hào)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤. [正解] 原式= = =. 又∵90°<α<180°, ∴45°<<90°, ∴cos >0, ∴原式==-cos α. 1.tan 15°等于(  ) A.2+         B.2- C.+1 D.-1 解析:選B tan 15°=tan==2-. 2.設(shè)α∈(π,2π),則 等于(  ) A.sin B.cos

7、 C.-sin D.-cos 解析:選D ∵α∈(π,2π),∴<<π.∴cos <0. ∴原式= =|cos |=-cos . 3.已知sin 2θ=,θ∈(0,),則tan θ等于(  ) A. B.或 C. D. 解析:選C ∵0<θ<∴0<2θ<. ∴cos 2θ= = =. ∴tan θ===. 4.已知cos α=,270°<α<360°,那么cos 的值為_(kāi)_______. 解析:∵270°<α<360°,∴135°<<180°, ∴cos <0. ∴cos =- =- =-. 答案: - 5.已知sin θ=且π<θ<3π,則tan =

8、________. 解析:∵<θ<3π, ∴cos θ=-, 又∵<<π, ∴tan = = =2. 答案:2 6.計(jì)算:tan +. 解:tan +=+ =+=+2+ =1++. 一、選擇題 1.已知tan =3,則cos α為(  ) A.          B.- C. D.- 解析:選B 法一:cos α=cos2-sin2====-. 法二:∵tan =3,∴=9, 即1-cos α=9+9cos α,解得cos α=-. 2.已知α為第三象限角,且sin α=-,則tan 等于(  ) A.

9、 B. C.- D.- 解析:選C ∵α為第三象限角, ∴cos α=-=- =-, tan ===-. 3.設(shè)a=cos 6°-sin 6°, b=,c= 則有(  ) A.a(chǎn)>b>c        B.a(chǎn)

10、α C.-sin 2α D.2sin 2α 解析:選B 原式=4cos2α =2cos2αtan α=2cos2α =2sin αcos α=sin 2α. 二、填空題 5.計(jì)算:sin =________. 解析:sin = = =. 答案: 6.在△ABC中,若cos A=,則sin2+cos 2A的值為_(kāi)_______. 解析:∵cos A=, ∴原式=cos2+cos 2A =+2cos2A-1 =+2×()2-1=-. 答案:- 7.化簡(jiǎn):·=________. 解析:原式=· =·2tan 2α =×2t

11、an 2α =tan 2α. 答案:tan 2α 8.已知sin -cos =-,若450°<α<540°,則tan =________. 解析:由條件知1-2sin cos =, ∴2sin cos =,即sin α= 又450°<α<540°,cos α<0, ∴cos α=-. tan ===2. 答案:2 三、解答題 9.求值:-sin 10°(-tan 5°). 解:原式=-sin 10°(-) =-sin 10° =-2cos 10° = = = =cos 30°=. 10.已知函數(shù)y=cos2x+sin xcos x+1(x∈R),求函數(shù)的最大值及對(duì)應(yīng)自變量x的集合. 解:y=cos2x+sin xcos x+1 =cos 2x+sin 2x+ =sin(2x+)+, y取最大值,只需2x+ =+2kπ(k∈Z), 即x=kπ+(k∈Z). ∴ymax=. ∴當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí),自變量x的集合為 .

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