新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第3章 第1節(jié)　角的概念的推廣、弧度制與任意角的三角函數(shù) Word版含解析

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1、 第三章　三角函數(shù)、解三角形 [深研高考·備考導(dǎo)航]　　　　　　為教師備課、授課提供豐富教學(xué)資源 [五年考情]　 考點(diǎn) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) — — 全國(guó)卷Ⅰ·T6 — — 同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式 — 全國(guó)卷Ⅰ·T2 全國(guó)卷Ⅰ·T8 全國(guó)卷Ⅱ·T15 — 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 全國(guó)卷Ⅰ·T12全國(guó)卷Ⅱ·T7全國(guó)卷Ⅲ·T14 全國(guó)卷Ⅰ·T8全國(guó)卷Ⅱ·T10 全國(guó)卷Ⅰ·T6全國(guó)卷Ⅱ·T12 全國(guó)卷Ⅰ·T15 全國(guó)卷·T9 正弦型函數(shù)及應(yīng)用 — — — — — 簡(jiǎn)單的三角恒等變換 全國(guó)卷Ⅱ·T9全國(guó)卷Ⅲ·T5

2、 全國(guó)卷Ⅰ·T2 全國(guó)卷Ⅱ·T14 全國(guó)卷Ⅰ·T15全國(guó)卷Ⅱ·T15 — 正弦定理和余弦定理 全國(guó)卷Ⅰ·T17全國(guó)卷Ⅱ·T13全國(guó)卷Ⅲ·T8 全國(guó)卷Ⅰ·T16全國(guó)卷Ⅱ·T17 全國(guó)卷Ⅰ·T16全國(guó)卷Ⅱ·T4 全國(guó)卷Ⅰ·T17全國(guó)卷Ⅱ·T17 全國(guó)卷T17 [重點(diǎn)關(guān)注] 1．三角函數(shù)、解三角形是全國(guó)卷高考命題的重點(diǎn)，分值為15分或17分，一般是三道客觀題或一道客觀題、一道解答題，以中檔題為主． 2．主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，簡(jiǎn)單的三角恒等變換，正、余弦定理及其應(yīng)用，且題目?？汲Ｐ拢? 3．客觀題主要涉及三角函數(shù)的求值，函數(shù)的圖像及性質(zhì)，解答題主要以三角變換為工具，綜

3、合考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)；或以正、余弦定理為工具，結(jié)合三角變換考查解三角形的有關(guān)知識(shí)． 4．高考命題中，三角函數(shù)常與解三角形相結(jié)合，既可以考查三角恒等變換，又可以考查正、余弦定理的綜合應(yīng)用，符合高考命題“要在知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題”的要求． [導(dǎo)學(xué)心語(yǔ)] 1．立足基礎(chǔ)，著眼于提高：立足課本，牢固掌握三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)；弄清每個(gè)公式成立的條件，公式間的內(nèi)在聯(lián)系及公式的變形、逆用等．要在靈、活、巧上下功夫，切不可死記硬背． 2．突出數(shù)學(xué)思想方法：應(yīng)深刻理解數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，理解眾多三角公式的應(yīng)用無(wú)一不體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．在解決三角函數(shù)的問(wèn)題時(shí)仔細(xì)體會(huì)拆角、切化弦、三角函數(shù)歸一的方法技能．

4、 3．抓住關(guān)鍵：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值中，要熟練掌握三角變換公式的應(yīng)用，其中角的變換是解題的關(guān)鍵，注意已知與待求中角的關(guān)系，力爭(zhēng)整體處理． 4．注意交匯：三角函數(shù)與解三角形知識(shí)的交匯滲透，這也是高考命題的熱點(diǎn)之一． 第一節(jié)　角的概念的推廣、弧度制與任意角的三角函數(shù) [考綱傳真]　1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義． 1．角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形． (2)分類 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)

5、成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定義和公式 (1)定義：在單位圓中，長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角，弧度記作rad. (2)公式：①角度與弧度的換算： a．1°＝ rad；b.1 rad＝°. ②弧長(zhǎng)公式：l＝|α|r. ③扇形面積公式：S＝lr＝r2α. 3．任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么 y叫作α的正弦，記作sin α x叫作α的余弦，記作cos α 叫作α的正切，記作tan α 各象限符號(hào) Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ －

6、－ Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函數(shù)線 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)小于90°的角是銳角．(　　) (2)銳角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)角α的三角函數(shù)值與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)．(　　) (4)若α為第一象限角，則sin α＋cos α＞1.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(20xx·西寧復(fù)習(xí)檢測(cè)(一))若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，則角θ的終邊所在象限為(　　)

7、A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，則角θ的終邊在第四象限，故選D.] 3．(教材改編)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M，則sin α＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962131】 A. B．± C. D．± B　[由題意知|r|2＝＋y2＝1，所以y＝±.由三角函數(shù)定義知sin α＝y(tǒng)＝±.] 4．在單位圓中，200°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962132】 A．10π B．9π C.π D．π D　[單位圓的半徑r＝1,200°的弧度數(shù)是20

8、0×＝π，由弧度數(shù)的定義得π＝，所以l＝π.] 5．已知半徑為120 mm的圓上，有一條弧長(zhǎng)是144 mm，則該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為_(kāi)_______rad. 1．2　[由題意知α＝＝＝1.2 rad.] 角的有關(guān)概念及其集合表示 　(1)若角α是第二象限角，則是(　　) A．第一象限角　　　 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 (2)已知角α的終邊在如圖3-1-1所示陰影部分表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為_(kāi)_______． 圖3-1-1 (1)C　(2)(k∈Z)　[(1)∵α是第二象限角， ∴＋2kπ＜α＜π＋2k

9、π，k∈Z， ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角． 綜上，是第一或第三象限角． (2)在[0,2π)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為， ∴所求角的集合為(k∈Z)．] [規(guī)律方法]　1.與角α終邊相同的角可以表示為β＝2kπ＋α(k∈Z)的形式，α是任意角；相等的角終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等；角度制與弧度制不能混用． 2．由α所在象限，判定所在象限，應(yīng)先確定的范圍，并對(duì)整數(shù)k的奇、偶情況進(jìn)行討論． [變式訓(xùn)練1]　(1)設(shè)集合M＝{x∣x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x∣x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么

10、(　　) A．M＝N B．MN(yùn) C．NM D．M∩N＝? (2)已知角α＝45°，在區(qū)間[－720°，0°]內(nèi)與角α有相同終邊的角β＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962133】 (1)B　(2)－675°或－315°　[(1)法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，顯然有MN(yùn)，故選B. 法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數(shù)； 而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋

11、1是整數(shù)，因此必有MN(yùn)，故選B. (2)由終邊相同的角的關(guān)系知β＝k·360°＋45°，k∈Z， ∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.] 扇形的弧長(zhǎng)、面積公式 　(1)已知扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角； (2)已知扇形周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時(shí)，扇形的面積最大？ [解]　(1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則 解得(舍去)或 ∴扇形的圓心角為. 5分 (2)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40. 7分 又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100. 9分 當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)，Smax

12、＝100，此時(shí)2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴當(dāng)r＝10，θ＝2時(shí)，扇形的面積最大. 12分 [規(guī)律方法]　1.(1)在弧度制下，計(jì)算扇形面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷；(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于R的二次函數(shù)的最值問(wèn)題(如本例)或不等式問(wèn)題來(lái)求解． 2．利用公式：(1)l＝|α|R；(2)S＝lR；(3)S＝|α|R2.其中R是扇形的半徑，l是弧長(zhǎng)，α(0＜α＜2π)為圓心角，S是扇形面積，知道兩個(gè)量，可求其余量． [變式訓(xùn)練2]　已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10， (1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大??； (2)求α所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面

13、積S. [解]　(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，∴△AOB為等邊三角形，因此弦AB所對(duì)的圓心角α＝. 5分 (2)由扇形的弧長(zhǎng)與扇形面積公式，得 l＝|α|·R＝×10＝， S扇形＝R·l＝|α|·R2＝. 9分 又S△AOB＝·OA·OB·sin＝25， ∴S弓形＝S扇形－S△AOB＝50. 12分 三角函數(shù)的定義 　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)若tan α＞0，則(　　) A．sin α＞0 B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0 (2)(20xx·河南中原名校第三次聯(lián)考)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－，a)，若點(diǎn)A在拋物線y＝－x

14、2的準(zhǔn)線上，則sin α＝(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． (1)C　(2)D　[(1)由tan α＞0知角α是第一或第三象限角，當(dāng)α是第一象限角時(shí)，sin 2α＝2sin αcos α＞0；當(dāng)α是第三象限角時(shí)，sin α＜0，cos α＜0，仍有sin 2α＝2sin αcos α＞0，故選C. (2)拋物線方程y＝－x2可化為x2＝－4y， ∴拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝1. ∵點(diǎn)A在拋物線y＝－x2的準(zhǔn)線上， ∴A(－，1)，由三角函數(shù)的定義得sin α＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況． (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)

15、P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解； (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來(lái)求相關(guān)問(wèn)題． 2．確定三角函數(shù)值的符號(hào)，可以從確定角的終邊所在象限入手進(jìn)行判斷． [變式訓(xùn)練3]　(1)(20xx·山東聊城期中)設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cos α＝x，則tan 2α＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962134】 A. B．－ C. D．－ (2)函數(shù)y＝的定義域?yàn)開(kāi)_______． (1)A　(2)(k∈Z)　[(1)由三角函數(shù)的定義可得cos α＝. ∵cos α＝x，∴＝x，

16、又α是第二象限角，∴x＜0，故可解得x＝－3， ∴cos α＝－，sin α＝＝， ∴tan α＝＝－，∴tan 2α＝＝.故選A. (2)∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)． ∴x∈(k∈Z)．] [思想與方法] 1．在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P(x，y)可取終邊上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P在單位圓上，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝；若|OP|＝r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝. 2．三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．利用單位圓和三角函數(shù)線是解三角不等式的常用方法． [易錯(cuò)與防范] 1．第一象限角、銳角、小于90°的角是三個(gè)不同的概念，前者是象限角，后兩者是區(qū)間角． 2．角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制必須一致，不可混用． 3．已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況．