新版一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習：第二章 第十節(jié)　變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 Word版含解析

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1、 1

2、 1 課時規(guī)范練 A組　基礎(chǔ)對點練 1．曲線y＝xex－1在點(1,1)處切線的斜率等于(　　) A．2e　　　　　　　　 B．e C．2 D．1 解析：y＝xex－1＝＝xex，y′＝(ex＋xex)＝(1＋x)， ∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝2，故選C. 答案：C 2．(20xx·濟南模擬)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，

3、則f′(1)＝(　　) A．－e B．－1 C．1 D．e 解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x， ∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln x)′＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1. 答案：B 3．函數(shù)f(x)＝exsin x的圖象在點(0，f(0))處的切線的傾斜角為(　　) A. B. C. D. 解析：因為f′(x)＝exsin x＋excos x，所以f′(0)＝1，即曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線的斜率為1.所以在點(0，f(0))處的切線的傾斜角為，故選C. 答案：C 4．(20xx·云南師

4、大附中考試)曲線y＝ax在x＝0處的切線方程是xln 2＋y－1＝0，則a＝(　　) A. B．2 C．ln 2 D．ln 解析：由題知，y′＝axln a，y′|x＝0＝ln a，又切點為(0,1)，故切線方程為xln a－y＋1＝0，∴a＝，故選A. 答案：A 5．已知函數(shù)f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，則tan 2x的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：因為f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝，故選D. 答案：D 6．(20xx·貴陽模擬)曲線y＝xex

5、在點(1，e)處的切線與直線ax＋by＋c＝0垂直，則的值為(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：y′＝ex＋xex，則y′|x＝1＝2e，∵切線與直線ax＋by＋c＝0垂直，∴－＝－，∴＝，故選D. 答案：D 7．(20xx·重慶巴蜀中學模擬)已知曲線y＝在點P(2，4)處的切線與直線l平行且距離為2，則直線l的方程為(　　) A．2x＋y＋2＝0 B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0 C．2x－y－18＝0 D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0 解析：y′＝＝－，y′|x＝2＝－＝－2，因此kl＝－2，設(shè)直線l方程為y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，

6、由題意得＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直線l的方程為2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故選B. 答案：B 8．已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2－x)＝2x2－7x＋6，則曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程是(　　) A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 解析：法一：令x＝1得f(1)＝1，令2－x＝t，可得x＝2－t，代入f(2－x)＝2x2－7x＋6得f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化簡整理得f(t)＝2t2－t，即f(x)＝2x2－x，∴f′(x)＝4x－1，∴f′(1)＝3.∴所求切線方程為y－1＝3(x－1)，

7、即y＝3x－2. 法二：令x＝1得f(1)＝1，由f(2－x)＝2x2－7x＋6，兩邊求導可得f′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令x＝1可得－f′(1)＝－3，即f′(1)＝3.∴所求切線方程為y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2. 答案：C 9．(20xx·濰坊模擬)如圖，y＝f(x)是可導函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 解析：由題意知直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，由圖可得f(3)＝1.又點(3,1)在

8、直線l上，∴3k＋2＝1，∴k＝－，∴f′(3)＝k＝－.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，則g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0，故選B. 答案：B 10．已知直線y＝－x＋m是曲線y＝x2－3ln x的一條切線，則m的值為(　　) A．0 B．2 C．1 D．3 解析：因為直線y＝－x＋m是曲線y＝x2－3ln x的切線，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1或x＝－(舍去)，即切點為(1,1)，又切點(1,1)在直線y＝－x＋m上，所以m＝2，故選B. 答案：B 11．若冪函數(shù)f(x)＝mxα的圖象經(jīng)過點A，則它在點A處的切線方程是(

9、　　) A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0 C．4x－4y＋1＝0 D．4x＋4y＋1＝0 解析：由題意知m＝1，∴＝α，∴α＝， ∴f(x)＝x，∴f′(x)＝，其在A的切線的斜率k＝1， ∴f(x)在處的切線方程為y－＝x－，即y＝x＋，故選C. 答案：C 12．(20xx·石家莊模擬)設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝ex＋a·e－x的導函數(shù)是f′(x)，且f′(x)是奇函數(shù)．若曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C. D．－ 解析：對f(x)＝ex＋a·e－x求導得f′(x)＝ex－ae－x，又f′(x)是奇函數(shù)

10、，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x，設(shè)切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得ex0＝2或ex0＝－(舍去)，所以x0＝ln 2. 答案：A 13．曲線y＝－5ex＋3在點(0，－2)處的切線方程為________． 解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝－5，所以切線方程為y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. 答案：5x＋y＋2＝0 14．曲線y＝x(3ln x＋1)在點(1,1)處的切線方程為____________． 解析：y′＝3ln x＋1＋3＝3ln x＋4，所以曲線在

11、點(1,1)處的切線斜率為4，所以切線方程為y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案：y＝4x－3 15．若曲線y＝xln x上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標是________． 解析：設(shè)P(x0，y0)．∵y＝xln x， ∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x. ∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e. ∴y0＝eln e＝e. ∴點P的坐標是(e，e)． 答案：(e，e) 16．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x3，則f(x)＝__________. 解析：由f(x

12、)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x3，得f′(x)＝f′(1)·ex－1－f(0)＋x2.令x＝1，得f(0)＝1.在f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x3中，取x＝0，得f(0)＝f′(1)e－1＝1，所以f′(1)＝e，所以f(x)＝ex－x＋x3. 答案：ex－x＋ B組　能力提升練 1．已知函數(shù)g(x)＝sin x，記f(0)＝g(x)＝sin x，f(1)＝(sin x)′＝cos x，f(2)＝(cos x)′＝－sin x，…依次類推，則f(2 019)＝(　　) A．sin x B．cos x C．－sin x D．－cos x 解析：由題意得f(3

13、)＝－cos x，f(4)＝sin x，f (5)＝cos x， 周期為4. ∴f(2 019)＝f(3)＝－cos x，故選D. 答案：D 2．給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導函數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．已知函數(shù)f(x)＝3x＋4sin x－cos x的拐點是M(x0，f(x0))，則點M(　　) A．在直線y＝－3x上 B．在直線y＝3x上 C．在直線y＝－4x上 D．在直線y＝4x上 解析：f′(x)＝3＋4cos x＋sin x，f″(x)＝－4sin

14、x＋cos x，由題意知4sin x0－cos x0＝0， 所以f(x0)＝3x0， 故M(x0，f(x0))在直線y＝3x上．故選B. 答案：B 3．已知函數(shù)f(x)＝ex－2ax，g(x)＝－x3－ax2.若不存在x1，x2∈R，使得f′(x1)＝g′(x2)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－2,3) B．(－6,0) C．[－2,3] D．[－6,0] 解析：依題意，知函數(shù)f′(x)與g′(x)值域的交集為空集，∵f′(x)＝ex－2a＞－2a，g′(x)＝－3x2－2ax≤，∴≤－2a，解得－6≤a≤0. 答案：D 4．(20xx·江西贛中南五校聯(lián)考)已知函

15、數(shù)fn(x)＝xn＋1，n∈N的圖象與直線x＝1交于點P，若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012的值為(　　) A．－1 B．1－log2 0132 012 C．－log2 0132 012 D．1 解析：由題意可得點P的坐標為(1,1)， f′n(x)＝(n＋1)·xn，所以fn(x)圖象在點P處的切線的斜率為n＋1，故可得切線的方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，所以切線與x軸交點的橫坐標為xn＝，則log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012＝log2 013

16、(x1x2…x2 012)＝log2 013＝log2 013＝－1.故選A. 答案：A 5．(20xx·安徽皖南八校聯(lián)考)已知曲線f(x)＝－axln x在點(1，f(1))處的切線方程為y＝－x＋＋b－1，則下列命題是真命題的個數(shù)為(　　) ①?x∈(0，＋∞)，f(x)＜；②?x0∈(0，e)，f(x0)＝0； ③?x∈(0，＋∞)，f(x)＞；④?x0∈(1，e)，f(x0)＝. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：f′(x)＝－a(1＋ln x)，則f′(1)＝－a，又f(1)＝，∴曲線在(1，f(1))處的切線方程為y－＝－a(x－1)，即y＝－ax＋＋a，∴a

17、＝1，b＝2.∴f(x)＝－xln x．易知y＝在(0，＋∞)上的最大值為，y＝xln x在(0，＋∞)上的最小值為－，∴＜xln x＋，即f(x)＜，①正確，∵f(1)·f(e)＜0，且f(x)的圖象在(0，e)上連續(xù)，∴②正確； ∵f(e)＜0，∴③錯誤；由f(1)＝，f(e)＜0知④正確，即①②④正確． 答案：C 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋，它們的圖象在x軸上的公共點處有公切線，則當x＞1時，f(x)與g(x)的大小關(guān)系是(　　) A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x) C．f(x)＝g(x) D．f(x)與g(x)的大小關(guān)系不確定 解析：由題

18、意得f(x)與x軸的交點(1,0)在g(x)上，所以a＋b＝0，因為函數(shù)f(x)，g(x)的圖象在此公共點處有公切線，所以f(x)，g(x)在此公共點處的導數(shù)相等，f′(x)＝，g′(x)＝a－，以上兩式在x＝1時相等，即1＝a－b，又a＋b＝0，所以a＝，b＝－，即g(x)＝－，f(x)＝ln x，令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－＋，則h′(x)＝－－＝＝－，因為x>1，所以h′(x)＜0，所以h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)＜h(1)＝0，所以f(x)＜g(x)．故選B. 答案：B 7．設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝_

19、_______. 解析：令t＝ex，故x＝ln t，∴f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，∴f′(x)＝＋1，∴f′(1)＝2. 答案：2 8．設(shè)曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝(x＞0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為________． 解析：y′＝ex，則曲線y＝ex在點(0,1)處的切線的斜率k切＝1，又曲線y＝(x>0)上點P處的切線與曲線y＝ex在點(0,1)處的切線垂直，所以曲線y＝(x>0)在點P處的切線的斜率為－1，設(shè)P(a，b)，則曲線y＝(x>0)上點P處的切線的斜率為y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b

20、＝1，故P(1,1)． 答案：(1,1) 9．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)圖象上任意一點處的切線的斜率都小于1，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意得f′(x)＝－3x2＋2ax， 當x＝時，f′(x)取到最大值. ∴＜1，解得－＜a＜. 答案：－＜a＜ 10．已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值． (2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍． 解析：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

21、 (1)由題意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因為曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線， 所以關(guān)于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個不相等的實數(shù)根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－. 所以a的取值范圍為∪. 11．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點(2，－2)的曲線的切線方程． 解析：(1)因為f′(x)＝3x2－8x＋5， 所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2， 所以曲線在點(2，f(2))處

22、的切線方程為y＋2＝x－2，即x－y－4＝0. (2)設(shè)曲線與經(jīng)過點A(2，－2)的切線相切于點P(x0，x－4x＋5x0－4)，因為f′(x0)＝3x－8x0＋5， 所以切線方程為y－ (－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切線過點P(x0，x－4x＋5x0－4)， 所以x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1， 所以經(jīng)過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0. 12．設(shè)有拋物線C：y＝－x2＋x－4，過原點O作C的切線y＝kx，使切點P在第一象限． (1)求k的值； (2)過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q的坐標． 解析：(1)設(shè)點P的坐標為(x1，y1)， 則y1＝kx1，① y1＝－x＋x1－4，② ①代入②得，x＋x1＋4＝0. 因為P為切點， 所以Δ＝2－16＝0， 得k＝或k＝. 當k＝時，x1＝－2，y1＝－17. 當k＝時，x1＝2，y1＝1. 因為P在第一象限， 所以所求的斜率k＝. (2)過P點作切線的垂線， 其方程為y＝－2x＋5.③ 將③代入拋物線方程得， x2－x＋9＝0. 設(shè)Q點的坐標為(x2，y2)，則2x2＝9， 所以x2＝，y2＝－4. 所以Q點的坐標為.