七年級(jí)數(shù)軸經(jīng)典題型總結(jié)[附答案解析]
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1、. . 七年級(jí)數(shù)軸經(jīng)典題型總結(jié)(含答案) [1、數(shù)軸與實(shí)際問(wèn)題] 例1 5個(gè)城市的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間(單位:時(shí))在數(shù)軸上表示如下,那么時(shí)間2006年6月17日上午9時(shí)應(yīng)是( ) A、倫敦時(shí)間2006年6月17日凌晨1時(shí) B、紐約時(shí)間2006年6月17日晚上22時(shí) C、多倫多時(shí)間2006年6月16日晚上20時(shí) D、首爾時(shí)間2006年6月17日上午8時(shí) 解:觀察數(shù)軸很容易看出各城市與的時(shí)差 城市名稱(chēng) 時(shí)差 時(shí)間 當(dāng)?shù)貢r(shí)間 紐約 -5-8=-13 17日上午9時(shí) 9-13=-4,24-4=20,17日晚
2、上20時(shí) 多倫多 -4-8=-12 17日上午9時(shí) 9-12=-3,24-3=21,17日晚上21時(shí) 倫敦 0-8=-8 17日上午9時(shí) 9-8=1,16日凌晨1時(shí) 首爾 9-8=+1 17日上午9時(shí) 9+1=10,16日上午10時(shí) 例2 在一條東西走向的馬路旁,有青少年宮、學(xué)校、商場(chǎng)、醫(yī)院四家公共場(chǎng)所。已知青少年宮在學(xué)校東300米處,商場(chǎng)在學(xué)校西200米處,醫(yī)院在學(xué)校東500米處。將馬路近似地看成一條直線,以學(xué)校為原點(diǎn),以正向?yàn)檎较?,?個(gè)單位長(zhǎng)度表示100米。 ① 在數(shù)軸上表示出四家公共場(chǎng)所的位置。 ② 計(jì)算青少年宮與商場(chǎng)之間的距離。 解:
3、 (1) (2)青少年宮與商場(chǎng)相距:3-(-2)=5 個(gè)單位長(zhǎng)度 所以:青少年宮與商場(chǎng)之間的距離=5×100=500(米) 練習(xí) 1、如圖,數(shù)軸上的點(diǎn)P、O、Q、R、S表示某城市一條大街上的五個(gè)公交車(chē)站點(diǎn),有一輛公交車(chē)距P站點(diǎn)3km,距Q站點(diǎn)0.7km,則這輛公交車(chē)的位置在( ?。? A、R站點(diǎn)與S站點(diǎn)之間 B、P站點(diǎn)與O站點(diǎn)之間 C、O站點(diǎn)與Q站點(diǎn)之間 D、Q站點(diǎn)與R站點(diǎn)之間 解:判斷公交車(chē)在P點(diǎn)右側(cè),距離P:(-1.3)+3=1.7(km),即在原點(diǎn)O右側(cè)1.7處,位于Q、R間 而公交車(chē)距Q站點(diǎn)0.7km,距離Q:0.7+1=1.7
4、(km),驗(yàn)證了,這輛公交車(chē)的位置在Q、R間 2、如圖,在一條數(shù)軸上有依次排列的臺(tái)機(jī)床在工作,現(xiàn)要設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站,使這臺(tái)機(jī)床到供應(yīng)站的距離總和最小,點(diǎn)建在哪?最小值為多少? 解: (此題是實(shí)際問(wèn)題,涉與絕對(duì)值表示距離,后面會(huì)有更深入的理解) 此題揭示了,問(wèn)題過(guò)于復(fù)雜時(shí),要“以退為進(jìn)”,回到問(wèn)題 的起點(diǎn),找出規(guī)律。后面你還會(huì)遇到這種處理問(wèn)題的辦法。 (1)假設(shè)數(shù)軸上只有A、B二臺(tái)機(jī)床時(shí),很明顯,供應(yīng)站P應(yīng)該是設(shè)在A和B之間的任何地方都行, 反正P到A和P到B的距離之和就是A到B的距離,值為:1-(-1)=2; (2)假設(shè)數(shù)軸上有A、B、C三臺(tái)機(jī)床時(shí),我們不難想到,供應(yīng)站設(shè)在
5、中間一臺(tái)機(jī)床B處最合適,因?yàn)槿绻鸓放在B處,P到A和P到C的距離之和恰好為A到C的距離,而如果把P放在別處,如原點(diǎn)處,P到A和P到C的距離之和仍是A到B的距離,可是B機(jī)床到原點(diǎn)還有一段距離,這是多出來(lái)的,所以,P設(shè)在B處時(shí),P到A、B、C的距離總和最小,值為:2-(-1)=3; (3)如果數(shù)軸上有A、B、C、D四臺(tái)機(jī)床,經(jīng)過(guò)分析,P應(yīng)設(shè)BC之間任何地方,此時(shí)P到A、B、C、D的距離總和最小,值為:4-(-1)+BC距離=5+1=6; (4)如果數(shù)軸上有有5臺(tái)機(jī)床呢,經(jīng)過(guò)分析,P應(yīng)設(shè)在C處,此時(shí)P到5臺(tái)機(jī)床的距離總和最小,值為:AE距離+BC距離+CD距離=9+1+2=12; (5)擴(kuò)展:
6、如果數(shù)軸上有n臺(tái)機(jī)床,要找一點(diǎn)P,使得P到各機(jī)床距離之和最小 ①如果n為奇數(shù),P應(yīng)設(shè)在第臺(tái)的位置 ②如果n為偶數(shù),P可設(shè)在第臺(tái)和第()臺(tái)之間任意位置 規(guī)律探索無(wú)處不在,你體會(huì)到了嗎? 此題可變?yōu)椋? A、當(dāng)為何值時(shí),式子有最小值,最小值為多少? B、求的最小值。 3、老師在黑板上畫(huà)數(shù)軸,取了原點(diǎn)O后,用一個(gè)鐵絲做的圓環(huán)作為工具,以圓環(huán)的直徑在數(shù)軸上畫(huà)出單位長(zhǎng)1,再將圓環(huán)拉直成一線段,在數(shù)軸的正方向上以此線段長(zhǎng)自原點(diǎn)O起截得A點(diǎn),則A點(diǎn)表示的數(shù)是_____________。 解:由題知:直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度,那么半徑為的單位長(zhǎng)度,圓的周長(zhǎng)為:個(gè)單位長(zhǎng)度 圓從
7、原點(diǎn)沿著數(shù)軸的正方向拉直,那么點(diǎn)A表示的數(shù)就是 要注意審題,此題告訴我們無(wú)理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來(lái)。 [2、數(shù)軸與比較有理數(shù)的大小] 例3 已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖。則在,,,中,最大的一個(gè)是( ) A. B. C. D. 解: 應(yīng)試法:設(shè)數(shù)代入計(jì)算下最快速,如設(shè)a=,b=,C=,一下就可以得出答案D 正式的做法就是分析,a是負(fù)數(shù)且介于0和-1之間,那么是正數(shù)且大于1,是a的相反數(shù),應(yīng)該在C附近,顯然也是小于1,由圖知趨近于0,綜上,答案還是D 例4 三個(gè)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,則( ) A.
8、 B. C. D. 解:應(yīng)試法:設(shè)數(shù)代入計(jì)算下最快速,如設(shè)c=1,b=2,c=4,代入計(jì)算,可以得出答案B 正式的做法就是逐個(gè)分析,采取排除法,跳出正確選項(xiàng)。 A中,,顯然錯(cuò)誤; B中,, ,因此B對(duì) 與都是負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的,反而小,取倒數(shù),分母大的,反而小 C、D為什么錯(cuò)自己試一試分析。 練習(xí) 1、己知,兩數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,下列結(jié)論正確的是( )。 A. B. C. D. 解:由題知 ,因此A對(duì)。2個(gè)負(fù)數(shù)之積大于0,故B錯(cuò),數(shù)軸左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小,所以C錯(cuò),2個(gè)負(fù)數(shù)之和還是負(fù)數(shù),則D錯(cuò)。 2
9、、如圖,數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)、則下列結(jié)論正確的是( ) A. B. C. D. 解:由題知,,故B錯(cuò) ∵,∴,則,故A、D錯(cuò); ∵∴,故C對(duì) 3、若兩個(gè)非零的有理數(shù)a、b,滿足:|a|=a,|b|=-b,a+b<0,則在數(shù)軸上表示數(shù)a、b的點(diǎn) 正確的是( ?。? A、 B、 C、 D、 解:|a|=a,說(shuō)明,|b|=-b,則,a+b<0,說(shuō)明,即b離原點(diǎn)更遠(yuǎn) 故C是對(duì)的 [3
10、、尋找、判斷數(shù)軸上的點(diǎn)] 例5 如圖,數(shù)軸上的A、B、C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別是a、b、c,其中AB=BC,如果|a|>|b|>|c|,那么該數(shù)軸的原點(diǎn)O的位置應(yīng)該在( ?。? A、點(diǎn)A的左邊B、點(diǎn)A與點(diǎn)B之間 C、點(diǎn)B與點(diǎn)C之間D、點(diǎn)B與點(diǎn)C之間或點(diǎn)C的右邊 解:答案D,用排除法 例6 如圖,數(shù)軸上標(biāo)出若干點(diǎn),每相鄰的兩點(diǎn)相距一個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為整數(shù)a、b、c、d,且。試問(wèn):數(shù)軸上的原點(diǎn)在哪一點(diǎn)上? A B C D M N a b c d 解:由于每相鄰的兩點(diǎn)相距一個(gè)單位長(zhǎng)度 所以有:,代入式子 則,所以原點(diǎn)在
11、B處 練習(xí) 1、在數(shù)軸上,坐標(biāo)是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為“整點(diǎn)”。設(shè)數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米,若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫(huà)出一條 長(zhǎng)2008厘米的線段AB, 則線段AB蓋住的整點(diǎn)至少有_______個(gè),至多有個(gè)。 解:2008太大,以退為進(jìn),假設(shè)線段AB長(zhǎng)為1,易知AB蓋住的整點(diǎn)至少有1個(gè),至多有2個(gè) 假設(shè)線段AB長(zhǎng)為2,易知AB蓋住的整點(diǎn)至少有2個(gè),至多有3個(gè),所以: 本題,線段AB蓋住的整點(diǎn)至少有2008個(gè),至多有2009個(gè)。 2、如圖,數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn),每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位,點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)的整數(shù)a、b、c、d, 且,那么數(shù)軸的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是( )。 A、A點(diǎn)
12、 B、B點(diǎn) C、C點(diǎn) D、D點(diǎn) 解:由題知,,代入 則,所以原點(diǎn)是C點(diǎn) 3、如圖所示,圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度,在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上字母A,B,C,D,先將圓周上的字母A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸的數(shù)字1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合,若將圓沿著數(shù)軸向左滾動(dòng),那么數(shù)軸上的-2010所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)將與圓周上字母所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)( ?。┲睾希? 解:-2010到1之間有: 1-(-2010)+1=2012個(gè)數(shù) A對(duì)應(yīng)1,B對(duì)應(yīng)0,C對(duì)應(yīng)-1,D對(duì)應(yīng)-2,以此類(lèi)推,4個(gè)數(shù)為1循環(huán)節(jié) 而2012÷4=303 余數(shù)0,正好循環(huán)完,所以數(shù)軸上的-2010所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是D [4、與數(shù)
13、軸有關(guān)的計(jì)算] 例7 如圖所示,在數(shù)軸上有六個(gè)點(diǎn),點(diǎn)所表示的數(shù)是,且, 則與點(diǎn)所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是。 解:可用方程來(lái)做,沒(méi)學(xué)就這么做 因?yàn)椋? 易知:=0.8 ,則 C到F:0.8×3=2.4,因?yàn)辄c(diǎn)所表示的數(shù)是 所以點(diǎn)C表示的數(shù):8-2.4=5.6, 那么與5.6最接近的整數(shù)是6 例8 上午8點(diǎn),某人駕駛一輛汽車(chē)從A地出發(fā),向東記為正,向西記為負(fù)。記錄前4次行駛過(guò)程如下:-15公里,+25公里,-20公里,+30公里,若要汽車(chē)最后回到A地,則最后一次如何行駛?已知汽車(chē)行駛的速度為55千米/小時(shí),在這期間他辦事花去2小時(shí),問(wèn)他回到A地的時(shí)間?
14、解:前4次行駛完成后,汽車(chē)位于: A點(diǎn)東邊20公里處 若要汽車(chē)最后回到A地,則最后一次:,即向西行進(jìn)20公里 總共路程:,路上花費(fèi)時(shí)間:110÷55=2小時(shí) 期間他辦事花去2小時(shí),所以總共耗時(shí)4小時(shí),他回到A地的時(shí)間:8+4=12 練習(xí) 1、如圖,數(shù)軸上有6個(gè)點(diǎn),且相鄰兩點(diǎn)間的距離都相等,則與D點(diǎn)所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是______。 解:AF=, 則=12÷5=2.4 則 A到C距離:2.4×2=4.8,因?yàn)辄c(diǎn)A所表示的數(shù)是,所以點(diǎn)C表示的數(shù)是: 故與最接近的整數(shù)是0 2、某一電子昆蟲(chóng)落在數(shù)軸上的某點(diǎn),從點(diǎn)開(kāi)始跳動(dòng),第1次向左跳1個(gè)單位長(zhǎng)度到,第2次由向右
15、跳2個(gè)單位長(zhǎng)度到,第3次由向左跳3個(gè)單位長(zhǎng)度到,第4次由向右跳4個(gè)單位長(zhǎng)度到,依此規(guī)律跳下去,當(dāng)它跳第100次落下時(shí),電子昆蟲(chóng)在數(shù)軸上的落點(diǎn)表示的數(shù)恰好是2010,則電子昆蟲(chóng)的初始位置所表示的數(shù)是___________。 解:向左為負(fù),向右為正,電子昆蟲(chóng)所走過(guò)的路程S為: S== 其中2+4+6+……+100==2550 1+3+5+……+99==2500 故S=2550-2500=50 由題知:+50=2010,故=1960 3、一青蛙要從A點(diǎn)跳到B點(diǎn),以平均每分鐘2米的速度跳躍。它先前進(jìn)1米,再后退2米,又前進(jìn)3米,再后退4米,…(每
16、次跳躍都在A、B兩點(diǎn)所在的直線上) (1)5分鐘后它離A點(diǎn)多遠(yuǎn)? (2)若A、B兩點(diǎn)相距100米,它可能到達(dá)B點(diǎn)嗎?如果能,它第一次到達(dá)B點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間?如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。 解: (1) 5分鐘青蛙走過(guò)路程S=5×2=10米,路程S還可表示為:S= 設(shè)A點(diǎn)為數(shù)軸原點(diǎn),記前進(jìn)為正,后退為負(fù), 5分鐘后青蛙在:,即5分鐘后它離A點(diǎn)2米 (2) 由第一問(wèn)我們可以看出,青蛙每跳2次,從A點(diǎn)向B點(diǎn)前進(jìn)1米, 因?yàn)锳B兩點(diǎn)相距100米,所以青蛙要跳200次才可以到達(dá)B點(diǎn), 所以青蛙青蛙跳躍的總路程為1+2+3+…+199+200=(1+200)×200÷2=20100(米), 則需要
17、20100÷2=10050(分鐘) 三、利用數(shù)軸,深入認(rèn)識(shí)絕對(duì)值 例9 觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與-2,3與5,-2與-6,-4與3。 并回答下列各題: (1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎?____________ (2)||的幾何意義是數(shù)軸上表示_______的點(diǎn)與________之間的距離; 按照(1)的理解,||_________|-0|(,,); (3)的幾何意義是數(shù)軸上表示2的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)之間的距離;則____; (4)的幾何意義是數(shù)軸上表示___的點(diǎn)與表示_____的點(diǎn)之間的距離, 若,則________; (5
18、)的幾何意義是數(shù)軸上表示__的點(diǎn)與表示_____的點(diǎn)之間的距離, 若,則________; 解:(1)相等,也就是說(shuō),數(shù)軸上二點(diǎn)間的距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值相等; (2)||的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離;||=|-0|; (3)1; (4)的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離, 若,就是到3的距離為1的點(diǎn),這樣的點(diǎn)有2個(gè),所以=2或4; (5)可轉(zhuǎn)化為,因此它的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離,若,則0或-4; 例10的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離。 (1)當(dāng)時(shí),則。 (2)結(jié)合數(shù)軸求得的最
19、小值為_(kāi)____,取得最小值時(shí)的取值圍為_(kāi)__________。 (3)滿足的的取值圍為_(kāi)________________。 解:(1)將直接代入計(jì)算,結(jié)果:4 (2)的幾何意義:點(diǎn)到點(diǎn)2的距離加上點(diǎn)到點(diǎn)-3的距離。要使距離之和最小 需分情況討論: ①如圖,當(dāng), ②如圖,當(dāng), ③如圖,當(dāng), 顯然③圖時(shí),距離之和最小,就是-3與2的距離|-3-2|=5 (3)的幾何意義:找出一個(gè)點(diǎn),使得到與到的距離之和大于3, 按照(2)的分析,點(diǎn)在與之間時(shí),, 故點(diǎn)只要不在與之間即可。所以的取值圍是:或 練習(xí) 1、如圖表示數(shù)軸上四個(gè)點(diǎn)
20、的位置關(guān)系,且它們表示的數(shù)分別為,,,。 若,,,則_______。 解: 表示P、r之間距離10, 表示P、s之間距離12,所以 r、s之間距離是2,,表示q、s之間距離9, 表示q、r之間的距離,它等于q、s間距離減去r、s間距離,即: 2、不相等的有理數(shù),,在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,如果,那 么點(diǎn)A,B,C在數(shù)軸上的位置關(guān)系是( ) A.點(diǎn)A在點(diǎn)B,C之間 B.點(diǎn)在點(diǎn),之間 C.點(diǎn)在點(diǎn)A,B之間 D.以上三種情況均有可能 解:的幾何意義:a點(diǎn)到b點(diǎn)的距離加上b點(diǎn)到c點(diǎn)的
21、距離之和等于a點(diǎn)到c點(diǎn)的距離。顯然b點(diǎn)在a、c之間。 3、(1)閱讀下面材料(距離公式的證明,應(yīng)該自己能分析): 點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù),A、B兩點(diǎn)這間的距離表示為 ①當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn),如圖1, 此時(shí)a=0,;當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí), ②如圖2,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊; ③如圖3,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊; ④如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊。 綜上,數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離。 (2)回答下列問(wèn)題: ①數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是, 數(shù)軸上表示1和3的兩點(diǎn)之間的距離是; ②數(shù)軸
22、上表示和1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是,如果,那么為; ③當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí),相應(yīng)的的取值圍是; ④求的最小值。 解:(1)數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是3,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是3, 數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是4; (2)數(shù)軸上表示和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是, 如果,即到-1距離為2的點(diǎn),有2個(gè)分別是1、3,所以為;1或3 (3)當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí),意味著:點(diǎn)到1的距離與點(diǎn)到2的距離之和最小,此時(shí)點(diǎn)應(yīng)該在1與2之間,即相應(yīng)的的取值圍是; (4)求的最小值,實(shí)際是找一個(gè)點(diǎn)使得該點(diǎn)到1、2、3…….1997的距離之和最小,根據(jù)前面所講,這時(shí),問(wèn)題
23、轉(zhuǎn)化為: 求 2(1+2+3+….+998)= [2、利用數(shù)軸,絕對(duì)值化簡(jiǎn)] 例11 知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡(jiǎn)的結(jié)果是( )。 c 0 b a A. B. C. D. 解:由圖知,,且| ∵,∴,則 ∵,∴ == 例12 已知化簡(jiǎn) 解:∵,∴,c的正負(fù)無(wú)法確定,需要分2種情況討論: ①當(dāng)時(shí),∵,∴,則 ∵,∴,則 ∵,∴,則 ∵,∴,又∵,∴,則 故= ①當(dāng)時(shí),∵,∴ ∵,∴ ∵,∴,則 ∵,∴,
24、又∵,∴,一個(gè)負(fù)數(shù)與一個(gè)整數(shù)的和,無(wú)法判別 與的大小,故又需要分3種情況討論: ⑴當(dāng)=時(shí), 故= ⑵當(dāng)>時(shí),有,故 故= ⑶當(dāng)<時(shí),有,故 故= 練習(xí) 1、如圖所示,根據(jù)數(shù)軸上給出的a、b、c的條件,試說(shuō)明的值與c無(wú)關(guān)。 解:由題知 把握一條數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù) 則 故=小心去括號(hào)錯(cuò)誤 結(jié)果與C無(wú)關(guān) 2、已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的位置如下圖:則化簡(jiǎn)后的結(jié)果是( ) A、 B、 C、 D、 解:由題知 = 3、已知為有理數(shù),在數(shù)軸上的位置如圖所示: 且求的值。 解:由圖知, 因?yàn)? 所以,那么: 所以 =5 [3、編外:非負(fù)性解題] (1)若有 x,y 滿足,則 解:∵,故要使,則必有 ,所以 (2)已知|ab-2|與|a-1|互為相互數(shù),試求下式的值. 解:|ab-2|與|a-1|互為相互數(shù),即 故, = = = 12 / 12
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