新教材高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第三章 167;2　第1課時 兩角差的余弦函數(shù)　兩角和與差的正弦、余弦函數(shù) Word版含答案

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學資料 第1課時　兩角差的余弦函數(shù) 兩角和與差的正弦、余弦函數(shù) [核心必知] 兩角和與差的余弦、正弦公式 公式　　　　　 簡記 cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (Cα＋β) cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β (Cα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (Sα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (Sα－β) [問題思考] 1．cos(α－β)與cos α－cos β相等嗎？是否有相等的情況？

2、 提示：一般情況下不相等，但在特殊情況下也有相等的時候．例如：當取α＝0°，β＝60°時，cos(0°－60°)＝cos 0°－cos 60°. 2．公式(Cα±β)和(Sα±β)中，對于角α與β的范圍有沒有規(guī)定？ 提示：在公式中，角α與β沒有規(guī)定，即對任意角α，β，公式都恒成立． 講一講 1．求下列各式的值： (1)sin 15°＋cos 15°； (2)cos πcos π－sin πsin π. [嘗試解答]　(1)法一：sin 15°＝sin(45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝×－× ＝. cos

3、 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝×＋× ＝. ∴sin 15°＋cos 15°＝＋＝. 法二：sin 15°＋cos 15° ＝(sin 15°＋cos 15°) ＝(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝. (2)原式＝cos(2π＋)cos(2π－)－sin(π－)·sin(π－) ＝cos cos －sin sin ＝cos(＋)＝cos ＝. 解此類題的關(guān)鍵是將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，充分拆角、湊角轉(zhuǎn)化為和、差角的正弦、

4、余弦公式，同時注意公式的活用、逆用，“大角”要利用誘導公式化為“小角”． 練一練 1．求cos 105°＋sin 195°的值． 解：cos 105°＋sin 195° ＝cos 105°＋sin(90°＋105°) ＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105° ＝2cos(60°＋45°) ＝2(cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°) ＝2(×－×)＝. 講一講 2．已知<β<α<π，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－.求cos 2β的值． [嘗試解答]　∵<β<α<π， ∴0<α－β<，π<α＋β<π， ∴sin

5、(α－β)＝＝ ＝， cos(α＋β)＝－＝－ ＝－. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－×＋(－)×＝－. 解答此類題目要注意以下兩點： (1)拆拼角技巧 先分析已知角與所求角之間的關(guān)系，再決定如何利用已知角表示所求角，避免對已知條件用公式，造成不必要的麻煩．常見的拆角、拼角技巧：α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝－； (2)確定相關(guān)角的范圍 2β＝(α＋β)－(α－β)；－α＝－(＋α)等． 若題目中給出了角的取值范圍，解題時一定要重

6、視角的取值范圍對三角函數(shù)值的制約，從而恰當、準確地求出三角函數(shù)值． 練一練 2. 已知cos＝，求cos α. 解：由于0<α－<，cos(α－)＝， 所以sin(α－)＝. 所以cos α＝cos ＝coscos －sinsin ＝×－×＝. 講一講 3．已知α，β是銳角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－.求角β. [嘗試解答]　∵α是銳角，且sin α＝， ∴cos α＝＝ ＝. 又∵cos(α＋β)＝－，α，β均為銳角， ∴sin(α＋β)＝＝， ∴sin β＝sin(α＋β－α) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

7、 ＝×－(－)×＝. ∴β＝. 1．解決該類問題實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角． 2．解給值求角問題的步驟 (1)求解的某一個三角函數(shù)； (2)確定角的范圍； (3)據(jù)范圍寫出角． 練一練 3．已知α，β均為銳角，sin α＝，cos β＝，求α－β. 解：∵α，β均為銳角，sin α＝，cos β＝，∴sin β＝，cos α＝.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝－. 又－<α－β<.∴α－β＝－. 在△ABC中，sin A＝，c

8、os B＝，求cos C的值． [錯解]　∵cos B＝，∴B為銳角， ∴sin B＝＝.∵sin A＝，0

9、sin B后，要想到用sin(A＋B)或A，B的范圍進行驗證和選擇． [正解]　∵cos B＝，0. 又∵cos B＝<， ∴B>，∴A＋B>π. 這與三角形內(nèi)角和A＋B＋C＝π矛盾． ∴cos A＝. cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B) ＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝. 1．cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°的值是(　　) A．0　　　　　　　　　

10、　B. C. D．－ 解析：選B　原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36° ＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝. 2．若cos α＝－，α是第三象限的角，則sin(α＋)＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選A　∵α是第三象限的角，且cos α＝－， ∴sin α＝－， ∴sin(α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ?。?－－) 　＝－. 3．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈(0，)，β∈(－，0)，則sin α等于(　　) A. B. C．－ D．－

11、 解析：選A　∵β∈(－，0)且sin β＝－， ∴cos β＝. 又∵α∈(0，)，∴α－β∈(0，π) 又cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝×＋×()＝. 4．求值：sin 285°－cos 105°＝________． 解析：原式＝sin(360°－75°)－cos(180°－75°) ＝－sin 75°＋cos 75° ＝(cos 45°cos 75°－sin 45°sin 75°) ＝cos(45°＋75°)＝cos 120°＝－. 答案： －

12、 5．已知向量a＝(，－)，b＝(sin x，cos x)，0

13、式＝ ＝ ＝＝. 2．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin Bcos C，那么這個三角形一定是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 解析：選D　∵sin(B＋C)＝2sin Bcos C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C 即cos Bsin C＝sin Bcos C，sin(B－C)＝0 又－π

14、 D. 解析：選B　f(x)＝sin x－cos(x＋)＝sin x－cos x＋sin x＝sin(x－)， ∵sin(x－)∈[－1，1]， ∴f(x)值域為[－，]． 4．已知sin αcos α＝，0<α<，則cos(－α)的值為(　　) A.　　　　　　　　 B．－ C. D．± 解析：選C　∵cos(－α)＝(cos cos α＋sin ·sin α)＝cos α＋sin α，∴[cos(－α)]2＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×＝.∵0<α<， ∴－<－α<0，－<－α<， ∴c

15、os(－α)>0.∴cos(－α)＝. 二、填空題 5．函數(shù)y＝sin xcos(x＋)＋cos xsin(x＋)的最小正周期T＝________． 解析：y＝sin(x＋x＋)＝sin(2x＋)，∴T＝＝π. 答案：π 6．在△ABC中，A，B為銳角，且sin A＝，sin B＝，則A＋B＝________． 解析：∵A，B為銳角，∴cos A＝＝， cos B＝＝. ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝×－×＝. 又0

16、_______． 解析：y＝sin x－cos x＝2sin(x－)，由0≤x<2π?－≤x－<可知－2≤2sin(x－)≤2，當且僅當x－＝時即x＝取得最大值． 答案： 8．設(shè)α，β，γ∈(0，)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，則β－α等于________． 解析：由條件知sin β－sin α＝sin γ，① cos β－cos α＝－cos γ，② 由①2＋②2得2－2(sin βsin α＋cos αcos β)＝1. ∴cos(β－α)＝，又由① 知sin β>sin α， ∴β>α，β－α∈(0，)． ∴β－α＝. 答

17、案： 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝4cos xsin(x＋)－1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解：(1)∵f(x)＝4cos xsin(x＋)－1 ＝4cos x(sin x＋cos x)－1 ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)， ∴f(x)的最小正周期為π. (2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤. ∴當2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最大值2； 當2x＋＝－，即x＝－時，f(x)取得最小值－1. 10．已知0<β<，<α<，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值． 解：∵<α<， ∴－<－α<0. ∴sin(－α)＝－ ＝－. 又∵0<β<， ∴<＋β<π， ∴cos(＋β)＝－ ＝－. ∴sin(α＋β)＝－cos(＋α＋β) ＝－cos ＝－coscos－sinsin ＝－×－×＝.