9、b)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，
因此|a＋b|<|1＋ab|.
考點三 不等式的應用
方法技巧 利用不等式的性質(zhì)和結(jié)論可以求函數(shù)的最值，解決一些參數(shù)范圍問題，恒成立問題，解題中要注意問題的轉(zhuǎn)化.
7.(2018·海南模擬)設函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋2a.
(1)若不等式f(x)≤1的解集為{x|－2≤x≤4}，求a的值；
(2)在(1)的條件下，若不等式f(x)≥k2－k－4恒成立，求k的取值范圍.
解 (1)因為|x＋a|＋2a≤1，所以|x＋a|≤1－2a(1－2a>0)，
所以2a－1≤x＋a≤1－2a，
10、所以a－1≤x≤1－3a.
因為不等式f(x)≤1的解集為{x|－2≤x≤4}，
所以解得a＝－1，滿足1－2a>0，故a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝|x－1|－2，不等式f(x)≥k2－k－4恒成立，
只需f(x)min≥k2－k－4，
所以－2≥k2－k－4，即k2－k－2≤0，
所以k的取值范圍是[－1，2].
8.已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)解不等式f(x)＞1；
(2)當x＞0時，函數(shù)g(x)＝(a＞0)的最小值大于函數(shù)f(x)，試求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)當x＞2時，原不等式可化為x－2－x－1＞1，此時不成立；
當－1≤x
11、≤2時，原不等式可化為2－x－x－1＞1，解得－1≤x＜0；
當x＜－1時，原不等式可化為2－x＋x＋1＞1，解得x＜－1.
綜上，原不等式的解集是{x|x＜0}.
(2)因為g(x)＝ax＋－1≥2－1，當且僅當x＝時等號成立，
所以g(x)min＝g＝2－1.
當x＞0時，f(x)＝
所以f(x)∈[－3，1).
所以2－1≥1，解得a≥1.
所以實數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞).
9.已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|－|x－a|，g(x)＝3x－2.
(1)當a＝2時，求不等式f(x)＞g(x)的解集；
(2)設a＜－，存在x∈使f(x)≥g(x)成立，求實數(shù)a的取值范
12、圍.
解 (1)當a＝2時，不等式f(x)＞g(x)可化為|2x＋1|－|x－2|－3x＋2＞0，
設y＝|2x＋1|－|x－2|－3x＋2，
則y＝由y＞0，解得x＜，
所以原不等式的解集為.
(2)當x∈時，f(x)＝－2x－1－x＋a＝－3x－1＋a，不等式f(x)≥g(x)可化為a≥6x－1.
設h(x)＝6x－1，
則h(x)min＝h(a)＝6a－1，
由題意知a≥h(x)min＝6a－1，
解得a≤.
又a＜－，
所以a的取值范圍是.
典例 (10分)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)＜4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝
13、1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
審題路線圖
(1)―→
(2)?
―→
規(guī)范解答·評分標準
解 (1)不等式f(x)＜4－|x－1|，
即|3x＋2|＋|x－1|＜4，
當x＜－時，不等式可化為－3x－2－x＋1＜4，
解得－＜x＜－；……………………………………………………………………………1分
當－≤x≤1時，不等式可化為3x＋2－x＋1＜4，
解得－≤x＜；………………………………………………………………………………2分
當x＞1時，不等式可化為3x＋2＋x－1＜4，無解. ………………………………
14、………3分
綜上所述，不等式的解集為.……………………………………………………4分
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
當且僅當m＝n＝時，等號成立. ………………………………………………………5分
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝
∴當x＝－時，g(x)max＝＋a. ………………………………………………………8分
要使不等式|x－a|－f(x)≤＋對任意的x∈R恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4，
即0＜a≤.……………………………………………………………………………10分
構(gòu)建答題模板
[第一步] 解不等式；
[第二步] 轉(zhuǎn)化：將恒成
15、立問題或有解問題轉(zhuǎn)化成最值問題；
[第三步] 求解：利用求得的最值求解取值范圍.
1.(2018·全國Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若x∈(0，1)時不等式f(x)＞x成立，求a的取值范圍.
解 (1)當a＝1時，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)＞1的解集為.
(2)當x∈(0，1)時，|x＋1|－|ax－1|＞x成立等價于當x∈(0，1)時，|ax－1|＜1成立.
若a≤0，則當x∈(0，1)時，|ax－1|≥1；
若a＞0，則|ax－1|＜1的解集為，
所以≥1
16、，故0＜a≤2.
綜上，a的取值范圍為(0，2].
2.已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍.
解 (1)當a＝1時，
f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0.
當x≤－1時，不等式化為x－4>0，無解；
當－10，
解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為.
(2)由題設可得f(x)＝
如圖所示，函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂
17、點分別為A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面積為S＝××(a＋1)＝(a＋1)2.
由題設得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范圍為(2，＋∞).
3.設實數(shù)a，b均滿足不等式組
(1)證明：＜；
(2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小，并說明理由.
(1)證明 解不等式|x－1|＋2＞|x＋2|，
得或或
解得x＜.
解不等式|x－1|＜|x＋2|，得(x－1)2＜(x＋2)2，
解得x＞－.
所以原不等式組的解集為.
則a，b∈，|a|＜，|b|＜，
所以≤|a|＋|b|
＜×＋×＝，
即＜.
(2)解 |1－4ab|
18、＞2|a－b|，理由如下：
由(1)得a2＜，b2＜，則4a2－1＜0，4b2－1＜0.
因為|1－4ab|2－(2|a－b|)2
＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)
＝1＋16a2b2－4a2－4b2
＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，
所以|1－4ab|2＞(2|a－b|)2，即|1－4ab|＞2|a－b|.
4.已知不等式|x－m|<|x|的解集為(1，＋∞).
(1)求實數(shù)m的值；
(2)若不等式<－<對x∈(0，＋∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)由|x－m|<|x|，得|x－m|2<|x|2，
即2mx>m2，
又不等式|x－m|<|x|的解集為(1，＋∞)，
則1是方程2mx＝m2的解，即2m＝m2，
解得m＝2(m＝0舍去).
(2)∵m＝2，∴不等式<－<對x∈(0，＋∞)恒成立等價于不等式a－5<|x＋1|－|x－2|
2019年高考數(shù)學復習大二輪精準提分練習第二篇 第32練
