精校版高中數(shù)學(xué)蘇教版選修22學(xué)業(yè)分層測評8 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用 含解析

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1、最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料 最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料 學(xué)業(yè)分層測評(八) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、填空題 1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為________萬件． 【解析】　因為y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9. 當(dāng)00； 當(dāng)x>9時，y′<0. 故當(dāng)x＝9時，函數(shù)有極大值，也是最大值． 【答案】　9 2．做一個無蓋的圓柱形水桶，若需使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為________． 【解析】　設(shè)半徑為r，則

2、高h(yuǎn)＝， ∴S＝2πr·h＋πr2＝2πr·＋πr2＝＋πr2. 令S′＝2πr－＝0，得r＝3， ∴當(dāng)r＝3時，用料最?。? 【答案】　3 3．設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為________． 【解析】　設(shè)直棱柱的底面邊長為a，高為h， 依題意，a2·h＝V，∴ah＝. 因此表面積S＝3ah＋2·a2＝＋a2. ∴S′＝a－，由S′＝0，得a＝. 易知當(dāng)a＝時，表面積S取得最小值． 【答案】　 4．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝

3、8 300－170p－p2.則最大毛利潤為______元．(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出) 【解析】　設(shè)毛利潤為L(p)由題意知： L(p)＝pQ－20Q＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)． 此時，L(30)＝23 000. 因為在p＝30附近的左側(cè)L′(p)>0，右側(cè)L′(p)<0，所以L(30)是極大值，根據(jù)實際問題的意義知，L(30)是最大值，即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23 000元． 【答

4、案】　23 000 5．為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長為a米，高為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a＝________，b＝________時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A，B孔的面積忽略不計)． 圖1-4-4 【解析】　設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y＝，其中k(k>0)為比例系數(shù)．依題意，即所求的a，b值使y值最小，根據(jù)題設(shè)，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝. 于是y＝＝＝.(0

5、 得a＝6或a＝－10(舍去)． ∵只有一個極值點，∴此極值點即為最值點． 當(dāng)a＝6時，b＝3，即當(dāng)a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。? 6．某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新墻壁，當(dāng)砌新墻壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為______. 【導(dǎo)學(xué)號：01580022】 【解析】　設(shè)矩形堆料場中與原有的墻壁平行的一邊的邊長為x米，其他兩邊的邊長均為y米，則xy＝512. 則所用材料l＝x＋2y＝2y＋(y>0)， 求導(dǎo)數(shù)，得l′＝2－. 令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)． 當(dāng)0<

6、y<16時，l′<0；當(dāng)y>16時，l′>0.所以y＝16是函數(shù)l＝2y＋(y>0)的極小值點，也是最小值點．此時，x＝＝32. 所以當(dāng)堆料場的長為32米，寬為16米時，砌新墻壁所用的材料最?。? 【答案】　32米　16米 7．如圖1-4-5，將邊長為1 m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝，則s的最小值是________． 圖1-4-5 【解析】　設(shè)DE＝x，則梯形的周長為3－x， 梯形的面積為(x＋1)·(1－x)＝(1－x2)， ∴s＝＝·，x∈(0,1)， 設(shè)h(x)＝，h′(x)＝. 令h′(x)＝0，得x＝或x＝3(舍)，

7、 ∴h(x)最小值＝h＝8， ∴s最小值＝×8＝. 【答案】　 8．一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為10 km/h時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，當(dāng)行駛每千米的費用總和最小時，此輪船的航行速度為__________km/h. 【解析】　設(shè)輪船的速度為x km/h時，燃料費用為Q元，則Q＝kx3(k≠0)． 因為6＝k×103，所以k＝，所以Q＝x3. 所以行駛每千米的費用總和為 y＝·＝x2＋(x>0)． 所以y′＝x－.令y′＝0，解得x＝20. 因為當(dāng)x∈(0,20)時，y′<0，此時函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(20

8、，＋∞)時，y′>0，此時函數(shù)單調(diào)遞增， 所以當(dāng)x＝20時，y取得最小值， 即此輪船以20 km/h的速度行駛時，每千米的費用總和最?。? 【答案】　20 二、解答題 9．如圖1-4-6，一矩形鐵皮的長為8 cm，寬為5 cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，問小正方形的邊長為多少時，盒子容積最大？ 圖1-4-6 【解】　 設(shè)小正方形的邊長為 x cm，則盒子底面長為(8－2x) cm，寬為(5－2x) cm， V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x， V′＝12x2－52x＋40， 令V′＝0，得x＝1或x＝(舍去)， V極

9、大值＝V(1)＝18，在定義域內(nèi)僅有一個極大值， 所以V最大值＝18，即當(dāng)小正方形的邊長為1 cm時，盒子容積最大． 10．(2016·銀川高二檢測)一書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費30元，每千冊書存放一年要庫存費40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？ 【解】　設(shè)每次進(jìn)書x千冊(0

10、,150) y′ － 0 ＋ y 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以當(dāng)x＝15時，y取得極小值，且極小值惟一，故當(dāng)x＝15時，y取得最小值，此時進(jìn)貨次數(shù)為＝10(次)． 即該書店分10次進(jìn)貨，每次進(jìn)15千冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少． [能力提升] 1．已知某矩形廣場面積為4萬平方米，則其周長至少為________米． 【解析】　設(shè)廣場的長為x米，則寬為米，于是其周長為y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，這時y＝800.當(dāng)0200時，y′>0.所以當(dāng)x＝200時，y取得最小值，故其周長至

11、少為800米． 【答案】　800 2．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高為________cm. 【解析】　設(shè)該漏斗的高為x cm，體積為V cm3，則底面半徑為 cm，V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(00；當(dāng)

12、小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費用為每小時960元．為了使全程運輸成本最小，輪船行駛速度應(yīng)為________海里/時． 【解析】　設(shè)輪船行駛速度為x海里/時，運輸成本為y元．依題意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，x∈(0，35]． 則y′＝300－，x∈(0,35]． 又當(dāng)0＜x≤35時，y′<0， 所以y＝＋300x在(0,35]上單調(diào)遞減， 故當(dāng)x＝35時，函數(shù)y＝＋300x取得最小值． 故為了使全程運輸成本最小，輪船應(yīng)以35海里/時的速度行駛． 【答案】　35 4．如圖1-4-7，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在

13、拋物線上運動，C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是__________． 圖1-4-7 【解析】　設(shè)CD＝x，則點C的坐標(biāo)為， 點B的坐標(biāo)為， ∴矩形ABCD的面積 S＝f(x)＝x· ＝－＋x，x∈(0,2)． 由f′(x)＝－x2＋1＝0， 得x1＝－(舍)，x2＝， 當(dāng)x∈時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x∈時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減， 故當(dāng)x＝時，f(x)取最大值. 【答案】　 5．(2016·廣州高二檢測)如圖1-4-8所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海的同側(cè)，乙廠位于離海岸40 km的B處，乙廠到

14、海岸的垂足D與A相距50 km.兩廠要在此岸邊A，D之間合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，則供水站C建在何處才能使水管費用最省？ 圖1-4-8 【解】　設(shè)C點距D點x km，則AC＝50－x(km)， 所以BC＝＝(km)． 又設(shè)總的水管費用為y元， 依題意，得y＝3a(50－x)＋5a(0