2018年高考數(shù)學二輪復習 專題07 三角恒等變換與解三角形講學案 文

《2018年高考數(shù)學二輪復習 專題07 三角恒等變換與解三角形講學案 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018年高考數(shù)學二輪復習 專題07 三角恒等變換與解三角形講學案 文（45頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題07 三角恒等變換與解三角形 和差角公式、二倍角公式是高考的熱點，常與三角函數(shù)式的求值、化簡交匯命題．既有選擇題、填空題，又有解答題，難度適中，主要考查公式的靈活運用及三角恒等變換能力． 1．和差角公式 (1)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ； (2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ； (3)tan(α±β)＝. 2．倍角公式 (1)sin2α＝2sinαcosα； (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3) tan2α＝. 3．半角公式 (1)sin＝±； (2)cos

2、＝±； (3)tan＝±； (4)tan＝＝. 4．正弦定理 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 6．面積公式 S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC. 7．解三角形 (1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解； (2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一，需討論； (3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解； (4)已知三邊，利用余弦定理求解． 8．“變”是解決三角問題的主題，變角、變名、變表

3、達形式、變換次數(shù)等比比皆是，強化變換意識，抓住萬變不離其宗——即公式不變，方法不變，要通過分析、歸類把握其規(guī)律. 考點一　三角恒等變換及求值 例1、【2017山東，文7】函數(shù) 最小正周期為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為,所以其周期,故選C 【變式探究】(1)(2016·高考全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. 【答案】－ ∴θ＝α－， ∴tan＝tan＝－tan. 如圖，在Rt△ACB中，不妨設∠A＝α，由sin α＝可得， BC＝3，AB＝5，AC＝

4、4， ∴∠B＝－α，∴tan B＝， ∴tan＝－tan B＝－. (2)(2016·高考全國卷Ⅲ)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C．1 D. 【答案】A (3)設α∈，β∈，且tan α＝，則(　　) A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 【答案】C 【解析】通解：由tan α＝得＝，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin，所以sin(α－β)＝sin，又因為α∈，β∈，所以－＜α－β＜，0＜－α＜

5、，因為α－β＝－α，所以2α－β＝，故選C. 【方法規(guī)律】1．三角函數(shù)恒等變換“四大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)項的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍公式降冪； (4)弦、切互化：切化弦，弦化切，減少函數(shù)種類． 2．解決條件求值問題的三個關注點 (1)分析已知角和未知角之間的關系，正確地用已知角來表示未知角． (2)正確地運用有關公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示．

6、(3)求解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結合角的取值范圍，求出角的大小． 【變式探究】已知sin＝，cos 2α＝，則sin α等于(　　) A. B．－ C．－ D. 考點二　正、余弦定理的簡單應用 例2、【2017課標3，文15】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________. 【答案】75° 【解析】由題意： ，即 ，結合 可得 ，則. 【變式探究】(1)(2016·高考全國卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則sin A＝(　　) A. B.

7、C. D. 【答案】D 【解析】通解：設BC邊上的高為AD，則BC＝3AD，DC＝2AD，所以AC＝＝AD.由正弦定理，知＝，即＝，解得sin A＝，故選D. 優(yōu)解：設出BC長度求邊，用正弦定理求sin A. 設BC＝3，則高AD＝BD＝1，DC＝2. ∴AC＝， ∴sin A＝＝. (2)已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為________． 【答案】 形時，S＝×22×sin 60°＝. 【方法技巧】 1．解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二

8、次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則考慮兩個定理都有可能用到． 2．關于解三角形問題，一般要用到三角形的內角和定理，正弦、余弦定理及有關三角形的性質，常見的三角恒等變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結構”． 【變式探究】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，且c＝，C＝，則△ABC的面積是(　　) A. B. C. D.或 考點三　正余弦定理的綜合應用 例3、【2017課標1，文11】△ABC的內角A

9、、B、C的對邊分別為a、b、c。已知，a=2，c=，則C= A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意得 ， 即，所以． 由正弦定理得，即， 因為c

10、 Acos B，因為tan Atan B＝1－，所以A，B≠，兩邊同時除以cos Acos B，得到tan A＋tan B＝－3，因為tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，tan(A＋B)＝＝＝－，所以tan C＝ 【方法規(guī)律】 1．注意利用第(1)問的結果：在題設條件下，如果第(1)問的結果第(2)問能用得上，可以直接用，有些題目不用第(1)問的結果甚至無法解決，如本題即是在第(1)問的基礎上求解． 2．寫全得分關鍵：在三角函數(shù)及解三角形類解答題中，應注意解題中的關鍵點，有則給分，無則不得分，所以在解答題時一定要寫清得分關鍵點，如第(1)問中，沒有將正弦定理表示出來的過

11、程，則不得分；第(2)問中沒有將面積表示出來則不得分，只有將面積轉化為得分點⑦才得分． 【變式探究】在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,2acos C＋2ccos A＝a＋c. (1)若＝，求的值； (2)若C＝，且c－a＝8，求△ABC的面積S. 解：(1)∵2acos C＋2ccos A＝a＋c 由正弦定理：2sin Acos C＋2sin Ccos A＝sin A＋sin C ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)＝2sin(π－B)＝2sin B ∴a＋c＝2b　① ∵＝，∴＝　② 由①②得：＝. (2)∵c－a＝8，a＋c＝2b， ∴b＝a

12、＋4，c＝a＋8， ∵C＝. 由余弦定理得：(a＋8)2＝a2＋(a＋4)2－2a·(a＋4)cos， 解得：a＝6，∴b＝10. 所以S＝absin C＝×6×10×＝15. 考點四　三角形的交匯問題 例4、已知向量m＝(sin x，－1)，n＝，函數(shù)f(x)＝(m＋n)·m (1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)g(x)的圖象，在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若a＝3，g＝，sin B＝cos A，求b的值． ∴cos A＝±， ∵在△ABC中，sin B＝cos A＞0，∴sin B＝. 由正弦定

13、理：＝， ∴b＝＝＝3. 【方法規(guī)律】三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學的兩個重要分支，內容繁雜，且平面向量與三角函數(shù)交匯點較多，向量的平行、垂直 、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數(shù)的交匯試題，都會出現(xiàn)交匯問題中的難點，對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件轉化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”，再利用三角函數(shù)的相關知識進行求解. 【變式探究】在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(2sin(A＋C)，)，向量n＝，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)若sin Asin C＝sin2B，求a－c的值． 1.【2

14、017課標1，文11】△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知，a=2，c=，則C= A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意得 ， 即，所以． 由正弦定理得，即， 因為c

15、，則=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 所以選A. 5. 【2017山東，文4】已知,則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得,故選D. 5.【2017山東，文7】函數(shù) 最小正周期為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為,所以其周期,故選C. 7.【2017浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．?點D為AB延長線上一點，BD=2，連結CD，則△BDC的面積是______，co

16、s∠BDC=_______． 【答案】 綜上可得，△BCD面積為，． 8.【2017北京，文9】在平面直角坐標系xOy中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱. 若sin=，則sin=_________． 【答案】 【解析】因為角與角的終邊關于軸對稱，所以，所以. 9.【2017課標3，文15】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________. 【答案】75° 【解析】由題意： ，即 ，結合 可得 ，則. 1.【2016高考新課標2文數(shù)】若，則（ ） （A） （B）

17、 （C） （D） 【答案】D 2.【2016高考新課標3文數(shù)】若 ，則（ ） (A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A 【解析】 由，得或，所以，故選A． 3.【2016年高考四川文數(shù)】= . 【答案】 【解析】由二倍角公式得 1.【2016高考新課標3文數(shù)】在中，，邊上的高等于,則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 2.【2016高考新課標2文數(shù)】的內

18、角的對邊分別為，若，，，則 ． 【答案】 【解析】因為，且為三角形的內角，所以，，又因為，所以. 3.【2016高考天津文數(shù)】在△ABC中，若,BC=3， ,則AC= （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】A 【解析】由余弦定理得,選A. 4.【2016高考江蘇卷】在銳角三角形中，若，則的最小值是 ▲ . 【答案】8. 【解析】，又，因即最小值為8. 1.【2016年高考四川文數(shù)】（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且. （I）證明：； （II）若，求. 【答案】（Ⅰ）證

19、明詳見解析；（Ⅱ）4. 【解析】 所以sin A==． 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B， 所以sin B=cos B+sin B， 故tan B==4． 2.【2016高考浙江文數(shù)】（本題滿分14分）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 已知b+c=2a cos B. （I）證明：A=2B； （II）若△ABC的面積，求角A的大小. 【答案】（I）證明見解析；（II）或． 【解析】 3.【2016高考山東文數(shù)】（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （Ⅰ）證明

20、：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 【解析】 【2015高考四川，文12】 . 【答案】. 【解析】法一、. 法二、. 法三、. 【2015高考浙江，文11】函數(shù)的最小正周期是 ，單調遞減區(qū)間是 ． 【答案】，，. 【解析】，故最小正周期為，單調遞減區(qū)間為 ，. 【2015高考天津，文15】（本小題滿分13分）已知函數(shù)， (I)求最小正周期； (II)求在區(qū)間上的最大值和最小值. 【答案】(I); (II) ,. . 【2015高考重慶，文18】 已知函數(shù) （1）求的最小

21、正周期和最大值； （2）討論在上的單調性. 【答案】（1）最小正周期為，最大值為；（2）在上單調遞增；在上單調遞減. 【解析】 （1） , 【2015高考上海，文14】在銳角三角形中，，為邊上的點，與的面積分別為和．過作于，于，則 ． 【答案】 【解析】由題意得：，又,因為DEAF四點共圓，因此 【2015高考廣東，文11】設的內角，，的對邊分別為，，，若， ，，則 . 【答案】． 【解析】因為且，所以或，又，所以，，又，由正弦定理得即解得，故應填入． 【2015高考湖北，文12】

22、函數(shù)的零點個數(shù)為 ． 【答案】2 【2015高考湖北，文13】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 【答案】 【解析】依題意，，，在中，由， 所以，因為，由正弦定理可得，即m， 在中，因為，，所以，所以m． 【2015高考重慶，文13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_______. 【答案】 【解析】由正弦定理得，即，解得，，從而，所以，. 【2015高考福建，文12】若

23、銳角的面積為 ，且 ，則 等于________． 【答案】7 【2015高考新課標2，文17】（本題滿分12分） 中，是上的點，平分，面積是面積的2倍． (Ⅰ) 求； (Ⅱ)若，，求和的長． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． 【解析】(Ⅰ)，，因為，，所以．由正弦定理可得．(Ⅱ)因為，所以．在和中，由余弦定理得 ，． ．由(Ⅰ)知，所以． 【2015高考浙江，文16】在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，=. （1）求的值； （2）若的面積為7，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【2015高考安徽，文16】在中，,點D在邊上，，求的長. 【答案】

24、 【解析】如圖， 設的內角所對邊的長分別是，由余弦定理得 ， 所以. 又由正弦定理得. 由題設知，所以. 在中，由正弦定理得. 【2015高考陜西，文17】（本小題滿分12分）的內角，，所對的邊分別為，，．向量與平行． （I）求； （II）若，求的面積． 【答案】（I）；（II）． 【解析】 又由，知，所以. 故 所以的面積為. 1. 【2014高考江蘇卷第14題】 若的內角滿足，則的最小值是 . 【答案】 【解析】由已知及正弦定理可得， ，當且僅當即時等號成立． 【考點】正弦定理與余弦定理． 2. 【2014全國1高考文第

25、16題】已知分別為三個內角的對邊，，且，則面積的最大值為____________． 【答案】 【考點定位】正弦定理和余弦定理、三角形的面積公式． 3. 【2014全國2高考文第4題】鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC= ，則AC=( ) A. 5 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【考點定位】余弦定理及三角形的面積公式、解三角形 4. 【2014山東高考文第12題】在中，已知，當時，的面積為________. 【答案】 【解析】由得，， 所以，. 【考點定位】 三角形的面積. 5. 【2

26、014高考廣東卷文第12題】在中，角、、所對應的邊分別為、、，已知，則 . 【答案】. 【解析】，由邊角互化得， 即，即，所以. 【考點定位】正弦定理中的邊角互化思想的應用以及兩角和的三角函數(shù)， 6. 【2014全國1高考文第8題】設且則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【考點定位】和角的正弦公式、同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式． 7. 【2014高考福建卷第12題】在中，,則的面積等于_________. 【答案】 【解析】由正弦定理可得.所以的面積等于. 【考點定位】正弦定理、三角形的面積. 8. 【2014江西高考

27、文第4題】在中，內角A,B,C所對應的邊分別為，若則的面積（ ） A.3 B. C. D. 【答案】C 【解析】因為所以由余弦定理得：，即，因此的面積為選C. 【考點定位】余弦定理 9. 【2014四川高考文第13題】如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時氣球的高是，則河流的寬度BC約等于 .（用四舍五入法將結果精確到個位.參考數(shù)據(jù)：，，，，） 【答案】60 【解析】 ，，. 【考點定位】解三角形. 10. 【2014浙江高考文第17題】如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進行射擊訓練.已

28、知點到墻面的距離為，某目標點沿墻面的射擊線移動，此人為了準確瞄準目標點，需計算由點觀察點的仰角的大小.若則的最大值 . 【答案】 ，令得，，代入得，，故的最大值為． 【考點定位】解三角形,求最值. 11．【2014重慶高考文第10題】 已知的內角，面積滿足 所對的邊，則下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【考點定位】兩角和與差的三角函數(shù)、正弦定理、三角形的面積公式. 12. 【2014天津高考文第12題】在中，內角所對的邊分別是．已知，，則的值為_______． 【答案】．

29、 【解析】∵代入得，由余弦定理得． 【考點定位】正弦定理、余弦定理的推論． 13. 【2014大綱高考文第3題】設則 （ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】故選C． 【考點定位】三角函數(shù)基本關系式 14. 【2014高考安徽卷第16題】（本小題滿分12分）設的內角所對邊的長分別是，且 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【考點定位】正、余弦定理、三角函數(shù)恒等變形. 15. 【2014高考北京文第15題】如圖，在中，，點在邊上，且，. （1）求； （2）求，的長. 【答案】（1）；（2）7.

30、 【考點定位】同角三角函數(shù)的關系，兩個角的差的正弦公式，正弦定理與余弦定理. 16. 【2014高考福建文第16題】已知函數(shù). （1） 若，且，求的值； （2） 求函數(shù)的最小正周期及單調遞增區(qū)間. 【答案】(1) ;(2) , 【解析】 (1)因為所以.所以 (2)因為 ,所以.由得.所以的單調遞增區(qū)間為. 【考點定位】1.三角函數(shù)的性質.2.三角的恒等變形. 17. 【2014高考廣東文第16題】已知函數(shù)，，且. （1）求的值； （2）若，，求. 【答案】（1）；（2）. ， ，，則， . 【考點定位】本題考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系以及兩角

31、和的三角函數(shù) 18. 【2014高考湖北文第17題】某實驗室一天的溫度（單位：）隨時間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)關系； . （1）求實驗室這一天的最大溫差； （2）若要求實驗室溫度不高于11，則在哪段時間實驗室需要降溫？ 【答案】（1）4；（2）在10時至18時實驗室需要降溫. 【考點定位】兩個角的和的正弦公式、三角不等式的解法. 19. 【2014高考湖南文第18題】如圖5,在平面四邊形中,. (1)求的值; (2)若,,求的長. 【答案】(1) (2) 【解析】 且,再由正弦的和差角公式可得 ,再由的正弦定理可得 . 【考點定位】三角形正余弦定理

32、、正余弦之間的關系與和差角公式 20. 【2014高考江蘇第15題】已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【考點】三角函數(shù)的基本關系式、二倍角公式、兩角和與差的正弦、余弦公式． 21. 【2014高考遼寧文第17題】在中，內角A，B，C的對邊a，b，c，且，已知，，，求： （1）a和c的值； （2）的值. 【答案】（1）a=3，c=2；（2）. 【解析】（1）由得，，又，所以ac=6. 由余弦定理，得. 又b=3，所以. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2. 因為a>c,∴ a=3，c=2. （2）在中， 由正弦定理

33、，得，又因為，所以C為銳角，因此. 于是=. 【考點定位】解三角形、三角恒等變換. 22. 【2014高考山東卷第16題】已知向量，，設函數(shù)，且的圖象過點和點. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）將的圖象向左平移（）個單位后得到函數(shù)的圖象.若的圖象上各最高點到點的距離的最小值為1，求的單調增區(qū)間. 【答案】（I）. （II）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為. 【解析】 解得. 【考點定位】平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的圖象和性質. 23. 【2014高考四川第16題】已知函數(shù). （1）求的單調遞增區(qū)間； （2）若是第二象限角，，求的值. 【答案】（1）；（2）,.

34、【解析】 （1）； （2）由題設得：， 即，. 若，則， 若，則. 【考點定位】三角函數(shù)的性質、三角恒等變換三角函數(shù)的求值. 24.【2014高考浙江文第18題】在中，內角所對的邊分別為.已知， （I）求角的大?。? （II）若，求的面積. 【答案】（1）；（2）． ，所以； （2）由，，得，由，得，從而，故，所以的面積為． 【考點定位】誘導公式，、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式 25.【2014高考重慶文科第17題】已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，且圖像上相鄰兩個最高點的距離為. （I）求和的值； （II）若，求的值.

35、 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，所以的最小正周期，從而. 【考點定位】誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系、兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的圖象和性質. 1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，則tan 2α＝(　　) A．－ B. C．－或0 D.或0 【答案】D 【解析】基本法：∵， ∴或 ∴tan 2α＝0或tan 2α＝. 2．若tan α＝2tan，則＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】基本法：＝ ＝＝ ＝， ∵tan α＝2tan，∴＝＝3.故選C. 3．

36、已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，則sin α的值為(　　)(導學號 55460112) A. B. C. D.或 【答案】A 【解析】依題意得sinβ＝，cos β＝.注意到sin(α＋β)＝(否則，若α＋β≤，則有0<β<α＋β≤，0

37、C．2π　　　D． 4π 【答案】B 【解析】∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π. 5．已知tan(3π－α)＝－，tan(β－α)＝－，則tan β＝________. 【答案】 【解析】基本法：依題意得tan α＝， 又tan(β－α)＝－， ∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝. 6．已知sin α＋2cos α＝0，則2sin αcos α－cos2α的值是________． 【答案】－1 【解析】基本法：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2. ∴2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝＝－1.

38、 7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)·sin C，則A＝________． 【答案】120° 8.如圖，山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120°；從B處攀登400米到達D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ADC＝150°；從D處再攀登800米方到達C處，則索道AC的長為________米． 【答案】400 (400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×1 3，解得AC＝400(米)．故索道AC的長為40

39、0米． 9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋. (1)證明：a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值． (1)證明：由題意知2＝＋ ， 化簡得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B， 即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B. ∵A＋B＋C＝π， ∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 從而sin A＋sin B＝2sin C， 由正弦定理得a＋b＝2c. (2)解：由(1)知c＝，[ ∴cos C＝＝＝ －≥， 當且僅當a＝b時，等號成立， 故cos C的最小值為. 45