2018年高考數學 常見題型解法歸納反饋訓練 第79講 圓錐曲線中的定點和定值問題的解法

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1、 第79講 圓錐曲線中的定點和定值問題的解法 【知識要點】 一、 定點問題：對滿足一定條件曲線上兩點連結所得直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點問題， 證明直線過定點，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數法：一般可以根據需要選定參數，結合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數得到等式，（一般地，為關于的二元一次關系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點. 二、定值問題：在幾何問題中，有些幾何量與參數無關，這就構成了定值問題，定值問題的處

2、理常見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接求題目給定的對象的值，證明其結果是一個常數. 【方法講評】 題型一 定點問題 方法一 特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明 該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立）. 方法二 分離參數法：若等式對恒成立，則同時成立，運用這一原理，可以證明直線或曲線過定點問題.一般可以根據需要選定參數，結合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數得到等式，（一般地，為關于的二元一次關系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點. 【例1】 設點和是拋物線上原點以外的兩個動點，且

3、，求證直 線過定點. 【解析一】取寫出直線的方程；再取寫出直線的方程；最后求出兩條直線的交點，得交點為. 設，直線的方程為， 由題意得兩式相減得 ，即， 直線的方程為，整理得 ① 【點評】（1）證明直線過定點，一般有兩種方法.方法一：特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線 或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立）.方法二：分離參數法：若等式對恒成立，則同時成立，運用這一原理，可以證明直線或曲線過定點問題.一般可以根據需要選定參數，結合已知條件求出直線或

4、曲線的方程，分離參數得到等式，（一般地，為關于的二元一次關系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點.（2）解析一使用的就是方法一，解析二使用的就是方法二. 大家注意靈活選擇. 【反饋檢測1】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為． （Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標． 【反饋檢測2】在直角坐標系中,橢圓 的離心率,且過點,橢圓的長軸的兩端點為,點為橢圓上異于的動點,定直線與直線、分別交于兩點. （1）求橢圓的方程；

5、 （2）在軸上是否存在定點經過以為直徑的圓,若存在,求定點坐標；若不存在,說明理由. 題型二 定值問題 方法一 特殊探究，一般證明. 方法二 直接求題目給定的對象的值，證明其結果是一個常數. 【例2】過拋物線：（＞0）的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段與的長分別為，則的值必等于（ ）． A． B． C． D． 又由，消去得 ∴， 【點評】定值問題的處理常見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接

6、求題目給定的對象的值，證明其結果是一個常數. 【反饋檢測3】橢圓的離心率為，且過點． （1）求橢圓的方程； （2）若分別是橢圓的左、右頂點，動點滿足，且交橢圓于不同于的點，求證：為定值． 【反饋檢測4】如圖，為橢圓的左右焦點，是橢圓的兩個頂點，，，若點在橢圓上，則點稱為點的一個“橢點”.直線與橢圓交于兩點，兩點的“橢點”分別為，已知以為直徑的圓經過坐標原點. （1）求橢圓的標準方程； （2）試探討的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由. 高中數學常見題型解法歸納及反饋檢測第79講： 圓錐曲線中的定點和定值問

7、題的解法參考答案 【反饋檢測1答案】（1）；（2）直線過定點，定點坐標為． （Ⅱ）設，， 聯立 得， 又， 因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點， ，即， ， ， ． 【反饋檢測2答案】(1)；(2)存在，. 【反饋檢測2詳細解析】（1）,橢圓的方程為. （2）設、的斜率分別為.即, 由知, 由知,的中點. 以為直徑的圓的方程為, 令, ,即,解得或, 存在定點經過以為直徑的圓. 【反饋檢測3答案】（1）（2） 【反饋檢測4答案】（1）；（2）的面積為定值1. 【反饋檢測4詳細解析】（1）由題可得解得，故橢圓的標準方程為. （2）設，，則，.由，即.（*） ①當直線的斜率不存在時，. ②當直線的斜率存在時，設其直線為，聯立得 ，則，，同理，代入（*），整理得，此時，，∴. 綜上，的面積為定值1. 10