高考數(shù)學總復習（整合考點+典例精析+深化理解）第六章 第四節(jié)基本不等式≤(ab∈R＋ )課件 理

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1、第四節(jié)第四節(jié) 基本不等式：基本不等式： (a，bR)第六章第六章【例1】若ab1，P ，Q (ln a ln b)，Rln ，試比較P，Q，R的大小利用基本不等式比較數(shù)(或式)的大小自主解答：解析：ab1，ln aln b0，點評：如果兩個數(shù)(式)的關系符合基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，則可以用基本不等式比較大小，如果兩個數(shù)(式)的關系通過變形可以變成基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，則可以用基本不等式比較大小1已知ma (a2)，n x22(x0)，則m，n之間的大小關系是()Amn Bm2，xn.故選A.答案：A利用基本不等式判定不等式的正誤【例2】給出以下四個不等式：(ab)24ab(a，bR)；|a| 4

2、；sin x其中正確的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析：(ab)2a2b22ab2ab2ab4ab，正確錯誤當sin x 時，sin x2，顯然等號取不到，事實上，設tsin x，則t(0,1，yt 在(0,1上為減函數(shù)，故當t1時，y取最小值5，錯誤故選B.答案：B點評：利用基本不等式判斷一個不等式的正誤，主要看該不等式是否滿足基本不等式成立的條件 變式探究變式探究2“ab0”是“ab ”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：a2b22ab中參數(shù)的取值不只是可以取正數(shù)均值不等式 才需滿足a0，b0.故選A.答案：A【例3】(1)(2012蚌埠質(zhì)檢)

3、已知正項等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項am，an使得 ，則的最小值為()A1 B3C9 D不存在利用最值定理求最值(2)已知a0，b0，abab8，則ab的最小值是_思路點撥：思路點撥：對于(1)，根據(jù)等比數(shù)列所給的等式，找出m，n的關系mn3，將所找的關系與 結(jié)合，再用基本不等式求最值，關鍵的一步是對于(2)，由基本不等式將已知等式變成不等式關系，再用解二次不等式的方法求解解析：(1)設等比數(shù)列的公比為q，則由a7a62a5得q2q2，解得q2(舍去負值q1)，amanaqmn22a，得2mn22.mn3.故選B.答案：(1)B(2)4點評：在使用基本不等式求最值時，一定要注意其

4、中的等號能不能成立，是否符合使用基本不等式的條件如果根據(jù)限制條件等號不能成立，則應該通過其他方法解決(如函數(shù)、導數(shù)等)使用基本不等式求最值，其基本的技巧是變換，通過變換出現(xiàn)兩式之和為常數(shù)或者兩式之積為常數(shù)，達到使用基本不等式的目的使用基本不等式求最值時，要注意三個條件，即“一正、二定、三相等”變式探究變式探究3(1)設a0，b0.若 是3a與3b的等比中項，則的最小值為_(2)已知x，yR，且滿足 1，則xy的最大值為_解析：(1)由題有()23a3bab1，又a0，b0，(2)因為x0，y0，所以 可化為4x3y12， 所以(4x)(3y) 236(當且僅當4x3y時等號成立)，即12xy3

5、6，所以xy3.所以xy的最大值為3.答案：(1)4(2)3利用基本不等式證明其他不等式【例4】若x0，y0，xy1，求證： 9.思路點撥：思路點撥：本題要求根據(jù)條件求最值，xy為常數(shù)，xy可有最大值，如何合理利用條件xy1是解答本題的關鍵，可在要求的式子上乘以(xy)，也可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角問題. 點評：利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題變式探究4已知a0，b0且ab1.求證： 原不等式成立基本不等式的實際應用【例5】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋

6、的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系： 若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元設f為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值解析：(1)設隔熱層厚度為x cm，由題設，每年能源消耗費用為C(x) ，再由C(0)8，得k40，因此C(x)而建造費用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)20C(x)C1(x)20(2)由(1)知f(x)

7、 6x(0 x10)，10801070，當且僅當 2(3x5)時，等號成立，即(3x5)2400,3x520，x5或x (舍去)時，上式中的等號成立，即f(x)min70(萬元)，當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小，最小值為70萬元點評：(1)解實際應用題的基本思路是：設變量時一般把要求的變量定義為函數(shù)；根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解(2)利用基本不等式解決實際問題的關鍵是使用變量表示求解目標，可以建立一個變量的函數(shù)關系，也可以建立滿足一定條件的二元函數(shù)關系變式探究5.(20

8、13三明模擬)某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計劃建一個正八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200 m2的十字型區(qū)域現(xiàn)計劃在正方形MNPQ上建一花壇，造價為4 200 元/m2，在四個相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價為210 元/m2，再在四個空角上鋪草坪，造價為80 元/m2.(1)設總造價為S元，AD的長為xm，試建立S關于x的函數(shù)關系式；(2)計劃至少投入多少元，才能建造這個休閑小區(qū)解析：(1)設DQy，則x24xy200，y S4 200 x22104xy804 y238 0004 000 x2 (0 x10)當且僅當4 000 x2 即x 或x (舍去)時，Smin118 000(元)，即計劃至少要投入11.8萬元才能建造這個休閑小區(qū)