高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第八節(jié)無(wú)窮小的比較

第八節(jié) 無(wú)窮小的比較分布圖示 無(wú)窮小的比較 例1-2 例3 常用等價(jià)無(wú)窮小 例4 等價(jià)無(wú)窮小替換定理 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例12 等價(jià)無(wú)窮小的充要條件 例13 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1-8 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、無(wú)窮小比較的概念：無(wú)窮小比的極限不同, 反映了無(wú)窮小趨向于零的快慢程度不同.二、常用等價(jià)無(wú)窮小關(guān)系： 三、 關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小的兩個(gè)重要結(jié)論：定理1 設(shè)且，存在, 則定理2 與是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件是例題選講無(wú)窮小比較概念的應(yīng)用例1 (E01) 證明: 當(dāng)時(shí), 為x的四階無(wú)窮小.解 故當(dāng)時(shí)，為的四階無(wú)窮小.例2 (E02) 當(dāng)時(shí), 求關(guān)于x的階數(shù).解 當(dāng)時(shí)，為的三階無(wú)窮小. 例3 當(dāng)時(shí)，將下列各量與無(wú)窮小量進(jìn)行比較.（1） （2） （3）解 (1) 因?yàn)樗詴r(shí)，是無(wú)窮小量，又因?yàn)樗允潜容^高階的無(wú)窮小量.(2) 因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，又所以是關(guān)于的同階無(wú)窮小量.(3) 由知當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，但是不存在. 所以，與不能比較.例4 (E03) 證明證 令則且時(shí)，因此即有等價(jià)關(guān)系 上述證明同時(shí)也證明了等價(jià)關(guān)系 例5 求極限解 由于. 另外，當(dāng)時(shí)，則因數(shù)列極限可視為函數(shù)極限的子列，故可得例6 (E04) 求 .解 當(dāng)時(shí)，故例7 (E05) 求 錯(cuò)解 當(dāng)時(shí)， 原式正解 當(dāng)時(shí)，故例8 求 解 當(dāng)時(shí)，故例9 (E06) 求 .解 由于時(shí)，故例10 計(jì)算 解 注意到當(dāng)時(shí)，所以例11 計(jì)算 解 原式例12 求 解 先用對(duì)數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)分子，得原式因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有所以原式例13 (E07) 求 . 解 原式 課堂練習(xí)1. 求極限 .2. 任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較嗎?