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1、第九章 直線、平面、簡單幾何體 第第1111課時課時 多面體與球多面體與球一、多面體一、多面體(1)若干個平面多邊形圍成的幾何體，叫若干個平面多邊形圍成的幾何體，叫多面體多面體.(2)把多面體的任何一面伸展為平面，如果所有其他各把多面體的任何一面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個平面的同側(cè)，這樣的多面體叫面都在這個平面的同側(cè)，這樣的多面體叫凸多面體凸多面體.(3)每個面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個頂點每個面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個頂點為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫正多面體正多面體.1. 1. 概念概念(1)設(shè)簡單多面體的頂點數(shù)為設(shè)
2、簡單多面體的頂點數(shù)為V，面數(shù)為，面數(shù)為F，棱數(shù)為，棱數(shù)為E， 則它們的關(guān)系為則它們的關(guān)系為 V+F-E=2 2.2. 歐拉公式歐拉公式(2)設(shè)正多面體每個面是正設(shè)正多面體每個面是正n邊形，每個頂點有邊形，每個頂點有m條棱，頂點數(shù)為條棱，頂點數(shù)為V，面數(shù)為，面數(shù)為F，則棱數(shù)，則棱數(shù)或或2mVE 2nFE 二、球二、球(1)半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球面，半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球面， 球面圍成的幾何體叫球面圍成的幾何體叫球體球體.(2)球面也可看成是與定點球面也可看成是與定點(球心球心)距離等于定長距離等于定長(半徑半徑)的的 所有點的集合所有點的集合. 1. 1.
3、 概念概念2.2.性質(zhì)性質(zhì)(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面；球心和截面圓心的連線垂直于截面；(2)球心到截面的距離球心到截面的距離d與球的半徑與球的半徑R及截面半徑及截面半徑r有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：22dRr3.3.球面距離球面距離4.4.表面積與體積表面積與體積32344RVRS， 為為A、B對球心的張角，對球心的張角，R為球半徑為球半徑.).)RABA1.一個四面體的所有棱長都為一個四面體的所有棱長都為2，四個頂點在同一球面，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為上，則此球的表面積為 ( ) (A) (B) (C) (D)346332.地球表面上從地球表面上從A地地(北緯北緯45，東
4、經(jīng)，東經(jīng)120)到到B地地(北緯北緯45,東經(jīng)東經(jīng)30)的最短距離為的最短距離為(地球半徑為地球半徑為R) ( )(A)R (B) (C) (D)R3R2RC3.在北緯在北緯45o的圈上有甲、乙、丙三地，甲乙、乙丙之間的圈上有甲、乙、丙三地，甲乙、乙丙之間的經(jīng)度差都是的經(jīng)度差都是90o，則甲丙兩地的球面距離是甲乙兩地球，則甲丙兩地的球面距離是甲乙兩地球面距離的面距離的 _倍倍 23C4.球的表面積膨脹為原來的球的表面積膨脹為原來的 2 倍，膨脹后的體積為原來的倍，膨脹后的體積為原來的 （ ）A. 2倍倍 B.2倍倍 C.22倍倍 D.4倍倍5.棱長為棱長為2的正四面體的體積為的正四面體的體積為
5、_3226.設(shè)設(shè)P、A、B、C是球是球O面上的四點，且面上的四點，且PA、PB、PC兩兩兩兩互相垂直，若互相垂直，若PA=PB=PC=a, 則球心則球心O到截面到截面ABC的距離的距離是是_a637.求正八面體每相鄰兩個面所成二面角的大小。求正八面體每相鄰兩個面所成二面角的大小。ABCFDE解：如圖，設(shè)棱長為解：如圖，設(shè)棱長為 a，AE中點為中點為F， 連接連接BF、DF， ABE，ADE是正三角形，是正三角形， BFAE，DFAE, BFD是二面角是二面角B-AE-D的平面角，的平面角， BDF中，中，BF=DE= , a23BD= ,)(aaa222222312112)DFBD(DF2BF
6、BDDFBFcos222BFD31arccosBFD所求二面角為所求二面角為- arccos 318. 三棱錐三棱錐A-BCD的兩條棱的兩條棱AB=CD=6,其余各棱長均為其余各棱長均為5，求求 三棱錐的內(nèi)切球半徑三棱錐的內(nèi)切球半徑.EDCBA解：取解：取CD的中點的中點E，連接，連接AE，BE，由由CDAE，CDBE，得得CD平面平面ABE又又AD=5,DE=3，得，得AE=BE=4，故故ABE的面積為的面積為37于是，于是，VA-BCD=VC-ABE+VD-ABE7631CDSABE顯然，三棱錐的三個側(cè)面全等，各側(cè)面的面積為顯然，三棱錐的三個側(cè)面全等，各側(cè)面的面積為12，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半
7、徑為設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為 r，則，則VA-BCD= (SABC+SBCD+SCDA+SDAB)r31= 48r =16r 31由由16r=67 得內(nèi)切球的半徑為得內(nèi)切球的半徑為 873r【解題回顧【解題回顧】正如三角形的內(nèi)切圓經(jīng)常與面積發(fā)生關(guān)正如三角形的內(nèi)切圓經(jīng)常與面積發(fā)生關(guān)系一樣，多面體的內(nèi)切球的半徑也常與體積發(fā)生聯(lián)系系一樣，多面體的內(nèi)切球的半徑也常與體積發(fā)生聯(lián)系.9.在球內(nèi)有相距在球內(nèi)有相距14cm 的兩個平行截面，它們的面積分別是的兩個平行截面，它們的面積分別是 64cm2 和和 36cm2，求球的表面積。，求球的表面積。.解：設(shè)球半徑為解：設(shè)球半徑為R，（1）當截面在球心同側(cè)，如圖（）當截面在球心同側(cè)，如圖（1）（1）則有則有R2- -36- -R2- -64=14 而此方程無解，故截面在球心的同而此方程無解，故截面在球心的同側(cè)側(cè)不可能。不可能。（2）當截面在球心異側(cè)，如圖（）當截面在球心異側(cè)，如圖（2）（2）則有則有R2- -36 + +R2- -64=14解得解得 R=10 S球面球面=4R2=400(cm)2
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