高三數(shù)學一輪復習 109 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布課件 (理) 新人教A版

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1、第九節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布1.理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念2能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題3利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)分布的特點及曲線所表示的意義1離散型隨機變量的均值與方差(1)均值若離散型隨機變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則的數(shù)學期望(或平均數(shù)、均值,簡稱期望)為Ex1p1x2p2xnpn它反映了離散型隨機變量取值的平均水平(2)方差如果離散型隨機變量所有可能取的值是x1,x2,xn,且取這些值的概率分別是p1,p2,pn,那么D()(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn叫做的方差隨機變量的方差與標準

2、差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度(標準差與隨機變量本身有相同的單位)(3)若服從二項分布,即B(n,p),則Enp,Dnp(1p)兩點分布,則Ep,Dp(1p)2均值、方差的性質及應用(1)ECC(C為常數(shù));(2)E(ab)aEb(a、b為常數(shù));(3)D(ab)a2D.3正態(tài)分布(1)函數(shù)(2)正態(tài)總體幾乎總取值于區(qū)間(3,3)之內(nèi),而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生1設隨機變量B(n,p),且E1.6,D1.28,則()An8,p0.2 Bn4,p0.4Cn5,p0.32 Dn7,p0.45答案:A 2如果是離散型隨機

3、變量,32,那么()AE3E2,D9DBE3E,D3D2CE3E2,D9E4DE3E4,D3D2答案:A解析:E2,E(21)2E1 5.答案:D4一個均勻小正方體的六個面中,三個面上標以數(shù)0,兩個面上標以數(shù)1,一個面上標以數(shù)2.將這個小正方體拋擲2次,則向上的數(shù)之積的數(shù)學期望_熱點之一熱點之一求離散型隨機變量的期望與方差 求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟:1理解X的意義,寫出Y的所有可能取值;2求X取每個值的概率;3寫出X的分布列;4由均值的定義求EX;5由方差的定義求DX.例1袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一個,表示所

4、取球的標號(1)求的分布列、期望和方差;(2)若ab,E1,D11,試求a,b的值(2)由Da2D,得a22.7511,即a2.又EaEb,當a2時,由121.5b,得b2;當a2時,由121.5b,得b4.思維拓展思維拓展在計算離散型隨機變量的期望與方差時,首先要弄清其分布特征,正確求出分布列,這是求均值和方差的前提,然后準確應用公式,特別是充分利用期望和方差的性質解題,善于使用公式E(aXb)aEXb,D(aXb)a2DX,能避免繁瑣的運算過程,提高運算速度和準確度即時訓練 某商場舉行抽獎促銷活動,抽獎規(guī)則是:從裝有9個白球,1個紅球的箱子中每次隨機地摸出1個球,記下顏色后放回,摸出1個紅

5、球可獲得獎金10元;摸出2個紅球可獲得獎金50元,現(xiàn)有甲、乙兩位顧客,規(guī)定:甲摸一次,乙摸兩次,令X表示甲,乙摸球后獲得的獎金總額求:(1)X的概率分布;(2)X的數(shù)學期望解:解:摸球的情形有以下5種:甲1白,乙2白(0元);甲1紅,乙2白或甲1白,乙1紅1白(10元);甲1紅,乙1紅1白(20元);甲1白,乙2紅(50元);甲1紅,乙2紅(60元)(1)X的所有可能的取值為0,10,20,50,60,熱點之二熱點之二期望與方差的性質及應用 利用均值和方差的性質,可以避免復雜的運算常用性質有:(1)ECC(C為常數(shù));(2)E(aXb)aEXb(a,b為常數(shù));(3)E(X1X2)EX1EX2

6、;E(aX1bX2)aE(X1)bE(X2);思維拓展思維拓展1.要掌握簡單的方差與期望計算2公式運用要嚴密準確即時訓練 如果X是離散型隨機變量,EX6,DX0.5,X12X5,那么EX1和DX1分別是()A12,1 B7,1 C12,2 D7,2解析:因為E(aXb)aEXb,D(aXb)a2DX,由已知可得EX17,DX12,應選D.答案:D熱點之三熱點之三與二項分布有關的期望與方差 當隨機變量X服從兩點分布或二項分布時,可不用列出分布列,直接由公式求出EX和DX.思路探究解答該5個問題可以認為是5次獨立重復試驗,答對問題的個數(shù)服從二項分布,求的期望與方差可通過與的線性關系間接求出思維拓展

7、思維拓展(1)當求隨機變量的期望與方差時,可首先分析是否服從二項分布,如果服從,則用公式求解,可大大減少運算量(2)注意利用E(ab)aEb及D(ab)a2D求期望與方差即時訓練 某運動員投籃命中率為p0.6.(1)求一次投籃時命中次數(shù)X的期望與方差;(2)求重復5次投籃時,命中次數(shù)的期望與方差X01P0.40.62要記住正態(tài)變量的取值位于三個區(qū)間內(nèi)的概率值在求解實際問題時,先求出正態(tài)分布的兩個重要參數(shù)和的值,然后結合三個區(qū)間對應的概率值進行解答即時訓練 把一正態(tài)曲線C1沿著橫軸方向向右移動2個單位,得到一條新的曲線C2,下列說法不正確的是()A曲線C2仍是正態(tài)曲線B曲線C1,C2的最高點的縱

8、坐標相等C以曲線C2為概率密度曲線的總體的方差比以曲線C1為概率密度曲線的總體的方差大2D以曲線C2為概率密度曲線的總體的期望比以曲線C1為概率密度曲線的總體的期望大2答案:C本節(jié)是理科高考中的重點內(nèi)容之一,題型以解答題為主,考查隨機變量的概率、分布列、期望和方差等,大多以實際問題為背景,涉及排列組合、互斥事件的概率、相互獨立事件的概率、條件概率等,考查利用所學知識解決實際問題的能力例5(2010全國)如圖,由M到N的電路中有4個元件,分別標為T1,T2,T3,T4,電流能通過T1,T2,T3的概率都是p,電流能通過T4的概率是0.9,電流能否通過各元件相互獨立已知T1,T2,T3中至少有一個

9、能通過電流的概率為0.999.(1)求p;(2)求電流能在M與N之間通過的概率;(3)表示T1,T2,T3,T4中能通過電流的元件個數(shù),求的期望解記Ai表示事件:電流能通過Ti,i1,2,3,4.A表示事件:T1,T2,T3中至少有一個能通過電流B表示事件:電流能在M與N之間通過0.90.10.90.90.10.10.90.90.9891.(3)由于電流能通過各元件的概率都是0.9,且電流能否通過各元件相互獨立,B(4,0.9),E40.93.6.1(2010課標全國)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需再補種2粒,補種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學期望為()A100 B200 C300 D400解析:EX10000.9010000.12200.答案:B2(2010湖北高考)某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下:已知的期望E8.9,則y的值為_ 78910Px0.10.3y答案:0.4

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