《變量與函數(shù)》教案.doc

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對(duì)《變量與函數(shù)》的教學(xué)研究 鄭超予 一．內(nèi)容和內(nèi)容解析 【內(nèi)容】變量與函數(shù)的概念 【內(nèi)容解析】 “14.1變量與函數(shù)”是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)上冊(cè)第十四章第一單元，本設(shè)計(jì)是第1課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)例中抽象出常量、變量與函數(shù)等概念，其中函數(shù)的概念是本節(jié)核心內(nèi)容．函數(shù)概念的核心是兩個(gè)變量間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）由哪一個(gè)變量確定另一個(gè)變量；（2）唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系.如果直接研究某個(gè)量y有一定困難，我們可以去研究另一個(gè)與之有關(guān)的量x，從而達(dá)到研究的目的.這也是一種化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想。 本節(jié)課是函數(shù)入門課，首先必須準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)變量與常量的特征，初步感受到現(xiàn)實(shí)世界各種變量之間聯(lián)系的復(fù)雜性，同時(shí)感受到研究主要從化繁就簡入手，在初中階段主要研究兩個(gè)變量之間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系．本設(shè)計(jì)把重點(diǎn)放在認(rèn)識(shí)“兩個(gè)變量間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系：由哪一個(gè)變量確定另一變量；唯一確定的含義?！?而函數(shù)圖象較為直觀形象，有助于學(xué)生理解函數(shù)的概念，因此把函數(shù)圖象中的部分內(nèi)容提前到本課時(shí)學(xué)習(xí)。 二．目標(biāo)和目標(biāo)解析 【目標(biāo)】理解常量、變量與函數(shù)的概念． 【目標(biāo)解析】 （1）借助簡單實(shí)例，學(xué)生初步感知用常量與變量來刻畫一些簡單的數(shù)學(xué)問題，能指出具體問題中的常量、變量．初步理解存在一類變量可以用函數(shù)方式來刻畫，能舉出涉及兩個(gè)變量的實(shí)例，并指出由哪一個(gè)變量確定另一個(gè)變量，這兩個(gè)變量是否具有函數(shù)關(guān)系。初步理解對(duì)應(yīng)的思想，體會(huì)函數(shù)概念的核心是兩個(gè)變量之間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系，能判斷兩個(gè)變量間是否具有函數(shù)關(guān)系。 （2）借助簡單實(shí)例，引領(lǐng)學(xué)生參與變量的發(fā)現(xiàn)和函數(shù)概念的形成過程,體會(huì)從生活實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)的方法，感知現(xiàn)實(shí)世界中變量之間聯(lián)系的復(fù)雜性，數(shù)學(xué)研究從最簡單的情形入手，化繁為簡。 （3）從學(xué)生熟悉、感興趣的實(shí)例引入課題，引領(lǐng)學(xué)生參與變量的發(fā)現(xiàn)和函數(shù)概念的形成過程,體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識(shí)的樂趣。學(xué)生初步感知實(shí)際生活蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，感知數(shù)學(xué)是有用、有趣的學(xué)科。 三、教學(xué)問題診斷分析 變量與函數(shù)的概念把學(xué)生由常量數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)引入變量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。學(xué)生知道代數(shù)式中的字母可以表示數(shù)，方程中的未知數(shù)求出來后也是一個(gè)“已知數(shù)”，從“靜態(tài)”的角度理解字母所表示的數(shù)，另外，學(xué)生在日常生活中也接觸到函數(shù)圖象、兩個(gè)變量的關(guān)系等樸素的函數(shù)關(guān)系的生活實(shí)例。但是學(xué)生初次接觸函數(shù)的概念，難以理解定義中“唯一確定”的準(zhǔn)確含義。 【教學(xué)重點(diǎn)】借助簡單實(shí)例，從兩個(gè)變量間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系抽象出函數(shù)的概念。 【教學(xué)難點(diǎn)】怎樣理解“唯一對(duì)應(yīng)”． 四、教學(xué)過程設(shè)計(jì) （一）導(dǎo)言： 我們生活在一個(gè)運(yùn)動(dòng)的世界中，周圍的事物都是運(yùn)動(dòng)的，例如：地球在宇宙中的運(yùn)動(dòng)這一問題，此時(shí)地球在宇宙中的位置隨著時(shí)間的變化而變化，這是生活中的常識(shí)，學(xué)生都很容易理解。再例如，氣溫隨著高度的升高而降低，年齡隨著時(shí)間的增長而增長。 這幾個(gè)問題中都涉及兩個(gè)量的關(guān)系，地球的位置與時(shí)間，溫度與高度，年齡與時(shí)間。 【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生的生活入手，開門見山，在極短的時(shí)間(一兩分鐘)內(nèi)指明本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容?，F(xiàn)實(shí)世界中各種量之間的聯(lián)系紛繁復(fù)雜，應(yīng)向?qū)W生說明我們數(shù)學(xué)的研究方法是化繁就簡，本節(jié)課只關(guān)注一類簡單的問題。 （二）概念的引入 1.票房收入問題：每張電影票的售價(jià)為10元。 （1）若一場售出150張電影票，則該場的票房收入是 元；若售出205張、310張呢？ （2）若一場售出x張電影票，則該場的票房收入y元，則y= 。 思考： （1）票房收入隨售出的電影票變化而變化，即y隨 的變化而變化； （2）當(dāng)售出票數(shù)x取定一個(gè)確定的值時(shí)，對(duì)應(yīng)的票房收入y的取值是否唯一確定？ 2．行程問題：汽車以60千米/小時(shí)的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時(shí)間為t小時(shí).請(qǐng)根據(jù)題意填表： 思考： 行駛路程隨 的變化而變化，有關(guān)系式s= ，即s隨 的變化而變化； 3.氣溫問題：圖一是北京春季某一天的氣溫Ｔ隨時(shí)間t變化的圖象，看圖回答： （1）這天的8時(shí)的氣溫是 ℃，14時(shí)的氣溫是 ℃，最高氣溫是 ℃，最低氣溫是 ℃； （3）這一天中，在4時(shí)~12時(shí)，氣溫（ ），在16時(shí)~24時(shí)，氣溫（ ）。 A.持續(xù)升高 B.持續(xù)降低 C.持續(xù)不變 思考： （1）天氣溫度隨 的變化而變化，即T隨 的變化而變化； （2）當(dāng)時(shí)間t取定一個(gè)確定的值時(shí)，對(duì)應(yīng)的溫度T的取值是否唯一確定？ 【設(shè)計(jì)意圖】這三個(gè)問題中都含有變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過研究這些問題引出常量、變量、函數(shù)等概念，通過這種從實(shí)際問題出發(fā)開始討論的方式，使學(xué)生體驗(yàn)從具體到抽象地認(rèn)識(shí)過程。問題的形式有填空、列表、求值、寫解析式、讀圖等，隱含著在函數(shù)關(guān)系中表示兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系有解析法、列表法、圖象法。 （三）概念的界定 思考：上述三個(gè)問題中，分別涉及哪些量的關(guān)系？那些量是變化的？那些量是不變的？哪個(gè)量的變化導(dǎo)致另一個(gè)量的變化而變化？在一個(gè)問題中，當(dāng)一個(gè)量取了確定的值之后，另一個(gè)量對(duì)應(yīng)的能取幾個(gè)值？ 在上面的三個(gè)問題中，其中一個(gè)量的變化引起另一個(gè)量的變化（按照某種規(guī)律變化），變化的量叫做變量；有些量的值始終不變（例如電影票的單價(jià)10元……）．并且當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量就隨之確定，且它的對(duì)應(yīng)值只有一個(gè)。 教師根據(jù)學(xué)生的回答，在黑板上板書： 售出票數(shù)－－－－票房收入 行駛時(shí)間－－－－行駛路程 時(shí)間－－－－－－－－氣溫 學(xué)生們會(huì)得出： 師生對(duì)上述三個(gè)問題進(jìn)行分析，找出它們的共性，歸納出函數(shù)的概念。 在某一變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。 【設(shè)計(jì)意圖】（1）如何把具體的實(shí)例進(jìn)行抽象，形式化為數(shù)學(xué)知識(shí)是本課的關(guān)鍵。這里提出的問題“上述三個(gè)問題中，分別涉及哪些量的關(guān)系？通過哪一個(gè)量可以確定另一個(gè)量？”是一個(gè)關(guān)鍵的“腳手架”，借助“腳手架”，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)為什么要引進(jìn)變量、常量、函數(shù)的概念，逐步了解如何給數(shù)學(xué)概念下定義。（2）此處板書是“腳手架”的重要組成部分，揭示“兩個(gè)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系”。 問題回顧：指出前面三個(gè)問題中涉及到的量，并指出其中的變量、常量、自變量與函數(shù)。 【設(shè)計(jì)意圖】鞏固常量、變量、自變量、函數(shù)的概念。 例1 一個(gè)三角形的底邊為5，這一邊上的高h(yuǎn)可以任意伸縮。 （1）高h(yuǎn)的變化會(huì)引起三角形中哪些量發(fā)生變化？這些變量是高h(yuǎn)的函數(shù)嗎？ （2）試求面積s隨h變化的關(guān)系式，并指出其中的常量、變量與自變量。 例2 如果用r表示圓的半徑，半徑r的變化會(huì)引起圓中哪些量發(fā)生變化？這些變量是半徑r的函數(shù)嗎？ 【設(shè)計(jì)意圖】例1、例2的引入用幾何畫板做動(dòng)態(tài)演示。此兩例引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)幾何問題中兩個(gè)變量在動(dòng)態(tài)變化過程中的依存關(guān)系。 例3 問題1中，售出票數(shù)是票房的函數(shù)嗎？問題2中，學(xué)號(hào)x是成績f的函數(shù)嗎？ 【設(shè)計(jì)意圖】（1）引導(dǎo)學(xué)生從逆向思維的角度進(jìn)行思考，更全面地理解函數(shù)的概念。（2）培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的習(xí)慣。（3）讓學(xué)生對(duì)這三個(gè)問題留下更深刻的印象，特別是“成績問題，”它將在函數(shù)這一章書的教學(xué)中反復(fù)被引用，幫助學(xué)生深入理解函數(shù)的概念。 （4） 概念鞏固 1.請(qǐng)同學(xué)們找出這些函數(shù)的常量、變量、自變量和函數(shù)： (1) y =3000-300x； (2) y=x； (3) S= ； 解：(1)常量是3000，－300；變量是x，y；自變量是x；y是x的函數(shù)。 (2)常量是1；變量是x，y；自變量是x；y是x的函數(shù)。 (3)常量是π；變量是r，s；自變量是r；s是r的函數(shù)。 2. 根據(jù)所給的 條件，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式： ① y 比 x的1/3 少2。 ② y 是 x的倒數(shù)的4倍。 ③ 矩形的周長是18 cm ,它的長是ycm，寬是x cm。 ④ 等腰三角形的頂角度數(shù)y與底角x的關(guān)系。 【設(shè)計(jì)意圖】（1）例題和鞏固練習(xí)，鞏固變量與函數(shù)等概念，讓學(xué)生充分體會(huì)到許多問題中的變量關(guān)系都存在著函數(shù)關(guān)系，隱含著在函數(shù)關(guān)系中表示兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系有解析法、列表法、圖象法。（2）練習(xí)二提出具有實(shí)際背景的問題有利于學(xué)生理解函數(shù)，在理解了函數(shù)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自己根據(jù)題意寫出函數(shù)關(guān)系。 （五）概念辨析 1.兩個(gè)變量x、y滿足關(guān)系式，填表并回答問題： y是x的函數(shù)嗎？為什么？ 2.下列各圖中，表示y是x的函數(shù)的有_________________（可以多選）。 3．你能舉出涉及兩個(gè)變量的例子嗎？它們具有函數(shù)關(guān)系嗎？ 【設(shè)計(jì)意圖】理解函數(shù)概念的核心是“①由哪一個(gè)變量確定另一個(gè)變量；②唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系”，給定自變量x的任意一個(gè)值就有唯一確定的y的值和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)可以是“自變量的一個(gè)取值對(duì)應(yīng)因變量的一個(gè)取值”（簡稱“一對(duì)一”），也可以是“自變量的多個(gè)取值對(duì)應(yīng)因變量的同一個(gè)取值”（簡稱“多對(duì)一”），但不可以是“自變量的同一個(gè)取值對(duì)應(yīng)因變量的多個(gè)取值”（簡稱“一對(duì)多”）。 （六）質(zhì)疑、小結(jié) 1．這一節(jié)課你有什么收獲？還有什么疑問？你可以編一道題考一考同學(xué)，也可以向同學(xué)請(qǐng)教。 2．函數(shù)是一種“數(shù)”嗎？ 【設(shè)計(jì)意圖】通過小結(jié)，讓學(xué)生抓住函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)。 9