五年高考真題高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章 第六節(jié) 離散型隨機變量的分布列、均值與方差 理全國通用

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1、 考點一 離散型隨機變量的分布列 1.(2013·廣東,4)已知離散型隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 P 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=(  ) A. B.2 C. D.3 解析 由已知條件可知E(X)=1×+2×+3×=,故選A. 答案 A 2.(2015·安徽,17)已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)果. (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率; (2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品

2、或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望). 解 (1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A. P(A)==. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X=200)==, P(X=300)==, P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=. 故X的分布列為 X 200 300 400 P E(X)=200×+300×+400×=350. 3.(2015·福建,16)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤,該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢時,發(fā)現(xiàn)自己

3、忘記了銀行卡的密碼,但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機選擇1個進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定. (1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率; (2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解 (1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A, 則P(A)=××=. (2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3. 又P(X=1)=,P(X=2)=×=, P(X=3)=××1=. 所以X的分布列為 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×+2×+3×=. 4.(

4、2015·重慶,17)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個,肉粽3個,白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同,從中任意選取3個. (1)求三種粽子各取到1個的概率; (2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望. 解 (1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”,則由古典概型的概率計算公式有P(A)==. (2)X的所有可能值為0,1,2,且 P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==. 綜上知,X的分布列為 X 0 1 2 P 故E(X)=0×+1×+2×=(個). 5.(2014·天津,16)某大學(xué)志愿者

5、協(xié)會有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同). (1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率; (2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解 (1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P(A)==. 所以,選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為. (2)隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3. P(X=k)=(k=0,1,2,3). 所以,隨機變量X的分布列是

6、X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. 6.(2014·四川,17)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立. (1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列; (2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少? (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比

7、,分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因. 解 (1)X可能的取值為:10,20,100,-200.根據(jù)題意,有 P(X=10)=C××=, P(X=20)=C××=, P(X=100)=C××=, P(X=-200)=C××=. 所以X的分布列為 X 10 20 100 -200 P (2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3),則 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=. 所以,“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為 1-P(A1A2A3)=1-=1-=. 因此,玩三盤游戲至

8、少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是. (3)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=10×+20×+100×-200×=-. 這表明,獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù), 因此,多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大. 7.(2014·山東,18)乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分.如圖,甲上有兩個不相交的區(qū)域A,B,乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C,D.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定:回球一次,落點在C上記3分,在D上記1分,其他情況記0分.對落點在A上的來球,隊員小明回球的落點在C上的概率為,在D上的概率為;對落點在B上的來球,小明回球的落點在C上的概率為,在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在A,B上各一次

9、,小明的兩次回球互不影響.求: (1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率; (2)兩次回球結(jié)束后,小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望. 解 (1)記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3), 則P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=; 記Bi為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3), 則P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=. 記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上”. 由題意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3, 由事件的獨立性和互斥性, P(D)=P(A3B0

10、+A1B0+A0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) =×+×+×+×=, 所以小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率為. (2)由題意,隨機變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6, 由事件的獨立性和互斥性,得 P(ξ=0)=P(A0B0)=×=, P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1) =×+×=, P(ξ=2)=P(A1B1)=×=, P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P

11、(A0B3) =×+×=, P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3) =×+×=, P(ξ=6)=P(A3B3)=×=. 可得隨機變量ξ的分布列為: ξ 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=. 8.(2014·重慶,18)一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片. (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率; (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

12、 (注:若三個數(shù)a,b,c滿足a≤b≤c,則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù).) 解 (1)由古典概型中的概率計算公式知所求概率為p==. (2)X的所有可能值為1,2,3,且 P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, 故X的分布列為 X 1 2 3 P 從而E(X)=1×+2×+3×=. 9.(2014·江西,21)隨機將1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)這2n個連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組,每組n個數(shù).A組最小數(shù)為a1,最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1,最大數(shù)為b2,記ξ=a2-a1,η=b2-b1. (1)當(dāng)n=3時,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;

13、 (2)令C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”,求事件C發(fā)生的概率P(C); (3)對(2)中的事件C,C表示C的對立事件,判斷P(C)和P(C)的大小關(guān)系,并說明理由. 解 (1)當(dāng)n=3時,ξ的所有可能取值為2,3,4,5. 將6個正整數(shù)平均分成A,B兩組,不同的分組方法共有C=20種,所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 P E(ξ)=2×+3×+4×+5×=. (2)ξ和η恰好相等的所有可能取值為:n-1,n,n+1,…,2n-2. 又ξ和η恰好相等且等于n-1時,不同的分組方法有2種; ξ和η恰好相等且等于n時,不同的分組方法有2種; ξ和

14、η恰好相等且等于n+k(k=1,2,…,n-2)(n≥3)時,不同的分組方法有2C種; 所以當(dāng)n=2時,P(C)==, 當(dāng)n≥3時,P(C)=. (3)由(2)知當(dāng)n=2時,P()=,因此P(C)>P(). 而當(dāng)n≥3時,P(C)

15、有P(C)

16、, P(X=3)==, P(X=4)==. 所以隨機變量X的分布列是 X 1 2 3 4 P 隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×+2×+3×+4×=. 11.(2013·北京,16)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月13日的某一天到達(dá)該市,并停留2天. (1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率; (2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望; (3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要

17、求證明). 解 設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i=1,2,…,13). 根據(jù)題意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=?(i≠j). (1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染”,則B=A5∪A8. 所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=. (2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,且 P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=, P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=. 所以X的

18、分布列為 X 0 1 2 P 故X的期望E(X)=0×+1×+2×=. (3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大. 12.(2013·江西,18)小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團還是參加學(xué)校排球隊,游戲規(guī)則為:以O(shè)為起點,再從A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如圖)這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X=0就參加學(xué)校合唱團,否則就參加學(xué)校排球隊. (1)求小波參加學(xué)校合唱團的概率; (2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解 (1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有C=28種, X=0時,兩向量

19、夾角為直角共有8種情形, 所以小波參加學(xué)校合唱團的概率為 P(X=0)==. (2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為-2,-1,0,1, X=-2時,有2種情形;X=1時,有8種情形;X=-1時,有10種情形. 所以X的分布列為: X -2 -1 0 1 P E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×=-. 13.(2013·湖南,18)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗,一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表

20、所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米. (1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率; (2)從所種作物中隨機選取一株,求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望. 解 (1)所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株的不同結(jié)果有CC=36種,選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種. 故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物,它們恰好“相近”的

21、概率為=. (2)先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量Y的分布列. 因為P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可. 記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k=1,2,3,4),則 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由P(X=k)=得 P(X=1)=,P(X=2)=, P(X=3)==, P(X=4)==. 故所求的分布列為 Y 51 48 45 42 P 所求的數(shù)學(xué)期望為 E(Y)=51×+4

22、8×+45×+42×==46. 14.(2013·新課標(biāo)全國Ⅱ,19)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1 t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示,經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品,以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤. (1)將T表示為X的函數(shù); (2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率; (3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值,并以需求量落入該區(qū)

23、間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,100)的頻率),求T的數(shù)學(xué)期望. 解 (1)當(dāng)X∈[100,130)時,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 當(dāng)X∈[130,150]時,T=500×130=65 000. 所以T= (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為 T 45

24、 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以E(T)=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400. 15.(2013·遼寧,19)現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學(xué)從中任取3道題解答. (1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率; (2)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立.用X表示張同學(xué)答對題的個數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解 (1)設(shè)事件A=“張同學(xué)所取的3道

25、題至少有1道乙類題”, 則有=“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”. 因為P()==,所以 P(A)=1-P()=. (2)X所有的可能取值為0,1,2,3. P(X=0)=C··· =; P(X=1)=C···+C···=; P(X=2)=C···+C···=; P(X=3)=C···=. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2. 16.(2012·陜西,20)某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口,假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立,且都是整數(shù)分鐘,對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下: 辦理業(yè)務(wù)所需的時

26、間(分) 1 2 3 4 5 頻率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計時. (1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率; (2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 解 設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間,用頻率估計概率,得Y的分布列如下: Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”,則事件A對應(yīng)三種情形: ①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘,且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘;

27、②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘,且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘;③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘. 所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. (2)法一 X所有可能的取值為0,1,2. X=0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘, 所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過1分鐘,或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘, 所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y

28、>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49; X=2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘, 所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. 法二 X所有可能的取值為0,1,2. X=0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘, 所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘, 所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; P

29、(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. 考點二 均值與方差 1.(2014·浙江,9)已知甲盒中僅有1個球且為紅球,乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(m≥3,n≥3),從乙盒中隨機抽取i(i=1,2)個球放入甲盒中. (a)放入i個球后,甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i=1,2); (b)放入i個球后,從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i=1,2).則(  ) A.p1>p2,E(ξ1)

30、ξ1)>E(ξ2) C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2) D.p1

31、2=1)+2P(ξ2=2)+3P(ξ2=3)=+1,所以p2==,所以p1>p2,E(ξ1)

32、課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下表: x 1 2 3 P(ξ=x) ? ! ? 請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望.盡管“!”處完全無法看清,且兩個“?”處字跡模糊,但能斷定這兩個“?”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小牛給出了正確答案E(ξ)=________. 解析 令“?”為a,“!”為b,則2a+b=1.又E(ξ)=a+2b+3a=2(2a+b)=2. 答案 2 4.(2011·浙江,15)某畢業(yè)生參加人才招聘會,分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷,假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為,得到乙、丙兩公司面試的概率均為p,且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.記X為該畢業(yè)生得

33、到面試的公司個數(shù).若P(X=0)=,則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=________. 解析 ∵P(X=0)=×(1-p)2=, ∴p=. 則P(X=1)=××+×××2=, P(X=2)=×××2+××=, P(X=3)=××=. 則E(X)=0×+1×+2×+3×=. 答案  5.(2015·天津,16)為推動乒乓球運動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽. (1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”

34、,求事件A發(fā)生的概率; (2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解 (1)由已知,有P(A)==. 所以,事件A發(fā)生的概率為. (2) 隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X=k)=(k=1,2,3,4). 所以隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P 隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×+2×+3×+4×=. 6.(2015·山東,19)若n是一個三位正整數(shù),且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動中,每位參加者需從所有

35、的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分. (1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”; (2)若甲參加活動,求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X). 解 (1)個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345; (2)由題意知,全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為C=84, 隨機變量X的取值為:0,-1,1,因此 P(X=0)==, P(X=-1)==, P(X=1)=1--=, 所以X的分布列為 X 0

36、 -1 1 P 則E(X)=0×+(-1)×+1×=. 7.(2015·湖南,18)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎,每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎. (1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率; (2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解 (1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個球是紅球}, A2={從乙箱中摸出的1個球是紅球}, B1={顧客

37、抽獎1次獲一等獎},B2={顧客抽獎1次獲二等獎}, C={顧客抽獎1次能獲獎}. 由題意,A1與A2相互獨立,A12與1A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A12+1A2,C=B1+B2. 因為P(A1)==,P(A2)==,所以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=, P(B2)=P(A12+1A2)=P(A12)+P(1A2) =P(A1)P(2)+P(1)P(A2) =P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2) =×+×=. 故所求概率為 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=. (2)顧客抽獎3次

38、可視為3次獨立重復(fù)試驗,由(1)知,顧客抽獎1次獲一等獎的概率為,所以X~B. 于是 P(X=0)=C=, P(X=1)=C=, P(X=2)=C=, P(X=3)=C=. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×=. 8.(2014·安徽,17)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比賽結(jié)果相互獨立. (1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率; (2)記X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)

39、期望). 解 用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”,則P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4) =+×+××=. (2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=, P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+

40、P(A1)P(B2)·P(B3)=, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)· P(A2)P(B3)P(B4)=, P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P E(X)=2×+3×+4×+5×=. 9.(2014·福建,18)為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額. (1)若袋中所裝

41、的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元,其余3個均為10元,求: (ⅰ)顧客所獲的獎勵額為60元的概率; (ⅱ)顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望; (2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元,并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計,并說明理由. 解 (1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X. (ⅰ)依題意,得P(X=60)==, 即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為. (ⅱ)依題意,得X的所有可能取值為20,60. P(

42、X=60)=,P(X=20)==, 即X的分布列為 X 20 60 P 所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)=20×+60×=40(元). (2)根據(jù)商場的預(yù)算,每個顧客的平均獎勵額為60元.所以,先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因為60元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因為60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1. 對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,

43、20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2. 以下是對兩個方案的分析: 對于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1,則X1的分布列為 X1 20 60 100 P X1的期望為E(X1)=20×+60×+100×=60,X1的方差為D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×=. 對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2,則X2的分布列為 X2 40 60 80 P X2的期望為E(X2)=40×

44、+60×+80×=60, X2的方差為D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=. 由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求,但方案2獎勵額的方差比方案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2. 10.(2014·遼寧,18)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示. 將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨立. (1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率; (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù),求隨機變量X的分布列,期望E(X)及方差D(

45、X). 解 (1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”,A2表示事件“日銷售量低于50個”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”,因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108. (2)X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為P(X=0)=C·(1-0.6)3=0.064, P(X=1)=C·0.6(1-0.6)2=0.288, P(X=2)=C·0.62(1-0.6)=0.432, P(X=3

46、)=C·0.63=0.216. 分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因為X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72. 11.(2013·新課標(biāo)全國Ⅰ,19)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗,檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗,若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗. 假設(shè)這批產(chǎn)品的

47、優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立. (1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率; (2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗,對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 解 (1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2,第二次取出的4件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B1,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2,這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A,依題意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1與A2B2互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2) =P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) =×+×=. (2)X可能的取值為400,500,800,并且 P(X=400)=1--=, P(X=500)=,P(X=800)=. 所以X的分布列為 X 400 500 800 P E(X)=400×+500×+800×=506.25.

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