河北省清河縣清河中學(xué)高一數(shù)學(xué)《34 數(shù)列的求和》課件

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1、 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 1等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn na1 d，推導(dǎo)方法：，推導(dǎo)方法： ；等比數(shù)列前；等比數(shù)列前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn 推導(dǎo)方法：推導(dǎo)方法： 倒序相加法倒序相加法乘公比，錯(cuò)位相減乘公比，錯(cuò)位相減 2常見數(shù)列的前常見數(shù)列的前n項(xiàng)和：項(xiàng)和：123n 2462n ；135(2n1) ；122232n2 132333n3 無窮等比無窮等比(|q|1)數(shù)列各項(xiàng)和數(shù)列各項(xiàng)和S .n2nn2 3數(shù)列求和的常見方法有：數(shù)列求和的常見方法有： (1)分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列列 (2)拆項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差拆項(xiàng)相

2、消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和 (3)錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和 (4)倒序相加：例如：等差數(shù)列前倒序相加：例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法法 4常見的拆項(xiàng)公式有：常見的拆項(xiàng)公式有： (7)nn！ n！；??； (8)anSnSn1(n2)(n1)！ 易錯(cuò)知識(shí)易錯(cuò)知識(shí) 一、利用公式求和不注意項(xiàng)數(shù)易出錯(cuò)一、利用公式求和不注意項(xiàng)數(shù)易出錯(cuò) 1S1222232n_ 答案：答案：2n11

3、 二、不注意分類易出錯(cuò)二、不注意分類易出錯(cuò) 2Sa2a23a3nan(aR)_. 答案：答案：A 答案：答案：B 3(教材改編題教材改編題)數(shù)列數(shù)列9,99,999，的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為() 解析：解析：9101,991021,9991031， 所求數(shù)列的和為所求數(shù)列的和為Sn(101)(1021)(1031)(10n1) (1010210310n)n 答案：答案：D 4(2011原創(chuàng)題原創(chuàng)題)已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Snn2.則則 【例【例1】已知已知an是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，a12，a454；bn是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，b12，b1b2b3b4a1a2a3. (1)求數(shù)列

4、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn的公式；的公式； (2)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (3)設(shè)設(shè)Unb1b4b7b3n2，其中，其中n1,2，求求U10的值的值 解析解析(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公比為的公比為q， 由由a4a1q3得得q3 27，q3， 所以數(shù)列所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an23n1， 數(shù)列數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式Sn 3n1， (2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列bn的公差為的公差為d， b1b2b3b44b1 d86d. 由由b1b2b3b4a1a2a322323226. 得得86d26，d3， 所以所以bnb1(n1)d3n1. (3)b

5、1，b4，b7，b3n2組成以組成以3d為公差的等差數(shù)為公差的等差數(shù)列，所以列，所以U1010b1 3d425. (2009四川四川)求數(shù)列求數(shù)列1,35,7911,13151719，的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和 分析：分析：依其結(jié)構(gòu)特征知，只須求出和式中的最后一個(gè)依其結(jié)構(gòu)特征知，只須求出和式中的最后一個(gè)奇數(shù)，便知其和為前奇數(shù)，便知其和為前n個(gè)奇數(shù)之和，又由于數(shù)列中各項(xiàng)個(gè)奇數(shù)之和，又由于數(shù)列中各項(xiàng)的奇數(shù)的個(gè)數(shù)與項(xiàng)數(shù)一致，從而知各項(xiàng)的奇數(shù)個(gè)數(shù)構(gòu)的奇數(shù)的個(gè)數(shù)與項(xiàng)數(shù)一致，從而知各項(xiàng)的奇數(shù)個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列成的數(shù)列1,2,3，n，可以由此入手解答，可以由此入手解答 解析：解析：解法一：由于該數(shù)列的前解法一：由于該數(shù)

6、列的前n項(xiàng)共有項(xiàng)共有 123n 個(gè)奇數(shù)，個(gè)奇數(shù)， 最末一個(gè)數(shù)字應(yīng)為最末一個(gè)數(shù)字應(yīng)為 2 1n2n1， Sn 解法二：依該數(shù)列的排列特征可知，第解法二：依該數(shù)列的排列特征可知，第n項(xiàng)項(xiàng)an中的第一中的第一個(gè)奇數(shù)是第個(gè)奇數(shù)是第123(n1)1 1個(gè)個(gè) 奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)是奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)是 1n2n1，從而推知第從而推知第n項(xiàng)項(xiàng)an中的第中的第n個(gè)個(gè)(末位末位)數(shù)字是數(shù)字是n2n12(n1)n2n1， 故故Sna1a2a3an 132333n3 總結(jié)評(píng)述：總結(jié)評(píng)述：根據(jù)所給的結(jié)構(gòu)特征，尋找項(xiàng)數(shù)之間的規(guī)根據(jù)所給的結(jié)構(gòu)特征，尋找項(xiàng)數(shù)之間的規(guī)律，是實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的主要途徑而轉(zhuǎn)化求和又是研律，是實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的主要

7、途徑而轉(zhuǎn)化求和又是研究和探求數(shù)列求和問題的重要手段究和探求數(shù)列求和問題的重要手段. 【例【例2】(2009北京朝陽北京朝陽4月月)已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和為為Sn，點(diǎn)，點(diǎn)(n， 在直線在直線y 上數(shù)列上數(shù)列bn滿足滿足bn22bn1bn0(nN*)，且，且b311，前，前9項(xiàng)和為項(xiàng)和為153. (1)求數(shù)列求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)設(shè)cn 數(shù)列數(shù)列cn的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Tn，求使不等式，求使不等式Tn 對(duì)一切對(duì)一切nN*都成立的最大正整都成立的最大正整數(shù)數(shù)k的值；的值； 所以所以bn為等差數(shù)列，于是為等差數(shù)列，于是 153. 而而b311，故，故b7

8、23，d 3， 因此因此bnb33(n3)3n2， 即即bn3n2(nN*) 因此因此Tn單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，故(Tn)min 令令 得得k19，所以，所以kmax18. 在數(shù)列在數(shù)列an中，中， 又又bn 求數(shù)列求數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和 數(shù)列數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和 總結(jié)評(píng)述：總結(jié)評(píng)述：對(duì)于裂項(xiàng)后有明顯相消項(xiàng)的一類數(shù)列，在對(duì)于裂項(xiàng)后有明顯相消項(xiàng)的一類數(shù)列，在求和時(shí)常采用求和時(shí)常采用“裂項(xiàng)求和法裂項(xiàng)求和法”，分式的求和多利用此，分式的求和多利用此法，可用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行拆項(xiàng)，相消時(shí)應(yīng)法，可用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行拆項(xiàng)，相消時(shí)應(yīng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律，即消去了哪些項(xiàng)，保留哪些

9、項(xiàng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律，即消去了哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng). 錯(cuò)位相減法就是推導(dǎo)等比數(shù)列前錯(cuò)位相減法就是推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法一項(xiàng)和公式的方法一般地，若般地，若an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，則求是等比數(shù)列，則求anbn的前的前n項(xiàng)和一般采用此法此法有特定的操作項(xiàng)和一般采用此法此法有特定的操作程序，要注意熟練掌握基本技能程序，要注意熟練掌握基本技能 【例【例3】(2007山東，山東，17)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an滿足滿足a13a232a33n1an ，nN*. 1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)設(shè)bn ，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn. 解析解析(1)a13a23

10、2a33n1an ， 當(dāng)當(dāng)n 2時(shí)，時(shí)，a13a232a33n2an1 ，得，得3n1an ，an 在在中，令中，令n1，得，得a1 .an (2)bn ，bnn3n. Sn3232333n3n. 3Sn32233334n3n1. ，得，得2Snn3n1(332333n)， 即即2Snn3n1 設(shè)設(shè)an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且且a1b11，a3b521，a5b313. (1)求求an，bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列求數(shù)列 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn. 解析：解析：(1)設(shè)設(shè)an的公差為的公差為d，bn的公比為的公比為q，則依題，

11、則依題 意有意有q0且且 解得解得d2，q2. 所以，所以，an1(n1)d2n1，bnqn12n1. 【例【例4】已知數(shù)列】已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn(n1)2n1，是否存在等差數(shù)列是否存在等差數(shù)列bn，使，使an 對(duì)一切自然數(shù)對(duì)一切自然數(shù)n均成立？均成立？ 解析解析由公式由公式an 依條件先求出依條件先求出an的通項(xiàng)，再由倒序相加法得出結(jié)論的通項(xiàng)，再由倒序相加法得出結(jié)論 當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a1S11； 當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，anSnSn1(n1)2n1(n2)2n112n1(2n2n2)n2n1. 因因a11滿足滿足n2時(shí)時(shí)an的式子，的式子， ann2n1(nN*) 假設(shè)存在等差數(shù)列假設(shè)

12、存在等差數(shù)列bn滿足條件，設(shè)滿足條件，設(shè)b00，且，且bn(nN*)仍成等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列，則 令令bnn，顯然，顯然n0時(shí)，時(shí)，b00，故存在等差數(shù)列，故存在等差數(shù)列bn滿足已知等式滿足已知等式 設(shè)設(shè)f(x) 利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公項(xiàng)和公式的方法，可求得式的方法，可求得f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13)的值為的值為() 令令S26f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13) 又又S26f(13)f(12)f(11)f(11)f(12) 則則2S26f(12)f(13)f(11)f(12)f(13

13、)f(12) 故選故選D. 答案：答案：D 1在直接用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍和公在直接用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍和公式推導(dǎo)過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想式推導(dǎo)過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想 2注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，將一般數(shù)列求和轉(zhuǎn)化注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，將一般數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和為基本數(shù)列求和 3方程思想、函數(shù)思想、化歸思想、整體思想、分類方程思想、函數(shù)思想、化歸思想、整體思想、分類討論等數(shù)學(xué)思想在本節(jié)內(nèi)容中得到了廣泛的應(yīng)用，尤討論等數(shù)學(xué)思想在本節(jié)內(nèi)容中得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是運(yùn)用化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問其是運(yùn)用化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來研究，是解答數(shù)列綜合問題的最基本的思路題來研究，是解答數(shù)列綜合問題的最基本的思路 請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成課后強(qiáng)化作業(yè)