6、2π·,
所以S′表=2πR-.
令S′表=0,得R=3,則當(dāng)R=3時,S表最?。?
答案:3
7.對于函數(shù)y=f(x),若其定義域內(nèi)存在兩個不同實數(shù)x1,x2,使得xif(xi)=1(i=1,2)成立,則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P.若函數(shù)f(x)=具有性質(zhì)P,則實數(shù)a的取值范圍為________.
解析:依題意,xf(x)=1,即=1在R上有兩個不相等實根,
所以a=xex在R上有兩個不同的實根,令φ(x)=xex,
則φ′(x)=ex(x+1),
當(dāng)x<-1時,φ′(x)<0,φ(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù);
當(dāng)x>-1時,φ′(x)>0,φ(x)在(-1,+∞)上是增函
7、數(shù).
因此φ(x)極小值為φ(-1)=-.
在同一坐標(biāo)系中作y=φ(x)與y=a的圖象,又當(dāng)x<0時,φ(x)=xex<0.
由圖象知,當(dāng)-<a<0時,兩圖象有兩個交點.故實數(shù)a的取值范圍為.
答案:
三、解答題
8.設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+,k∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線與直線x-2=0垂直,求f(x)的單調(diào)性和極小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù));
(2)若對任意的x1>x2>0,f(x1)-f(x2)0),
因為曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線與直
8、線x-2=0垂直,
所以f′(e)=0,即-=0,得k=e,
所以f′(x)=-=(x>0).
由f′(x)<0得00得x>e.
所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x=e時,f(x)取得極小值,且f(e)=ln e+=2.
所以f(x)的極小值為2.
(2)由題意知對任意的x1>x2>0,f(x1)-x10),
則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
所以h′(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,
故當(dāng)x>0時,k≥-x2+x=-+恒成立,
9、
又-+≤,則k≥,
故實數(shù)k的取值范圍是.
9.(2019·天津卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)=excos x,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈時,證明:f(x)+g(x)≥0.
(1)解:由已知,有f′(x)=ex(cos x-sin x).
因此,當(dāng)x∈(k∈Z)時,
有sin x>cos x,得f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(k∈Z)時,有sin x0,則f(x)單調(diào)遞增.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z),
f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z).
(2)證明:記h(x)=f(x)+
10、g(x).
依題意及(1),有g(shù)(x)=ex(cos x-sin x),
從而g′(x)=-2exsin x.
當(dāng)x∈時,g′(x)<0,
故h′(x)=f′(x)+g′(x)+g(x)(-1)=g′(x)<0.
因此,h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
進(jìn)而h(x)≥h=f=0.
所以當(dāng)x∈時,f(x)+g(x)≥0.
B級 能力提升
10.已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=x+m(m∈R).
(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)已知x1,x2是函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的兩個零點,且x1
11、f(x)-g(x)=ln x-x-m(x>0),
則F′(x)=-1=(x>0),
當(dāng)x>1時,F(xiàn)′(x)<0,當(dāng)00,
所以F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增.
F(x)在x=1處取得最大值-1-m,若f(x)≤g(x)恒成立,則-1-m≤0,即m≥-1.
(2)證明:由(1)可知,若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有兩個零點,則m<-1,0F,
由F(x1)=F(x2)=0,m=ln x1-x1,
即證ln--
12、m=ln-+x1-ln x1<0,
令h(x)=-+x-2ln x(00,
故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,h(x)2,令f′(x)=0,得
13、x=或x=.
當(dāng)x∈(0,)∪(,+∞)時,f′(x)<0;
當(dāng)x∈(,)時,f′(x)>0.
所以f(x)在(0,),(,+∞)上單調(diào)遞減,在(,)上單調(diào)遞增.
(2)證明:由(1)知,f(x)存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)a>2.
由于f(x)的兩個極值點x1,x2滿足x2-ax+1=0,
所以x1x2=1,不妨設(shè)0<x11.
由于=--1+a=-2+a=-2+a,
所以