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專題跟蹤突破6 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用
1．(2016·瀘州)如圖，為了測(cè)量出樓房AC的高度，從距離樓底C處60米的點(diǎn)D(點(diǎn)D與樓底C在同一水平面上)出發(fā)，沿斜面坡度為i＝1∶的斜坡DB前進(jìn)30米到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測(cè)得樓頂A的仰角為53°，求樓房AC的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值)
解：如圖作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M.在Rt△BDN中，BD＝30，BN∶ND＝1∶，∴BN＝15，DN＝15，∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，∴四邊形CMBN是矩形，∴C
2、M＝BN＝15，BM＝CN＝60－15＝45，在Rt△ABM中，tan∠ABM＝＝，∴AM＝60，∴AC＝AM＋CM＝15＋60
2．(2016·眉山)如圖，埃航MS804客機(jī)失事后，國(guó)家主席親自發(fā)電進(jìn)行慰問(wèn)，埃及政府出動(dòng)了多艘艦船和飛機(jī)進(jìn)行搜救，其中一艘潛艇在海面下500米的A點(diǎn)處測(cè)得俯角為45°的前下方海底有黑匣子信號(hào)發(fā)出，繼續(xù)沿原方向直線航行2 000米后到達(dá)B點(diǎn)，在B處測(cè)得俯角為60°的前下方海底有黑匣子信號(hào)發(fā)出，求海底黑匣子C點(diǎn)距離海面的深度．(結(jié)果保留根號(hào))
解：過(guò)C作CD⊥AB于D，交海面于點(diǎn)E，設(shè)BD＝x，∵∠CBD＝60°，∴tan∠CBD＝＝，∴CD＝x
3、.∵AB＝2 000，∴AD＝x＋2 000，∵∠CAD＝45°∴tan∠CAD＝＝1，∴x＝x＋2 000，解得x＝1 000＋1 000，∴CD＝(1 000＋1 000)＝3 000＋1 000，∴CE＝CD＋DE＝3 000＋1 000＋500＝3 500＋1 000.答：黑匣子C點(diǎn)距離海面的深度為(3 500＋1 000)米
3．(2016·昆明)如圖，大樓AB右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測(cè)得障礙物邊緣點(diǎn)C的俯角為30°，測(cè)得大樓頂端A的仰角為45°(點(diǎn)B，C，E在同一水平直線上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障礙物B，C兩點(diǎn)間的距離
4、．(結(jié)果精確到0.1 m；參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732)
解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H.則DE＝BF＝CH＝10 m，在Rt△ADF中，∵AF＝80 －10＝70 (m)，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70 m．在Rt△CDE中，∵DE＝10 m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10(m)，∴BC＝BE－CE＝70－10 ≈70－17.32≈52.7(m)．答：障礙物B，C兩點(diǎn)間的距離約為52.7 m
4．(2016·濟(jì)寧)某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1∶1，為了方便行人推車過(guò)天橋，有關(guān)部門決定降低坡
5、度，使新坡面的坡度為1∶.
(1)求新坡面的坡角a；
(2)原天橋底部正前方8米處(PB的長(zhǎng))的文化墻PM是否需要拆除？請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：(1)∵新坡面的坡度為1∶，∴tanα＝tan∠CAB＝＝，∴∠α＝30°.答：新坡面的坡角a為30°
(2)文化墻PM不需要拆除．過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD＝6，∵坡面BC的坡度為1∶1，新坡面的坡度為1∶ ，∴BD＝CD＝6，AD＝6，∴AB＝AD－BD＝6－6＜8，∴文化墻PM不需要拆除
5．(2016·鄂州)為了維護(hù)海洋權(quán)益，新組建的國(guó)家海洋局加大了在南海的巡邏力度，一天，有兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的A，B兩
6、處巡邏，同時(shí)發(fā)現(xiàn)一艘不明國(guó)籍的船只停在C處海域．如圖所示，AB＝60(＋)海里，在B處測(cè)得C在北偏東45°的方向上，A處測(cè)得C在北偏西30°的方向上，在海岸線AB上有一燈塔D，測(cè)得AD＝120(－)海里．
(1)分別求出A與C及B與C的距離AC，BC；(結(jié)果保留根號(hào))
(2)已知在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，圖中有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？(參考數(shù)據(jù)：＝1.41，＝1.73，＝2.45)
解：(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，可得∠CBD＝45°，∠CAD＝60°，設(shè)CE＝x，在Rt△CBE中，BE＝CE＝x，在Rt△CAE中，AE＝x，∵AB
7、＝60(＋)海里，∴x＋x＝60(＋)，解得x＝60，則AC＝x＝120，BC＝x＝120，答：A與C的距離為120海里，B與C的距離為120海里
(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，在△ADF中，∵AD＝120(－)，∠CAD＝60°，∴DF＝ADsin60°＝180－60≈106.8＞100，故海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，無(wú)觸礁的危險(xiǎn)
6．(2016·樂(lè)山)如圖，禁止捕魚(yú)期間，某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏，上午某一時(shí)刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚(yú)船，正在沿南偏東75°方向以每
8、小時(shí)10海里的速度航行，稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí)14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā)，在C處成功攔截捕魚(yú)船，求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚(yú)船所用的時(shí)間．
解：設(shè)巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為x小時(shí)，如圖所示，由題意得：∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝60°，∴BD＝AB·cos60°＝AB＝6，AD＝AB·sin60°＝6，∴CD＝10x＋6.在Rt△ACD中，由勾股定理得：(14x)2＝(10x＋6)2＋(6)2，解得x1＝2，x2＝－(不合題意舍去)．答：巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為2小時(shí)
專題跟蹤突破6 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用
