高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第7章 第34課 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

第34課 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和最新考綱內(nèi)容要求ABC等差數(shù)列1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列用符號表示為an1and(nN，d為常數(shù))(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫作a，b的等差中項(xiàng)2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：ana1(n1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Snna1.3等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差為md的等差數(shù)列1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN，都有2an1an an2.()(3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)()答案(1)×(2)(3)(4)×2等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S36，a30，則公差d_.2依題意得S33a26，即a22，故da3a22.3(2017·南京模擬)若等差數(shù)列an滿足a7a8a9>0，a7a10<0，則當(dāng)n_時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大8由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a7a8a93a8，a7a10a8a9，故a8>0，a8a9<0，a9<0，即當(dāng)n8時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大4(2016·江蘇高考)已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a1a3，S510，則a9的值是_20法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S510，知S55a1d10，得a12d2，即a122d，所以a2a1d2d，代入a1a3，化簡得d26d90，所以d3，a14.故a9a18d42420.法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S510，知5a310，所以a32.所以由a1a32a2，得a12a22，代入a1a3，化簡得a2a210，所以a21.公差da3a2213，故a9a36d21820.5(教材改編)在100以內(nèi)的正整數(shù)中有_個(gè)能被6整除的數(shù)16由題意知，能被6整除的數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列an，則a16，d6，得an6(n1)66n.由an6n100，即n1616，則在100以內(nèi)有16個(gè)能被6整除的數(shù)等差數(shù)列的基本運(yùn)算(1)(2017·蘇州模擬)已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若S84S4，則a10_. 【導(dǎo)學(xué)號：62172185】(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S1122，a412，若am30，則m_.(1)(2)10(1)公差為1，S88a1×18a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意解得ama1(m1)d7m4030，m10.規(guī)律方法1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用2數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法，稱為基本量法變式訓(xùn)練1(1)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足1，則數(shù)列an的公差是_(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a128，S99，則S16_.(1)2(2)72(1)Sn，又1，得1，即a3a22，數(shù)列an的公差為2.(2)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知，得解得S1616×3×(1)72.等差數(shù)列的判定與證明已知數(shù)列an中，a1，an2(n2，nN)，數(shù)列bn滿足bn(nN)(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的通項(xiàng)公式an. 【導(dǎo)學(xué)號：62172186】解(1)證明：因?yàn)閍n2(n2，nN)，bn.所以n2時(shí)，bnbn11.又b1，所以數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知，bnn，則an11.規(guī)律方法1.判斷等差數(shù)列的解答題，常用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適用于客觀題中的簡單判斷2用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用兩個(gè)式子an1and和anan1d，但它們的意義不同，后者必須加上“n2”，否則n1時(shí)，an無意義變式訓(xùn)練2(1)若an是公差為1的等差數(shù)列，則a2n12a2n是_(填序號)公差為3的等差數(shù)列；公差為4的等差數(shù)列；公差為6的等差數(shù)列；公差為9的等差數(shù)列a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)22×26，a2n12a2n是公差為6的等差數(shù)列(2)在數(shù)列an中，若a11，a2，(nN)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為_an由已知可得，知是首項(xiàng)為1，公差為211的等差數(shù)列，所以n，即an.等差數(shù)列的性質(zhì)與最值(1)如圖所示的數(shù)陣中，每行、每列的三個(gè)數(shù)均成等差數(shù)列，如果數(shù)陣中所有數(shù)之和等于63，那么a52_.(2)等差數(shù)列an中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3S11，則當(dāng)n為多少時(shí)，Sn取得最大值(1)7法一：第一行三數(shù)成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)有a41a42a433a42，同理第二行也有a51a52a533a52，第三行也有a61a62a633a62，又每列也成等差數(shù)列，所以對于第二列，有a42a52a623a52，所以a41a42a43a51a52a53a61a62a633a423a523a623×3a5263，所以a527.法二：由于每行每列都成等差數(shù)列，不妨取特殊情況，即這9個(gè)數(shù)均相同，顯然滿足題意，所以有63÷97，即a527.(2)法一：由S3S11，可得3a1d11a1d，即da1.從而Snn2n(n7)2a1，因?yàn)閍1>0，所以<0.故當(dāng)n7時(shí)，Sn最大法二：由法一可知，da1.要使Sn最大，則有即解得6.5n7.5，故當(dāng)n7時(shí)，Sn最大法三：由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80，又由a1>0，S3S11可知d<0，所以a7>0，a8<0，所以當(dāng)n7時(shí)，Sn最大規(guī)律方法1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，aman(mn)dd(mn)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.2求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解(2)鄰項(xiàng)變號法：當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.變式訓(xùn)練3(1)在等差數(shù)列an中，a3a927a6，Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S11_.99因?yàn)閍3a927a6,2a6a3a9，所以3a627，所以a69，所以S11(a1a11)11a699.(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S510，S1030，則S15_.60因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，所以S5，S10S5，S15S10也成等差數(shù)列，設(shè)S15x，則10,20，x30成等差數(shù)列，所以2×2010(x30)，所以x60，即S1560.思想與方法1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式涉及“五個(gè)量”，“知三求二”，需運(yùn)用方程思想求解，特別是求a1和d.(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a3d，ad，ad，a3d，.2等差數(shù)列an中，ananb(a，b為常數(shù))，SnAn2Bn(A，B為常數(shù))，均是關(guān)于“n”的函數(shù)，充分運(yùn)用函數(shù)思想，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)簡化解題過程3等差數(shù)列的四種判斷方法：(1)定義法：an1and(d是常數(shù))an是等差數(shù)列(2)等差中項(xiàng)法：2an1anan2(nN)an是等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式：SnAn2Bn(A，B為常數(shù))an是等差數(shù)列易錯與防范1要注意概念中的“從第2項(xiàng)起”如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列2注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別3求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件課時(shí)分層訓(xùn)練(三十四)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1在等差數(shù)列an中，若前10項(xiàng)的和S1060，且a77，則a4_.5法一：由題意得解得a4a13d5.法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)有a1a10a7a4，S1060，a1a1012.又a77，a45.2已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a72a46，a32，則公差d_. 【導(dǎo)學(xué)號：62172187】4法一：由題意得a32，a72a4a34d2(a3d)6，解得d4.法二：由題意得解得3設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，a35，Sk2Sk36，則k的值為_8設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2da3a14，得d2，所以an12(n1)2n1，Sk2Skak2ak12(k2)12(k1)14k436，解得k8.4若數(shù)列an滿足a115，且3an13an2，則使ak·ak1<0的k值為_233an13an2，an1an，an15(n1)n.由ann>0得n<23.5，使ak·ak1<0的k值為23.5(2017·蘇州期中)等差數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn，若S48a1，a44a2，則S10_.120an為等差數(shù)列，2da4a24，d2.由S48a1得4a1×28a1，即a13.S1010×3×2120.6(2016·全國卷改編)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100_.98法一：an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199×198.法二：an是等差數(shù)列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差數(shù)列an中，a5，a10，a15，a100成等差數(shù)列，且公差da10a5835.故a100a5(201)×598.7已知數(shù)列an中，a11且(nN)，則a10_. 【導(dǎo)學(xué)號：62172188】由得為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，1(n1)×，a10.8設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n10(nN)，則|a1|a2|a15|_.130由an2n10(nN)知an是以8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an2n100得n5，n<5時(shí)，an<0，當(dāng)n5時(shí)，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.9設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，則m_.5數(shù)列an為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列也為等差數(shù)列，即0，解得m5，經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解10數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列，且bnan1an(nN)，若b32，b1012，則a8_.3設(shè)bn的公差為d，b10b37d12(2)14，d2.b32，b1b32d246.b1b2b77b1d7×(6)21×20.又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a830，a83.二、解答題11已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)bn，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn. 【導(dǎo)學(xué)號：62172189】解(1)設(shè)該等差數(shù)列為an，則a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1·d2k×2k2k.由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)證明：由(1)得Snn(n1)，則bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即數(shù)列bn是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以Tn.12已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3·a4117，a2a522.(1)求通項(xiàng)an；(2)求Sn的最小值；(3)若數(shù)列bn是等差數(shù)列，且bn，求非零常數(shù)c.解(1)因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，所以a3a4a2a522.又a3·a4117，所以a3，a4是方程x222x1170的兩實(shí)根，又公差d>0，所以a3<a4，所以a39，a413，所以所以所以通項(xiàng)an4n3.(2)由(1)知a11，d4，所以Snna1×d2n2n22.所以當(dāng)n1時(shí)，Sn最小，最小值為S1a11.(3)由(2)知Sn2n2n，所以bn，所以b1，b2，b3.因?yàn)閿?shù)列bn是等差數(shù)列，所以2b2b1b3，即×2，所以2c2c0，所以c或c0(舍去)，經(jīng)驗(yàn)證c時(shí)，bn是等差數(shù)列，故c.B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有，則的值為_an，bn為等差數(shù)列，.，.2(2017·南京模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列an為“吉祥數(shù)列”已知等差數(shù)列bn的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列bn為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為_bn2n1設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d(d0)，k，因?yàn)閎11，則nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k，所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n1.3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解(1)證明：由題設(shè)知anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由題設(shè)知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列4(2017·蘇北四市摸底)已知數(shù)列an滿足2an1anan2k(nN，kR)，且a12，a3a54.(1)若k0，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(2)若a41，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.解(1)當(dāng)k0時(shí)，2an1anan2，即an2an1an1an，所以，數(shù)列an是等差數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為d，則解得所以，Snna1d2n×n2n.(2)由題意，2a4a3a5k，即24k，所以k2.又a42a3a223a22a16，所以a23，由2an1anan22，得(an2an1)(an1an)2.所以，數(shù)列an1an是以a2a11為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列所以an1an2n3.當(dāng)n2時(shí)，有anan12(n1)3，于是，an1an22(n2)3，an2an32(n3)3，a3a22×23，a2a12×13，疊加得，ana12(12(n1)3(n1)(n2)，所以an2×3(n1)2n24n1(n2)，又當(dāng)n1時(shí)，a12也適合所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann24n1，nN.