高考數(shù)學復習 17-18版 第7章 第34課 等差數(shù)列及其前n項和

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1、第34課 等差數(shù)列及其前n項和最新考綱內容要求ABC等差數(shù)列1等差數(shù)列的有關概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列用符號表示為an1and(nN，d為常數(shù))(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫作a，b的等差中項2等差數(shù)列的有關公式(1)通項公式：ana1(n1)d.(2)前n項和公式：Snna1.3等差數(shù)列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公

2、差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差為md的等差數(shù)列1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN，都有2an1an an2.()(3)等差數(shù)列an的單調性是由公差d決定的()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)()答案(1)(2)(3)(4)2等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S36，a30，則公差d_.2依題意得S33a

3、26，即a22，故da3a22.3(2017南京模擬)若等差數(shù)列an滿足a7a8a90，a7a100，a8a90，a90，S3S11，則當n為多少時，Sn取得最大值(1)7法一：第一行三數(shù)成等差數(shù)列，由等差中項的性質有a41a42a433a42，同理第二行也有a51a52a533a52，第三行也有a61a62a633a62，又每列也成等差數(shù)列，所以對于第二列，有a42a52a623a52，所以a41a42a43a51a52a53a61a62a633a423a523a6233a5263，所以a527.法二：由于每行每列都成等差數(shù)列，不妨取特殊情況，即這9個數(shù)均相同，顯然滿足題意，所以有6397，

4、即a527.(2)法一：由S3S11，可得3a1d11a1d，即da1.從而Snn2n(n7)2a1，因為a10，所以0，S3S11可知d0，a80，d0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當a10時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.變式訓練3(1)在等差數(shù)列an中，a3a927a6，Sn表示數(shù)列an的前n項和，則S11_.99因為a3a927a6,2a6a3a9，所以3a627，所以a69，所以S11(a1a11)11a699.(2)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S510，S1030，則S15_.60因為數(shù)列an為等差數(shù)列，所以S5，S10S5，S15S10也成等差數(shù)列，設S

5、15x，則10,20，x30成等差數(shù)列，所以22010(x30)，所以x60，即S1560.思想與方法1等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式涉及“五個量”，“知三求二”，需運用方程思想求解，特別是求a1和d.(1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為，a3d，ad，ad，a3d，.2等差數(shù)列an中，ananb(a，b為常數(shù))，SnAn2Bn(A，B為常數(shù))，均是關于“n”的函數(shù)，充分運用函數(shù)思想，借助函數(shù)的圖象、性質簡化解題過程3等差數(shù)列的四種判斷方法：(1)定義法：an1and(d是常數(shù))an是等差數(shù)列(2)等

6、差中項法：2an1anan2(nN)an是等差數(shù)列(3)通項公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列(4)前n項和公式：SnAn2Bn(A，B為常數(shù))an是等差數(shù)列易錯與防范1要注意概念中的“從第2項起”如果一個數(shù)列不是從第2項起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列2注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別3求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件課時分層訓練(三十四)A組基礎達標(建議用時：30分鐘)一、填空題1在等差數(shù)列an中，若前10項的和S1060，且a77，則a4_.5法一：由題意得解得a4a13d5.法二：由等差數(shù)列

7、的性質有a1a10a7a4，S1060，a1a1012.又a77，a45.2已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a72a46，a32，則公差d_. 【導學號：62172187】4法一：由題意得a32，a72a4a34d2(a3d)6，解得d4.法二：由題意得解得3設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a11，a35，Sk2Sk36，則k的值為_8設等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的性質可得2da3a14，得d2，所以an12(n1)2n1，Sk2Skak2ak12(k2)12(k1)14k436，解得k8.4若數(shù)列an滿足a115，且3an13an2，則使akak10得n23.5，使akak10的k值為23.

8、5(2017蘇州期中)等差數(shù)列an中，前n項和為Sn，若S48a1，a44a2，則S10_.120an為等差數(shù)列，2da4a24，d2.由S48a1得4a128a1，即a13.S101032120.6(2016全國卷改編)已知等差數(shù)列an前9項的和為27，a108，則a100_.98法一：an是等差數(shù)列，設其公差為d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.法二：an是等差數(shù)列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差數(shù)列an中，a5，a10，a15，a100成等差數(shù)列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.7已知數(shù)列an中，a11

9、且(nN)，則a10_. 【導學號：62172188】由得為首項為1，公差為的等差數(shù)列，1(n1)，a10.8設數(shù)列an的通項公式為an2n10(nN)，則|a1|a2|a15|_.130由an2n10(nN)知an是以8為首項，2為公差的等差數(shù)列，又由an2n100得n5，n5時，an0，所以a3a4，所以a39，a413，所以所以所以通項an4n3.(2)由(1)知a11，d4，所以Snna1d2n2n22.所以當n1時，Sn最小，最小值為S1a11.(3)由(2)知Sn2n2n，所以bn，所以b1，b2，b3.因為數(shù)列bn是等差數(shù)列，所以2b2b1b3，即2，所以2c2c0，所以c或c0

10、(舍去)，經驗證c時，bn是等差數(shù)列，故c.B組能力提升(建議用時：15分鐘)1設等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有，則的值為_an，bn為等差數(shù)列，.，.2(2017南京模擬)設數(shù)列an的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列an為“吉祥數(shù)列”已知等差數(shù)列bn的首項為1，公差不為0，若數(shù)列bn為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列bn的通項公式為_bn2n1設等差數(shù)列bn的公差為d(d0)，k，因為b11，則nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因為對任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得

11、d2，k，所以數(shù)列bn的通項公式為bn2n1.3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解(1)證明：由題設知anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由題設知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列

12、an為等差數(shù)列4(2017蘇北四市摸底)已知數(shù)列an滿足2an1anan2k(nN，kR)，且a12，a3a54.(1)若k0，求數(shù)列an的前n項和Sn；(2)若a41，求數(shù)列an的通項公式an.解(1)當k0時，2an1anan2，即an2an1an1an，所以，數(shù)列an是等差數(shù)列設數(shù)列an的公差為d，則解得所以，Snna1d2nn2n.(2)由題意，2a4a3a5k，即24k，所以k2.又a42a3a223a22a16，所以a23，由2an1anan22，得(an2an1)(an1an)2.所以，數(shù)列an1an是以a2a11為首項，2為公差的等差數(shù)列所以an1an2n3.當n2時，有anan12(n1)3，于是，an1an22(n2)3，an2an32(n3)3，a3a2223，a2a1213，疊加得，ana12(12(n1)3(n1)(n2)，所以an23(n1)2n24n1(n2)，又當n1時，a12也適合所以數(shù)列an的通項公式為ann24n1，nN.