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1、
課時分層訓練(九)
A組 基礎(chǔ)達標
(建議用時：30分鐘)
1．已知點A(－1,0)，點B(2,0)，動點C滿足AC＝AB，求點C與點P(1,4)所連線段的中點M的軌跡方程．
[解] 由題意可知：動點C的軌跡是以(－1,0)為圓心，3為半徑長的圓，方程為(x＋1)2＋y2＝9.
設(shè)M(x0，y0)，則由中點坐標公式可求得
C(2x0－1,2y0－4)，
代入點C的軌跡方程得4x＋4(y0－2)2＝9，
化簡得x＋(y0－2)2＝，
故點M的軌跡方程為x2＋(y－2)2＝.
2．動點P與兩定點A(a,0)，B(－a,0)連線的斜率的乘積為k，試求點P的軌跡方程，并討論軌跡
2、是什么曲線. 【導學號：62172348】
[解] 設(shè)點P(x，y)，
則kAP＝，kBP＝.
由題意得·＝k，即kx2－y2＝ka2.
所以點P的軌跡方程為kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*)
(1)當k＝0時，(*)式即y＝0，點P的軌跡是直線AB(除去A，B兩點)．
(2)當k≠0時，(*)式即－＝1，
①若k>0，點P的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線(除去A，B兩點)．
②若k<0，(*)式可化為＋＝1.
當－1
3、，B兩點)；
當k<－1時，點P的軌跡是焦點在y軸上的橢圓(除去A，B兩點)．
3．如圖65-3所示，動圓C1：x2＋y2＝t2,1
4、，故y＝1－.④
將④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此點M的軌跡方程為－y2＝1(x<－3，y<0)．
4．在圓x2＋y2＝4上任取一點P，設(shè)點P在x軸上的正投影為點D.當點P在圓上運動時，動點M滿足＝2，動點M形成的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)已知點E(1,0)，若A，B是曲線C上的兩個動點，且滿足EA⊥EB，求·的取值范圍. 【導學號：62172349】
[解] 設(shè)點M的坐標是(x，y)，點P的坐標是(x0，y0)，則點D的坐標為(x0,0)．
由＝2，得x0＝x，y0＝2y.
因為點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4.
5、①
把x0＝x，y0＝2y代入方程①，
得x2＋4y2＝4.
所以曲線C的方程為＋y2＝1.
(2)因為EA⊥EB，所以·＝0.
所以·＝·(－)＝2.
設(shè)點A(x1，y1)，則＋y＝1，即y＝1－.
所以·＝2＝(x1－1)2＋y
＝x－2x1＋1＋1－＝x－2x1＋2
＝2＋.
因為點A(x1，y1)在曲線C上，所以－2≤x1≤2.
所以≤2＋≤9，
所以·的取值范圍為.
B組 能力提升
(建議用時：15分鐘)
1．如圖65-4，已知F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為點Q，且·＝·.求動點P的軌跡C的方程．
圖65
6、-4
[解] 設(shè)點P(x，y)，則Q(－1，y)，由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化簡得C：y2＝4x.
2．已知雙曲線－y2＝1的左、右頂點分別為A1，A2，點P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同于A1，A2的兩個不同的動點，求直線A1P與A2Q交點的軌跡方程．
[解] 由題設(shè)知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，則有
直線A1P的方程為y＝(x＋)，①
直線A2Q的方程為y＝(x－)，②
聯(lián)立①②，解得∴③
∴x≠0，且|x|<.∵點P(x1，y1)在雙曲線－y2＝1上，∴－y＝1.
將③代入上式，整理得所求軌跡的
7、方程為＋y2＝1(x≠0，且x≠±)．
3．已知圓C的方程為x2＋y2＝4.
(1)直線l過點P(1,2)，且與圓C交于A，B兩點，若AB＝2，求直線l的方程；
(2)過圓C上一動點M(不在x軸上)作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點為N，若向量＝＋，求動點Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．
[解] (1)當直線l垂直于x軸時，直線方程為x＝1，l與圓的兩個交點坐標為(1，)和(1，－)，距離為2，滿足題意．
若直線l不垂直于x軸，設(shè)其方程為y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0.設(shè)圓心到此直線的距離為d，
則2＝2，得d＝1，所以＝1，解得k＝，
故所求直線方程
8、為3x－4y＋5＝0.
綜上所述，所求直線l的方程為3x－4y＋5＝0或x＝1.
(2)設(shè)點M的坐標為(x0，y0)(y0≠0)，Q點坐標為(x，y)，
則N點坐標是(0，y0)．因為＝＋，
所以(x，y)＝(x0,2y0)，即x0＝x，y0＝.
又因為M是圓C上一點，
所以x＋y＝4，
所以x2＋＝4(y≠0)，
所以Q點的軌跡方程是＋＝1(y≠0)，
這說明軌跡是中心在原點，焦點在y軸上，長軸長為8、短軸長為4的橢圓，且除去短軸端點．
4．已知點A(－1,0)，F(xiàn)(1,0)，動點P滿足·＝2||.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)在直線l：y＝2x＋2上取一點
9、Q，過點Q作軌跡C的兩條切線，切點分別為M，N.問：是否存在點Q，使得直線MN∥l？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
[解] (1)設(shè)P(x，y)，則＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)，＝(2,0)．
由·＝2||，得2(x＋1)＝2，化簡得y2＝4x.
故動點P的軌跡C的方程為y2＝4x.
(2)直線l的方程為y＝2(x＋1)，設(shè)Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
過點M的切線方程設(shè)為x－x1＝m(y－y1)，代入y2＝4x，得y2－4my＋4my1－y＝0.
由Δ＝16m2－16my1＋4y＝0，得m＝，所以過點M的切線方程為y1y＝2(x＋x1)．同理過點N的切線方程為y2y＝2(x＋x2)．
因為Q(x0，y0)在切線上，所以所以點M(x1，y1)，N(x2，y2)在直線yy0＝2(x0＋x)上，所以直線MN的方程為y0y＝2(x0＋x)．
又MN∥l，所以＝2，即y0＝1，而y0＝2(x0＋1)，所以x0＝－，故點Q的坐標為.
高考數(shù)學 17-18版 附加題部分 第3章 第65課 課時分層訓練9
