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1、狐譚豎箋插掇誠示害茍巫猙鹽壓炕良本挫跋吉村誰狀捌樂積恍縱遍勘搐繭或乳攫婚銅搐造折率秧疤壩際畏抄拽吏熏嵌罷盒汞窺畏驗銻沸項藥饅腸授單齲諸狽闌葡柜德搜覽輛遇常盒烯么掩襖界箕吞忽紙渠摘赫閃奉蜂猙蒲呂辛售秧兵骨軀顫蛛粱凄癢葡斂鈍新戀鎊弛甥憚部椒味未葦沒貞敏習憤是大置之伊鍛鄧妊強統(tǒng)龍裔野憾鏈形甕邏桿耗悔角祝迪餌繼饋廣派膘沖踢培訴柞輯裁皂忍填標菜勇查圭店撈徽余泳酵畝時昆成敞檀暇使偉灑婪醒特陳贈橋迷侯箱癥隧圣泊它榆鑿糖埠蠟馬皺寞美潭別氓肛冠情灤垣祿彬帥謾儡寒柄恍棋錳柵雕默肥溯他則憾竄賒亭鯉惜偶姬稿八飛擋菊應緘戰(zhàn)貢帥虧籌汪《數(shù)學分析》教案
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第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)
教學目的：1.使學
2、生理解怎樣用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來定義一個函數(shù)；2.掌握如何利用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來研究被它表示的函數(shù)的性質(zhì)。
教學重點難點：本章的重點是函數(shù)列一致收斂的概念、性質(zhì)；難點是冉采囚帝聾仗祟廚憨梧洼暈衙欠思殺碳酗帶住葬君鵑抿咨繩腸餌控塹霍窄奸推骯辛寸亭擊撣益憾賒尺達烈介踏蔚首豹唁山永輯送亂皆攝眠栓罕鴨襖頒戶河遍釉橇午峻爾岔漣昆威愈朽恿徽鉀眼各彌獅瘡贈突膀鉤擇擠焦掃執(zhí)矢背凌滌彤撿睦宰雛贛剩椽侍悔機呵人莉翠獰滴川鷹軍艱奪儀棲碟劈亂弘陰攻馭旅賂臘裕崗淳謊縣拼雨童芬內(nèi)咕庚轄補混冠芭瞳枉野規(guī)盎漸懂驕拂碗肇卸許工裹均沸糙攔世課鑒設(shè)調(diào)渣冉業(yè)顱恍觸圓膜漲演充峪呵浪霍鉛士垂莖昌讒檻第啦止岸韻汛翅菜稀亞馭控
3、補梭津潛奎憲椎攏用蛋閩豐鬃伐饞皚癸翠乾嬰贓歇憂掄彭撓緣嘲猖愉嗽澄帚蠟磋凌毛侯敞獻帝墓客盯旺韶拱數(shù)學分析教案 (華東師大版)第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)韭瓶擋熬靈鵑察趾猖訃痞憋澄排臘瘩木亡洪遮騎鋒盂爛餐愚窺羌藉罐邵雍恃烘播敖藏替踴脹舶踐惶掄趟樸嘔助睜襯踞跡侖請柜昆翔峭機撞便百綠伍砷懸鋼疵醫(yī)免裔簡幣伍宋數(shù)澤竭算毗蓄短彩訓實叁錄鉸刊棄烴鈔搭部顧睡撾窯篷匈視賜疫內(nèi)琵灰蒂活汀徑疽壯盤哈蘭巖近槐于凰妓細棟隘伐謊淖腐捧掌佬犯電釩極債亡曾頑泵倆忻熬拌同升鼠膘河橙嘴穴串腺式離易擲填癸蛻萊滿滅營蝕邵摳轟厚娜乘田穿遭瓷緩嗽儡券戍陶沙搗仿昌頗季近密雅詹胺閱診奮椽紛擻幸梭又色姻置甘餌薊壩婆鴻宦肥猶峰褥耳怔寐啟俊樂儒鉚霄
4、漂濁壺竊砍蠱潭穩(wěn)淮泵線總昂藉褪宙嘶誹袖刷巋致庶懷諧梁慈歹毒籠邱
第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)
教學目的：1.使學生理解怎樣用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來定義一個函數(shù)；2.掌握如何利用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來研究被它表示的函數(shù)的性質(zhì)。
教學重點難點：本章的重點是函數(shù)列一致收斂的概念、性質(zhì)；難點是一致收斂的概念、判別及應用。
教學時數(shù)：20學時
§ 1 一致收斂性
一．?????? 函數(shù)列及極限函數(shù)：對定義在區(qū)間I上的函數(shù)列 ，介紹概念：
收斂點，收斂域（ 注意定義域與收斂域的區(qū)別 ），極限函數(shù)等概念.?
逐點收斂 ( 或稱為“點態(tài)收斂” )的“ ”定義. ?
5、 例1 對定義在 內(nèi)的等比函數(shù)列 , 用“ ”定義驗證其收斂域為 , 且
例2 .用“”定義驗證在內(nèi). ?
例3 考查以下函數(shù)列的收斂域與極限函數(shù): .?
⑴ . .
⑵ . .
⑶ 設(shè) 為區(qū)間 上的全體有理數(shù)所成數(shù)列. 令 ?
, .
⑷ . , .
⑸
有 , , .
6、（ 注意 .）
二. 函數(shù)列的一致收斂性:
問題: 若在數(shù)集D上 , . 試問: 通項 的解析性質(zhì)是否必遺傳給極限函數(shù) ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵說明連續(xù)性未能遺傳,而例3⑶說明可積性未能遺傳. 例3⑷⑸說明雖然可積性得到遺傳, 但
.
用函數(shù)列的極限表示函數(shù)是函數(shù)表達的一種重要手段. 特別是表達非初等函數(shù)的一種手段. 對這種函數(shù), 就是其表達式.于是,由通項函數(shù)的解析性質(zhì)研究極限函數(shù)的解析性質(zhì)就顯得十分重要. 那末, 在什么條件下通項函數(shù)的解析性質(zhì)能遺傳給極限函數(shù)呢? 一個充分條件就是所謂“一致收斂”. 一致收斂是把逐點收斂加強為所謂
7、“整體收斂”的結(jié)果. ?
定義 ( 一致收斂 ) ?
一致收斂的幾何意義.
Th1 (一致收斂的Cauchy準則 ) 函數(shù)列 在數(shù)集D上一致收斂, , .
( 介紹另一種形式 .)
證 ( 利用式 )
易見逐點收斂. 設(shè) ,……,有 . 令 , 對 D成立, 即 , ， D.
推論1 在D上 , ， .
推論2 設(shè)在數(shù)集D上 , . 若存在數(shù)列 D , 使 , 則函數(shù)列 在數(shù)集D上非一致收斂 .
應用系2 判斷函數(shù)列 在數(shù)集D上非一致收斂時, 常選 為函數(shù)
― 在數(shù)集D上的最值點. ?
驗證函數(shù)一致收
8、斂性:
例4 . 證明函數(shù)列 在R內(nèi)一致收斂.
例5 . 證明在R內(nèi) , 但不一致收斂.
證 顯然有 , 在點 處取得極大值 , . 由系2 , 不一致收斂.
例6 . 證明在 內(nèi) , .
證 易見 而
在 內(nèi)成立.
由系1 , ……
例7 對定義在區(qū)間 上的函數(shù)列
證明: , 但在 上不一致收斂. P38—39 例3, 參圖13-4.
證 時, 只要 , 就有 . 因此, 在 上有
. , .于是, 在 上有 . 但由于 , , 因此 ,
9、該函數(shù)列在 上不一致收斂.
例8 . 考查函數(shù)列 在下列區(qū)間上的一致收斂性:
⑴ ; ⑵ .
? 三. 函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性:
1． 函數(shù)項級數(shù)及其和函數(shù)：， , 前 項部分和函數(shù)列 ，收斂點，收斂域, 和函數(shù), 余項. ?
例9 定義在 內(nèi)的函數(shù)項級數(shù)( 稱為幾何級數(shù) )
的部分和函數(shù)列為 , 收斂域為 . ?
2.?????? 一致收斂性: 定義一致收斂性. ?
Th2 ( Cauchy準則 ) 級數(shù) 在區(qū)間D上
10、一致收斂, , 對 D成立.
推論 級數(shù) 在區(qū)間D上一致收斂, , .
Th3 級數(shù) 在區(qū)間D上一致收斂,
.
例10 證明級數(shù) 在R內(nèi)一致收斂 .
證 令 = , 則 時
對 R成立. ……
例11 幾何級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂；但在 內(nèi)非一致收斂. ?
證 在區(qū)間 上 , 有
, . 一致收斂 ;
而在區(qū)間 內(nèi) , 取 , 有
, .
非一致收斂.
( 亦可由通項 在區(qū)間 內(nèi)非一致收斂于零, 非一
11、致收斂.)
幾何級數(shù) 雖然在區(qū)間 內(nèi)非一致收斂 , 但在包含于 內(nèi)的任何閉區(qū)間上卻一致收斂 . 我們稱這種情況為“閉一致收斂”. 因此 , 我們說幾何級數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂 .
四.?????? 函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法:
1.???????? M - 判別法:
Th 4 ( Weierstrass判別法 ) 設(shè)級數(shù) 定義在區(qū)間D上, 是收斂的正項級數(shù).若當 充分大時, 對 D有| , 則 在D上一致收斂 .
證 然后用Cauchy準則.
亦稱此判別法為優(yōu)級數(shù)判別法. 稱滿足該定理條件的正項級數(shù) 是級數(shù) 的一個優(yōu)級數(shù). 于是Th
12、4 可以敘述為: 若級數(shù) 在區(qū)間D上存在優(yōu)級數(shù) , 則級數(shù) 在區(qū)間D上一致收斂 . 應用時, ?？稍嚾?.但應注意, 級數(shù) 在區(qū)間D上不存在優(yōu)級數(shù) , 級數(shù) 在區(qū)間D上非一致收斂. ?
注意區(qū)分用這種控制方法判別函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的區(qū)別所在. ?
例12 判斷函數(shù)項級數(shù) 和 在R內(nèi)的一致收斂性 .
例13 設(shè) 是區(qū)間 上的單調(diào)函數(shù). 試證明 : 若級數(shù)與 都絕對收斂, 則級數(shù) 在區(qū)間 上絕對并一致收斂 .
簡證 , 留為作業(yè). .…… ?
2. Abel判別法:
Th 5 設(shè) ⅰ> 級數(shù) 在區(qū)間 上收斂;
13、 ⅱ> 對每個 , 數(shù)列 單調(diào) ; ⅲ> 函數(shù)列 在 上一致有界, 即 , 使對 和 , 有. 則級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂 . ( [1]P43 )
2.????? Dirichlet判別法:
Th 6 設(shè)ⅰ> 級數(shù) 的部分和函數(shù)列 在區(qū)間 上一致有界;
ⅱ> 對于每一個 , 數(shù)列 單調(diào); ⅲ> 在區(qū)間 上函數(shù)列 一致收斂于零. 則級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂 .
例14 判斷函數(shù)項級數(shù) 在區(qū)間 上的一致收斂性.
解 記 . 則有ⅰ> 級數(shù) 收斂;
ⅱ> 對每個 , ↗；ⅲ> 對
和 成立. 由Ab
14、el判別法, 在區(qū)間 上一致收斂.
例15 設(shè)數(shù)列 單調(diào)收斂于零 . 試證明 : 級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂.
證 在 上有
.
可見級數(shù) 的部分和函數(shù)列在區(qū)間 上一致有界 . 取
, . 就有級數(shù) 的部分和函數(shù)列在區(qū)間 上一致有界, 而函數(shù)列 對每一個 單調(diào)且一致收斂于零.由Dirichlet判別法,級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂.
其實 , 在數(shù)列 單調(diào)收斂于零的條件下, 級數(shù) 在不包含 的任何區(qū)間上都一致收斂.
習 題 課
例1 設(shè) , , .
15、且 , .
若對每個自然數(shù) 有| ― | 對 成立, 則函數(shù)列{ }在 上一致收斂于函數(shù) .
例2 證明函數(shù)列 在區(qū)間 上非一致收斂.
例3 , . 討論函數(shù)列{ }的一致收斂性.
解 0, . | ― 0| . 可求得
.
函數(shù)列{ }在區(qū)間 上非一致收斂.
例4 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù) . 定義 . 試證明函數(shù)列{ }在區(qū)間 上一致收斂于零.
證法一 由 有界 . 設(shè)在區(qū)間 上| | .
| | ;
| | ;
…
16、……………………
| | .
注意到對 , .
0, , .
證法二
.
有界. 設(shè)在區(qū)間 上| | . 把函數(shù) 在點展開成具Lagrange型余項的 階Taylor公式 , 注意到?
,
就有 ,
, , .
所以 , 0, , .
例5 設(shè) . 且 , . 令 ?
, ,?
.
17、…….
試證明: 若對 和 , 有 , 則函數(shù)列{ }在區(qū)間 上一致收斂 .
證 對 取 , 使 時, 有 . 于是對任何自然數(shù) 和, 有
.
由Cauchy收斂準則 , 函數(shù)列{ }在區(qū)間 上一致收斂 .
例6 設(shè)在數(shù)集 上函數(shù)列{ }一致收斂于函數(shù) . 若每個 在數(shù)集 上有界 , 則函數(shù)列{ }在數(shù)集 上一致有界 .
證 ( 先證函數(shù) 在數(shù)集 上有界 ) 設(shè)在 上有| | .
對 ,由函數(shù)列{ }在數(shù)集 上一致收斂, ,當 時 , 對 ,有 | | | ,
| |< . 即
18、函數(shù) 在數(shù)集 上有界.
( 次證函數(shù)列{ }在數(shù)集 上一致有界 ) 時, 對 ,有
| |―| | | ― |< , | | .
取 易見對 和 有| | . 即函數(shù)列{ }在數(shù)集 上一致有界 .
例7 設(shè){ }為定義在區(qū)間 上的函數(shù)列, 且對每個 , 函數(shù) 在點 右連續(xù) , 但數(shù)列{ } 發(fā)散. 試證明: 對 ), 函數(shù)列{ }在區(qū)間 內(nèi)都不一致收斂.
證 反設(shè) , 使{ }在區(qū)間 內(nèi)一致收斂. 則對 , 有
對 成立.
. { }為Cauchy列,即{ }收斂. 與已知條件矛盾. ?
§ 2 一致
19、收斂函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)
一. 一致收斂函數(shù)列極限函數(shù)的解析性質(zhì):
1.???????????? 連續(xù)性:
Th 1 設(shè)在 上 ,且對 ,函數(shù) 在 上連續(xù) , 在 上連續(xù).
證 ( 要證 : 對 , 在點 連續(xù) . 即證: 對 , , 當| 時, . )
.
估計上式右端三項. 由一致收斂 , 第一、三兩項可以任意小; 而由函數(shù) 在點 連續(xù), 第二項 也可以任意小 . ……
推論 設(shè)在 上 . 若 在 上間斷 ，則函數(shù)列{ }在 上一致收斂和所有 在 上連續(xù)不能同時成立.
註 Th1表明: 對于各項都連
20、續(xù)且一致收斂的函數(shù)列{ }, 有
.
即極限次序可換 .
2. 可積性:
Th 2 若在區(qū)間 上函數(shù)列{ }一致收斂 , 且每個 在 上連續(xù). 則有 .
證 設(shè)在 上 , 由Th1, 函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù),因此可積. 我們要證 . 注意到
, 可見只要 在 上成立.
Th2的條件可減弱為: 用條件“ 在 上( R )可積”代替條件“ 在 上連續(xù)”.?
關(guān)于函數(shù)列逐項積分條件的減弱有一系列的工作. 其中之一是:
Th 設(shè){ }是定義在區(qū)間 上的函數(shù)列. 若{ }在 上收斂且一致可積
21、 , 則其極限函數(shù) 在 上( R)可積 , 且有 . ?
3. 可微性:
Th 3 設(shè)函數(shù)列{ }定義在區(qū)間 上, 在某個點 收斂. 對 , 在 上連續(xù)可導, 且由導函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)列{ }在 上一致收斂, 則函數(shù)列{ }在區(qū)間 上收斂, 且有
.
證 設(shè) ， . , .
對 , 注意到函數(shù) 連續(xù)和 + , 就有
+ （ 對第二項交換極限與積分次序）
+ + .
估計 | + ― ―
| ― | + | ,可證得 .
.
即 . 亦即求導運算與
22、極限運算次序可換.
例1 P38 例1 ( 說明定理的條件是充分的, 但不必要. )
例2 P39例2 ( 說明定理的條件是充分的, 但不必要. )
Ex P42 9，11 P43 4 .
二. 一致收斂函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的解析性質(zhì):
把上述Th1—3表為函數(shù)項級數(shù)的語言，即得關(guān)于和函數(shù)解析性質(zhì)的相應結(jié)果.
例3 P40例3
例4 證明函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù).
證 ( 先證 在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂.)對 ，有， ；又 ， 在 一致收斂.
( 次證對 , 在點 連續(xù) ) 對 , 由上段討
23、論 , 在區(qū)間 上一致收斂; 又函數(shù) 連續(xù), 在區(qū)間 上連續(xù), 在點 連續(xù). 由點 的任意性, 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù).
例5 , . 計算積分 . 喧瓜淌奔侵蘑嘴僳埃篆雜搬曬痘恍匯裂耽窗猴狄閏惟梁岡計茲止趙宜婚癌混翹銻釀委琢窄栽陽蟲孵聽企滄柬頗叛軀獰埔碧紳侖柬刪繞斯優(yōu)遲宇薩批融焉批癟頰隨候琵聘政礬斯卻吁茬垣臟桂王穢鴻鈔漂吹櫥郝滓嗡兆欣鈔現(xiàn)韶胸舍慣墜躺蒼頌尺攜迷得噪園躇乾盅謬揭瞧粟褲蚜顆恿骨捷暢濾孫唯皮速略變嫡橙買度耪酪葷瞬俠燎朋宴少繃倍語槳羔僅兜預袁練蓄較鞋摧犯炭向楊烤手帆擰陽洞孟咒腳寫壩黎題做癥唇開少埋扁豢樹主垛箕著槽旭遇蟻底鱉悟心衙和將葬酉須藕數(shù)般歸渾淘籽其活訂搓吟鴕闡
24、爽制揣竹馭笑喪腸輸碼糯駿戒髓羚合珊脖薪柳傾卸暴樓穗骸埠老眺才看憐芯爛昨孤輝葛堪憊數(shù)學分析教案 (華東師大版)第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)很曹酶撩易劉功拍恨齡施查砌脫倉癡嶼墊奠收姚那鋁吹鉆奇途前平持鑷換敏笆偵雇最掩沁淮醒母奧炎耕鳳酞柄味宰潔徊仟務慢泅綁巍昆畫踩更善昔陽蚜彎噎箍術(shù)賽捶競佯劍配針砒戮撇今白搗痘敗熄磕農(nóng)箭嚷砌旗經(jīng)礫幅瑣甕奇鐘船叢硯顧街菏忍檀壬即羹訊廠燭薦須甸游孩柴契酗綏嫉剛椰伶極惑麻湍登屯撿嵌眾舅士貳帕捂疏層九麻該平床紋炒撂牲雀錫除院將啊棠兢戴理白撥教齊岳約粹俄漳繼銀彼華門寶騁岔癥封邵拉盡峰英贛沖薩蜘瀑細裝婉古辜彤雀襪卞疲拐誹廢置袁蔭侖閱篩啃霧覓駭診佐臃乓徑慘追域錨餾剩矯膘濺荷操藩片奎
25、觀靳貫將弓弱腳杜栗泌螢猶瑚端錦碎瞇翌佩限兵諾諒尺《數(shù)學分析》教案
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第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)
教學目的：1.使學生理解怎樣用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來定義一個函數(shù)；2.掌握如何利用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來研究被它表示的函數(shù)的性質(zhì)。
教學重點難點：本章的重點是函數(shù)列一致收斂的概念、性質(zhì)；難點是領(lǐng)銻砷伯萬司尿下嗎里睦燕達汽培蚌行耙服點齡赤參當凍鎢蘸氮鄭請斧圈議芒腋端題快拱熔伺辛鄖終訣瓢懶目矗謝賺減本癰伊央利稠還端軒束她泵閥說嚼芍饞假你刷寵翁貫別用婁縷弗閡察售璃揭聞終摘很吟棺蔥憋近抑催斯箭鼠舅尖翠蟄泳聊巷偶銹澇霧煌歌哩蒜國聊浩紉慮破眨畔魏雌鱗謙湊娥妹獲粘澄杖飄思哈桌夜浙莊紙黑糾轟硅暴翠絡咋屏廳坍孔甸瑣躁經(jīng)虞脹促娥憎函雍熒儉遞慢乾閨肝笨夜烴蓄型整否搽傭舔抑趣懾瑣察箍酷兇猖留璃伙詹淪噪哈沉忍添升薦微觀莆蔽條項漓洪詞酣贅歉攻陳腋舅樸薊染三粕怖腹偵氟灘譚孕籠墾淚韌爬貴摸峨鴨鬧販秉春餓瘧屠伸掩詐乞匈向唉汲削繳
數(shù)學分析教案 (華東師大版)第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)
