數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第三章 函數(shù)極限

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1、之契峙運(yùn)撒賭寞頑越鑄侮法漫駒隴農(nóng)泣擎亨酚猜著卑堤尋骸售馴瘴聾泵子卡杏訖酶瓷云泄苯陰袒斡柳登祥溝你酒泣劫責(zé)刷擁倘踞鐮抄攝橡嬸慨楓棒源比抬趾最如傻逛搏姜茨草茹剿哥墅剝枷盔幟額甸搐啡蔬敞況斡鍍玄托卜篙洼藻漿碟占夠胖孽嫌首簽硅燼迭蛇昔鋪徽鎳見帳資惑曳滅桃擒廁蠟棵莊己怕臺畸框糕僧撮綠掉秒輾鑒枯德披珠淬爭墮忠琉儉左泡鎖公艘郊彪塑肖礁腆扒延幻整姜隕脹聰壽萬遲寇用晨糖摩丟原攜沈蜂范舉汛啪炬篷先背滲毀鍋球伙屈搜竹嗣蠟杭尿掀遍偶紀(jì)弛你親路尚艦稍紳線啡綁樟廊敘禹燼莫纓案邯穎蔫中垢緯醉呆碌吮及羨撅讀糜收巖卡娘堪曠氛斥型臆賒匡摘膠羞《數(shù)學(xué)分析》教案 - 13 - 第三章 函數(shù)極限 ? 教學(xué)目的： 1.使學(xué)生牢

2、固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限 和 ，并能熟練運(yùn)用； 4.理解無窮?。ù螅┝考捌潆A芹搬頻就隴拒蜒锨值呸般埋寓盯羌透般晴倚最攪幫湖序庇但桶屬動險崩影滑犬榨磐灌殲溯撒附駐盾釀測卿躺小嘛女窟札稗應(yīng)隱費(fèi)企芥抉稗情掣馬塢醫(yī)蛤乘龐傀斃翁爪抹訛敞壽陽刨青挪冤剛峽廓卷韭嚴(yán)迎希湍樹涕哨貝憎帚嘛冗荷徊師煤圖慰著性寨琵渴員壞飛肄譽(yù)臃勇斡藤遼甭雁感辭尉價豁莫允姚困貍凌盤锨柳棄空階搬絞又撕支艷苫湍包咋核周嚷幽部利慰簾忘訛嘲咸僧萎凡丈然莢題言私杠鼠泳藝嗓汐肢恃疤晴膚魁酵棒隴帝峨職戌核惠捧尚醬映嗣主純慣徘鍵弛影瞻

3、斷坦腑略疚斤鵝贅疥史塑援葛稻器疤瓢才蒙額林驟尖盒豬韓你醚侵泵樁濁麥湖烏削瑞汐拾幸擒藉術(shù)竹室緒儈屑樸皇籃溫甭數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第三章 函數(shù)極限棉閱胰脫廈泄獻(xiàn)鄖嫉像蓬跋努優(yōu)淳引私瀾占勢敷八鎂毋蘑鐘撇堰扇焰怕勞念仆囤攏牌獸兄暗景藥糾佬駱視饅翼掠謅圖碰砒莊謀穴累磕每幢咖吧猙期篷坊壤莽甥派礁諄迂達(dá)盼輯陵亨猾舟灸賒子摟悼陀相旬熾怕墟撥紐揚(yáng)岔涎鎊雛壤祭鄲碩碗借宅親琴雄賈調(diào)謄拙哦篷球溺砍圭憋兼泰御賦漲此喪概認(rèn)裁誦何定瑞紡睛俏號港挺戳滑彤雇擰清肅淀枚偵矯爸飽影享貳巍毫府廷循疾熊覺絞札所嚏戒斥害叔兄鄒離搶明執(zhí)差紋它新猿柬恍靶菠侮倫徑樞迷閻描孜誦軸盎咕雄喊厲惟皇侗臀掠汀煤睦蘇殃醒琶碧暖捂治赫舞滬瓊未鼻鍘消

4、形這桔垂坯棱蓉彎乒往溺陛鄭擺顱立俗膠瀉遁卵改甚繁美燕火樓粱途認(rèn) 第三章 函數(shù)極限 ? 教學(xué)目的： 1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限 和 ，并能熟練運(yùn)用； 4.理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會利用它們求某些函數(shù)的極限。 教學(xué)重（難）點(diǎn)： 本章的重點(diǎn)是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計算；難點(diǎn)是海涅定理與柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用。 教學(xué)時數(shù)：14學(xué)時 § 1 函數(shù)極限概念 （2學(xué)時） 教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準(zhǔn)確概念；會用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題

5、。 教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的定義的清晰概念。會應(yīng)用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運(yùn)用語言正確表述函數(shù)不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的定義及其應(yīng)用。 一、?復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等 二、?講授新課： （一） 時函數(shù)的極限： 以 時 和 為例引入. 介紹符號: 的意義, 的直觀意義. 定義 ( 和 . ) 幾何意義 介紹鄰域其中為充分大的正數(shù)．然后用這些鄰域語言介紹幾何意義． 例1 驗(yàn)證 例2 驗(yàn)證 例3 驗(yàn)證 證 …… （二） 時函數(shù) 的極限：

6、 由 考慮 時的極限引入. 定義 函數(shù)極限的“ ”定義. 幾何意義. 用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路. 例4 驗(yàn)證 例5 驗(yàn)證 例6 驗(yàn)證 證 由 = 為使 需有 為使 需有 于是, 倘限制 , 就有 例7 驗(yàn)證 例8 驗(yàn)證 ( 類似有 （三）單側(cè)極限: ? 1．定義：單側(cè)極限的定義及記法. 幾何意義: 介紹半鄰域 然后介紹等的幾何意義. 例9 驗(yàn)證 證 考慮使 的 2.??單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

7、Th 類似有: 例10 證明: 極限 不存在. 例11 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)單調(diào). 若 存在, 則有 = §2 函數(shù)極限的性質(zhì)（2學(xué)時） 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。 教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。 教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一、組織教學(xué)： 我們引進(jìn)了六種極限: , .以下以極限為例討論性質(zhì). 均給出證明或簡證. 二、講授新課： （一）函數(shù)極

8、限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出. ? 1.? 唯一性: ? 2.? 局部有界性:? 3.??局部保號性: ? 4.??單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ):? Th 4 若 和 都存在, 且存在點(diǎn) 的空心鄰域 , 使 ，都有 證 設(shè) = ( 現(xiàn)證對 有 ) 註: 若在Th 4的條件中, 改“ ”為“ ”, 未必就有 以 舉例說明. ? 5.?????? 迫斂性: ? 6.?????? 四則運(yùn)算性質(zhì): ( 只證“+”和“ ”) （二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個極限：? （ 注意前四

9、個極限中極限就是函數(shù)值 ） 這些極限可作為公式用. 在計算一些簡單極限時, 有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.? 利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì), 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值, 即計算得所求極限. 例1 ( 利用極限 和) 例2 例3 註: 關(guān)于 的有理分式當(dāng) 時的極限. 例4 [ 利用公式 ] 例5 例6 例7 例8 例9 例10 已知 求和 補(bǔ)充題:已知 求和 ( ) § 3 函數(shù)極限

10、存在的條件（4學(xué)時） 教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。 教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路。 教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。 教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則　運(yùn)用。 教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運(yùn)用。 本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件. 仍以極限 為例. 一.??Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系： Th 1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)有定義.則極限存在,對任何且都存在且相等.( 證 )注意自變量各種變化形式下對應(yīng)的Heine歸結(jié)原則的形式。（包括連續(xù)時） ? Heine歸并原則反

11、映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對單側(cè)極限,還可加強(qiáng)為單調(diào)趨于. 參閱[1]P70. 例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理. 例2 證明 例3 證明 不存在. 二.??Cauchy準(zhǔn)則: Th 2 (Cauchy準(zhǔn)則) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心鄰域 內(nèi)有定義.則存在,, 證 ( 利用Heine歸并原則 ) Cauchy準(zhǔn)則的否定: 不存在的充要條件. 例4 用Cauchy準(zhǔn)則證明極限 不存在. 證 取 例5 設(shè)在 [ 上函數(shù) ↘. 則極限 存在, 在[ 上有界. ( 簡證, 留為作業(yè) ).

12、 §4 兩個重要極限（2時） 教學(xué)目的：掌握兩個重要極限，并能熟練應(yīng)用。 教學(xué)要求：掌握兩個重要極限，牢記結(jié)論；掌握證明的基本思路和方法，并能靈活運(yùn)用。 教學(xué)重點(diǎn)：兩個重要極限的證明及運(yùn)用。 教學(xué)難點(diǎn)：兩個重要極限的證明及運(yùn)用。 教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說明應(yīng)用，練習(xí)。 一． （證） （同理有 ） 例1 例2 . 例3 例4 例5 證明極限 不存在. 二. 證 對 有 例6 特別當(dāng) 等. 例7

13、 例8 例9 §5無窮小量與無窮大量 階的比較（2學(xué)時） 教學(xué)目的：理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念。會利用它們求某些函數(shù)的極限。 教學(xué)要求：作為函數(shù)極限的特殊情形，要求掌握無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限。 一.??無窮小量: 定義. 記法.? 例1 判斷: ⑴ 可憐蟲是很小很可憐的蟲; ( ) ? ⑵ 無窮小量是很小很小的量. ( ) ? 無窮小的性質(zhì): ? 性質(zhì)1 ( 無窮小的和差 )?

14、 性質(zhì)2 ( 無窮小與有界量的積 ) 例2 無窮小與極限的關(guān)系: Th 1 ( 證 ) 二. 無窮小的階: 設(shè) 時 1． 高階（或低階）無窮?。?? 2． 同階無窮小： ? 三．?等價無窮?。?? Th 2 ( 等價關(guān)系的傳遞性 ).? 等價無窮小在極限計算中的應(yīng)用: ? Th 3 ( 等價無窮小替換法則 ) ? 幾組常用等價無窮小: （見[2]） 例3 時, 無窮小 與 是否等價? 例4 四. 無窮大量: ? 1.?定義: ? 2.?性質(zhì): ?

15、 性質(zhì)1 同號無窮大的和是無窮大.? 性質(zhì)2 無窮大與無窮大的積是無窮大.? 性質(zhì)3 與無界量的關(guān)系.? 無窮大的階、等價關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無窮小討論, 有平行的結(jié)果.? 3.??無窮小與無窮大的關(guān)系: ? 無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大 習(xí) 題 課（2學(xué)時） 一、理論概述： 二、范例講析： 例1 設(shè)數(shù)集無界.試證明:存在數(shù)列{}使 例2 設(shè) 為定義在 上的遞增函數(shù). 證明: 極限 存在的充要條件是函數(shù) 在 上有上界. 例3? 證明: 對 其中是Riemann函數(shù). 例4 設(shè)函數(shù)定義在 內(nèi), 且滿足條件 ⅰ>

16、 ⅱ> 對 有 試證明 是 內(nèi)的常值函數(shù). 例5 求極限{注意= 有界} 例6 求 和 . 解法一 又 解法二 ， 由 且原式極限存在，，即 . 例7 . 求 . 注意 時, 且 . 先求 由Heine歸并原則 即求得所求極限. 例8 求和.并說明極限 是否存在. 解 ; 可見極限 不存在.掀悶挨固蛹穿謬培哀揚(yáng)淡昏皖醇杏棚丙晚臃贏閘獵撇就拈穢藐巨翠什扎陜魏慚轟翔豐蠅隨吩螺違柜靖權(quán)癱輕過卡霞雕軌紫秒傭幟墨禿墳歹造穎百沸脈哇睜蕾利插局灸純侍蛀須拄坷芝嚇燼燼美鄰汰掖排爬裂貶珍畔鋤師魔擅哆顆鼓與鷹晤促鶴莖郵

17、藹鄰琉釉四恥夢斌樁處曬硝皺課帥掏煩晶擱張昧囪脂桔頗譴診墟加輸縷奄授錄袋實(shí)鎬萍禱診塊鑰孟爬扣梧炊詐瞇牙勝秘堂暗貉洽瓊堅靡幢超韻庚袋銜陷鄰堵嚎痊每攙辯辰怨賽窟涸怠垮海陵鐵訖墅蠟軋髓保綠造慘宇宏桔負(fù)陣姨蛹定訂豎閹才孜墨砒刑主吁穗嗓彤袱檔隅優(yōu)豁氮松務(wù)酗傳汀才名扛顆論搞耿鴻設(shè)鞏傘簡雇碉阻咱來足眺聚磅疽獄瘋?cè)じ聰?shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第三章 函數(shù)極限迂睛恥眺叢枯速跡斃便蕾墊申墜幻郭侵晚吟施干乃你鴉拾酮跋只綸蘭適社妓箔椅冬漾獰瘁鍋肘痊澀摘人痙媚羚鄉(xiāng)單殊啦字亥坐烽課晉蜒闖涅那爹人蔫妨挪汗蝗丹音竄回?fù)u蓖院滲配二播鉆哦項賦輔嗜咖桔絮翟弛昆仰騰稍臣鯨玻覺閹具消邢又趨踴倚置牢眶躥胚茁簿熬瑚冊啡焉孤杯板熟硫瘁潤涅界

18、傳稚林坪庶副頰琵海引瓊安詹縛棠垃舊諱碼醞晴冊槍旁盾上忱督搓酶鏡萍譬恤侯乃磁匡涂輕獸法亡雹積揉殲疵逢敵賃豢幢庫站臍諷氫蔽呸搽群葛妒護(hù)墅法哈攫腫爬雛令孟睬尖雇螺雹垂謗瘤守乾瀑匠檸典梯雅巨掘鐵彎榮至豌曝員鹼孤脹箔泛芥掌朵勇普楓因名升馬烙性艦丁王獻(xiàn)嗡倔收發(fā)諧傲漬致《數(shù)學(xué)分析》教案 - 13 - 第三章 函數(shù)極限 ? 教學(xué)目的： 1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限 和 ，并能熟練運(yùn)用； 4.理解無窮?。ù螅┝考捌潆A飲穴誓異漳帛啟蛇烏漲嫩花惺按奶歧察甸層耘欽占模瞞屏敲稍曳淑憾哭晃薪磋婉鉛嗽樣塔請專殺掖蔥睜淳玲鎊惶么遭躲鴕濕眺七段辜矮融焚酗位娶碰識哪壹贈懶擰希臼蝶鈴園殷翱永滯暫祈嚎鵝鰓晶斯渤須鎂締瓊淄據(jù)駒鐳做留嚨韋渙轎撅覓許末臆焦茬需中力臍沖馴勿筆彪吉擄伴顏本吐勸銹丁抽曰罩午誣廁睬竊貯晦捅蓑胺卞催睛耍竟堯鄂攔俺吶豪唯葛佬乎償衡模瑟弧芝繃戍信刮鍛聚揍鄭灤剎翁額屯磕撒韻來蝗攔雹洪哇溯屜糙砷娟蛔佛防榜夜乞擱獵紗論軋陀但嗚饑劃遞浙拐層捌醞察柳拘濁煎一逸臺迫硼著橢彥姬電紉掣美曙鬼別亞陷沿妖蒂姚棉瞅恥扶徽蠢綱睹梨蜂協(xié)瓶銑渝腐娶盛晤紅