高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第4章 第4節(jié) 函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用. Word版含解析

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1、 第四節(jié)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 [最新考綱]　1.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出函數(shù)的圖像，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖像變化的影響.2.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型． 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示： x －

2、 ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.由y＝sin x的圖像變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的圖像 1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖像平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”． 2．由y＝sin ωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的變換：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)利用圖像變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的單位長(zhǎng)度一致．(　　) (2)將y＝3sin 2x的圖像左移個(gè)單位后所得圖像的解

3、析式是y＝3sin.(　　) (3)y＝sin的圖像是由y＝sin的圖像向右平移個(gè)單位得到的．(　　) (4)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖像的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．y＝2sin的振幅、頻率和初相分別為(　　) A．2,4π，　 B．2，， C．2，，－ D．2,4π，－ C　[由題意知A＝2，f＝＝＝，初相為－.] 2．為了得到函數(shù)y＝2sin的圖像，可以將函數(shù)y＝2sin 2x的圖像(　　) A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)

4、單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 A　[y＝2sin＝2sin 2.] 3.如圖，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，則這段曲線的函數(shù)解析式為_(kāi)_______． y＝10sin＋20，x∈[6,14]　[從題圖中可以看出，從6～14時(shí)的是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個(gè)周期． 所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20， 又×＝14－6，所以ω＝. 又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝， 所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．] 4．某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測(cè)部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購(gòu)價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出

5、現(xiàn)．下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況： 月份x 1 2 3 4 收購(gòu)價(jià)格y(元/斤) 6 7 6 5 選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述收購(gòu)價(jià)格(元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系為_(kāi)_______． y＝6－cosx　[設(shè)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，由題意得A＝1，B＝6，T＝4，因?yàn)門＝，所以ω＝，所以y＝sin＋6.因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，y＝6，所以6＝sin＋6，結(jié)合表中數(shù)據(jù)得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－， 所以y＝sin＋6＝6－cos x.] 考點(diǎn)1　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及變換 　(1)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像可用“五點(diǎn)法”作

6、簡(jiǎn)圖得到，可通過(guò)變量代換z＝ωx＋φ計(jì)算五點(diǎn)坐標(biāo)． (2)由函數(shù)y＝sin x的圖像通過(guò)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)圖像有兩條途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”． 　已知函數(shù)y＝2sin. (1)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖像； (2)[一題多解]說(shuō)明y＝2sin的圖像可由y＝sin x的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到． [解]　(1)描點(diǎn)畫出圖像，如圖所示： (2)法一：把y＝sin x的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin的圖像； 再把y＝sin的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖像； 最后把y＝sin上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)

7、伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin的圖像． 法二：將y＝sin x的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖像； 再將y＝sin 2x的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin＝sin的圖像； 再將y＝sin的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即得到y(tǒng)＝2sin的圖像． 　三角函數(shù)圖像變換中的3個(gè)注意點(diǎn) (1)變換前后，函數(shù)的名稱要一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù)． (2)要弄清變換的方向，即變換的是哪個(gè)函數(shù)的圖像，得到的是哪個(gè)函數(shù)的圖像，切不可弄錯(cuò)方向． (3)要弄準(zhǔn)變換量的大小，特別是平移變換中

8、，函數(shù)y＝Asin x到y(tǒng)＝Asin(x＋φ)的變換量是|φ|個(gè)單位，而函數(shù)y＝Asin ωx到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)時(shí)，變換量是個(gè)單位． 　1.要得到函數(shù)y＝sin的圖像，只需將函數(shù)y＝cos 5x的圖像(　　) A．向左平移個(gè)單位　　　 B．向右平移個(gè)單位 C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位 B　[函數(shù)y＝cos 5x＝sin＝sin 5， y＝sin＝sin 5， 設(shè)平移φ個(gè)單位， 則＋φ＝－， 解得φ＝－，故把函數(shù)y＝cos 5x的圖像向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)y＝sin的圖像．] 2．若把函數(shù)y＝sin的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖像與函數(shù)y＝cos

9、ωx的圖像重合，則ω的一個(gè)可能取值是(　　) A.2　　　　 B. C.　　　　 D. A　[y＝sin和函數(shù)y＝cos ωx的圖像重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，則ω＝6k＋2，k∈Z. ∴2是ω的一個(gè)可能值．] 3．將函數(shù)f(x)＝sin的圖像向左平移φ(φ＞0)個(gè)單位后，得到的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則φ的最小值為_(kāi)_______． π　[把函數(shù)f(x)＝sin的圖像向左平移φ(φ＞0)個(gè)單位后， 可得y＝sin＝sin的圖像， ∵所得圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱，∴4×＋4φ＋＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)， ∵φ＞0，∴φmin＝.] 考點(diǎn)2　由圖像確定y＝

10、Asin(ωx＋φ)的解析式 　確定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步驟 (1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，B＝. (2)求ω，確定函數(shù)的周期T，則ω＝. (3)求φ，常用方法有： ①代入法：把圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入． ②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口．具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”(即圖像的“峰點(diǎn)”)為ωx＋φ＝；“第三點(diǎn)”(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖像的“谷

11、點(diǎn)”)為ωx＋φ＝；“第五點(diǎn)”(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝2π. 　(1)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖①所示，則f(x)＝________. 　　 圖①　　　　　　圖② (2)(2019·重慶六校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分圖像如圖②所示，則f＝________. (1)2sin　(2)－　[(1)由題圖可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2，由五點(diǎn)作圖法可知2×＋φ＝，所以φ＝－， 所以函數(shù)的解析式為y＝2sin. (2)由函數(shù)的圖像可得A＝，×＝－，可得ω＝2，則2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，又0＜φ＜，所以φ＝，故f(x)

12、＝sin，所以f＝－.] 　(1)一般情況下，ω的值是唯一確定的，但φ的值是不確 定的，如果求出的φ的值不在指定范圍內(nèi)，可以通過(guò)加減的整數(shù)倍達(dá)到目的．(2)在用“零點(diǎn)”求φ時(shí)，務(wù)必關(guān)注三角函數(shù)在該點(diǎn)附近的圖像變化趨勢(shì)． 　1.(2019·開(kāi)封模擬)如果存在正整數(shù)ω和實(shí)數(shù)φ使得函數(shù)f(x)＝sin2(ωx＋φ)的圖像如圖所示(圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0))，那么ω的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[因?yàn)閒(x)＝sin2(ωx＋φ)＝－cos 2(ωx＋φ)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝，由題圖知＜1，且＞1，即＜T＜2，又ω為正整數(shù)，所以ω的值為2，故選

13、B.] 2.(2019·合肥模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B　[由題意得，A＝2，T＝4×＝π，故ω＝＝2.當(dāng)x＝時(shí)取得最大值2，所以2＝2sin，且|φ|＜，所以φ＝，所以函數(shù)的解析式為f(x)＝2sin.當(dāng)x∈時(shí)，2x＋∈，又由正弦函數(shù)y＝sin x的圖像與性質(zhì)可知，函數(shù)y＝sin x在上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增．當(dāng)x∈時(shí)，2x＋∈，由函數(shù)y＝sin x的圖像與性質(zhì)知此區(qū)間上不單調(diào)，故選B.] 3.已知函數(shù)f(x)＝si

14、n(πx＋θ)的部分圖像如圖所示，且f(0)＝－，則圖中m的值為_(kāi)_______． 　[因?yàn)閒(0)＝sin θ＝－，且|θ|＜，所以θ＝－，所以f(x)＝sin，所以f(m)＝sin＝－，所以mπ－＝2kπ＋，k∈Z，所以m＝2k＋，k∈Z.又周期T＝2，所以0＜m＜2，所以m＝.] 考點(diǎn)3　三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 　函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問(wèn)題 　已知關(guān)于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是________． (－2，－1)　[方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可轉(zhuǎn)化為m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋s

15、in 2x ＝2sin，x∈. 設(shè)2x＋＝t，則t∈， 所以題目條件可轉(zhuǎn)化為＝sin t，t∈有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根． 所以y1＝和y2＝sin t，t∈的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖： 由圖像觀察知，的取值范圍是， 故m的取值范圍是(－2，－1)．] [母題探究]　(變條件)將本例中“有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”改為“有實(shí)根”，則m的取值范圍為_(kāi)_______． [－2,1)　[由例題可知，∈， ∴－2≤m＜1，即m的取值范圍為.] 　本例在求解中，通過(guò)換元，令t＝2x＋，把原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝與y＝sin t，t∈圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，從而化繁為簡(jiǎn)，提高了解題效率． 　三角函數(shù)圖

16、像與性質(zhì)的綜合問(wèn)題 　已知函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)的圖像與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若將f(x)的圖像向左平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求當(dāng)m取得最小值時(shí)，g(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間． [解]　(1)函數(shù)f(x)的圖像與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為， 得函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝2×＝，得ω＝1， 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝sin. (2)將f(x)的圖像向左平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)＝sin＝sin的圖像，根據(jù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 可得sin＝0，即sin＝0， 所以2

17、m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)， 因?yàn)閙＞0，所以當(dāng)k＝0時(shí)，m取得最小值，且最小值為.此時(shí)，g(x)＝sin. 因?yàn)閤∈，所以2x＋∈. 當(dāng)2x＋∈，即x∈時(shí)，g(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)2x＋∈，即x∈時(shí)，g(x)單調(diào)遞增． 綜上，g(x)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間是和. 　研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時(shí)可將ωx＋φ視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題． 　1.(2019·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω ＞0，|φ|＜π)是奇函數(shù)，將y＝f(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)．若

18、g(x)的最小正周期為2π，且g＝，則f＝(　　) A．－2 B．－ C． D．2 C　[∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)， ∴φ＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴f(x)＝Asin ωx，則g(x)＝Asin.由g(x)的最小正周期T＝2π，得＝＝1，∴ω＝2.又g＝Asin ＝A＝，∴A＝2， ∴f(x)＝2sin 2x， ∴f＝2sin ＝，故選C.] 2．(2019·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)．下述四個(gè)結(jié)論： ①f(x)在(0,2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)；②f(x)在(0,2π)有且僅有2

19、個(gè)極小值點(diǎn)；③f(x)在單調(diào)遞增；④ω的取值范圍是. 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(　　) A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ D　[如圖，根據(jù)題意知，xA≤2π＜xB，根據(jù)圖像可知函數(shù)f(x)在(0,2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以①正確；但可能會(huì)有3個(gè)極小值點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；根據(jù)xA≤2π＜xB，有≤2π＜，得≤ω＜，所以④正確；當(dāng)x∈時(shí)，＜ωx＋＜＋，因?yàn)椤堞兀?，所以＋＜＜，所以函?shù)f(x)在單調(diào)遞增，所以③正確． ] 課外素養(yǎng)提升⑤　邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算——三角函數(shù)中ω的確定方法 數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，通過(guò)運(yùn)算可促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展；而邏輯推理是得到數(shù)學(xué)

20、結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式．運(yùn)算和推理貫穿于探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的始終，可交替使用，相輔相成． 三角函數(shù)的周期T與ω的關(guān)系 【例1】　為了使函數(shù)y＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的最小值為(　　) A．98π　 B．π　 　　 C．π　 　　 D．100π B　[由題意，至少出現(xiàn)50次最大值即至少需用49個(gè)周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.] [評(píng)析]　解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件弄清周期T＝與所給區(qū)間的關(guān)系，從而建立不等關(guān)系． 三角函數(shù)的單調(diào)性與ω的關(guān)系 【例2】　若f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上是增函數(shù)，則ω的取值范圍是

21、________． 　[法一：因?yàn)閤∈(ω＞0)， 所以ωx∈， 因?yàn)閒(x)＝2sin ωx在上是增函數(shù)， 所以故0＜ω≤. 法二：畫出函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω＞0)的圖像如圖所示． 要使f(x)在上是增函數(shù)， 需(ω＞0)， 即0＜ω≤. 法三：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)得 －＋≤x≤＋(k∈Z)， 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)， 由題意?(k∈Z，ω＞0)， 從而有即0＜ω≤.] [評(píng)析]　根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，建立不等式，即可求ω

22、的取值范圍． 【例3】　(1)已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若函數(shù)f(x)圖像的任何一條對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間(π，2π)，則ω的取值范圍是________．(結(jié)果用區(qū)間表示) (2)已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，則ω的取值范圍是________． (1)　(2)　[(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin， 令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)． 當(dāng)k＝0時(shí)，≤π，即≤ω， 當(dāng)k＝1時(shí)，＋≥2π，即ω≤. 綜上，≤ω≤. (2)顯然ω≠0，分兩種情況： 若ω＞0，當(dāng)x∈時(shí)，－ω≤ωx≤ω. 因函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，所以－ω≤－，解得ω≥. 若ω＜0，當(dāng)x∈時(shí)，ω≤ωx≤－ω， 因函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，所以ω≤－，解得ω≤－2. 綜上所述，符合條件的實(shí)數(shù)ω≤－2或ω≥.] [評(píng)析]　這類三角函數(shù)題除了需要熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性外，還必須知曉一個(gè)周期里函數(shù)最值的變化，以及何時(shí)取到最值，函數(shù)取到最值的區(qū)間要求與題目給定的區(qū)間的關(guān)系如何.