新版理數(shù)北師大版練習(xí)：第二章 第十節(jié) 第三課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 Word版含解析

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1、 1

2、 1 課時(shí)作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點(diǎn)練 1．(20xx·榆林市模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足(x－1)f′(x)≤0，且y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，當(dāng)|x1－1|＜|x2－1|時(shí)，有(　　) A．f(x1)≥f(x2)　　　 B．f(x1)＝f(x2) C．f(x1)＞f(x2) D．f(x1)≤f(x2) 解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，所以y＝f(x＋1)＝

3、f(－x＋1)，即函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝1對稱，所以f(2－x1)＝f(x1)，f(2－x2)＝f(x2)．當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)≤0，此時(shí)函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x＜1時(shí)，f′(x)≥0，此時(shí)函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增．①若x1≥1，x2≥1，則由|x1`－1|＜|x2－1|，得x1－1＜x2－1，即1≤x1＜x2，所以f(x1)＞f(x2)．②同理若x1＜1，x2＜1，由|x1－1|＜|x2－1|，得－(x1－1)＜－(x2－1)，即x2＜x1＜1，所以f(x1)＞f(x2)．③若x1，x2中一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，不妨設(shè)x1＜1，x2≥1，則－(x1－1)＜x2－1， 可得1＜2－

4、x1＜x2，所以f(2－x1)＞f(x2)，即f(x1)＞f(x2)． 綜上有f(x1)＞f(x2)． 答案：C 2．對任意x∈R，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，若f′(x)>f(x)，且a>0，則以下說法正確的是(　　) A．f(a)>ea·f(0) B．f(a)f(0) D．f(a)0，故g(x)＝為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此g(a)>g(0)，即>＝f(0)，所以f(a)>ea·f(0)，選A. 答案：A 3．若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，＋∞)

5、B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：∵2x(x－a)<1，∴a>x－. 令f(x)＝x－， ∴f′(x)＝1＋2－xln 2>0. ∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1， ∴a的取值范圍為(－1，＋∞)，故選D. 答案：D 4．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若p：任意x1，x2∈R，且x1≠x2，||＜2 017，q：任意x∈R，|f′(x)|＜2 017，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：因?yàn)槿我?/p>

6、x1，x2∈R，且x1≠x2，所以不妨設(shè)x1＜x2，則由||＜2 017可得|f(x1)－f(x2)|＜2 017x2－2 017 x1， 則， 即. 令g(x)＝f(x)＋2 017 x，則由單調(diào)性的定義可知g(x)在R上單調(diào)遞增，所以g′(x)＝f′(x)＋2 017≥0在R上恒成立，即f′(x)≥－2 017在R上恒成立，同理令h(x)＝f(x)－2 017x，可得f′(x)≤2 017在R上恒成立，所以p等價(jià)于任意x∈R，|f′(x)|≤2 017，顯然q可以推出p，而p推不出q，所以p是q的必要不充分條件． 答案：B 5．(20xx·昆明市檢測)已知函數(shù)f(x)＝若方程f(

7、x)－ax＝0恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0，) B．[，) C．(，] D．(－∞，0]∪[，＋∞) 解析：方程f(x)－ax＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根，即直線y＝ax與函數(shù)f(x)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示．當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＝ln x，得f′(x)＝，設(shè)直線y＝kx與函數(shù)f(x)＝ln x(x＞1)的圖像相切，切點(diǎn)為( x0，y0)，則＝＝，解得x0＝e，則k＝，即y＝x是函數(shù)f(x)＝ln x(x＞1)的圖像的切線，當(dāng)a≤0時(shí)，直線y＝ax與函數(shù)f(x)的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)0＜a＜時(shí)，直線y＝ax與函數(shù)f(x)＝l

8、n x(x＞1)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，但與射線y＝x＋1(x≤1)也有一個(gè)交點(diǎn)，這樣就有三個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a≥時(shí)，直線y＝ax與函數(shù)f(x)的圖像至多有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；只有當(dāng)≤a＜時(shí)，直線y＝ax與函數(shù)f(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意．故選B. 答案：B 6．已知函數(shù)f(x)＝m－2ln x(m∈R)，g(x)＝－，若至少存在一個(gè) x0∈[1，e]，使得f(x0)

9、]上有解，令h(x)＝，則h′(x)＝，當(dāng)1≤x≤e時(shí)，h′(x)≥0，∴在[1，e]上，h(x)max＝h(e)＝，∴<，∴m<.∴m的取值范圍是.故選B. 答案：B 7．若函數(shù)f(x)＝xex－a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．－－ C．－e0，所以由g′(x)＝0，解得x＝－1， 當(dāng)x>－1時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)為增函數(shù)；當(dāng)x<－1時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝－1時(shí)函數(shù)g(x)有最小值；g(－1)＝－e－1＝－

10、.畫出函數(shù)y＝xex的圖像，如圖所示，顯然當(dāng)－

11、1)＝－6，因此a≥－6；同理，當(dāng)x∈[－2,0)時(shí)， 得a≤－2. 由以上兩種情況得－6≤a≤－2，顯然當(dāng)x＝0時(shí)也成立， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－6，－2]． 答案：C 9．若函數(shù)f(x)＝2x＋sin x對任意的m∈[－2,2]，f(mx－3)＋f(x)<0恒成立，則x的取值范圍是 ． 解析：f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)， 若x∈R時(shí)，f′(x)＝2＋cos x>0恒成立， ∴f(x)在R上為增函數(shù)， 又f(x)為奇函數(shù)，故 在定義域內(nèi)為增函數(shù)，∴f(mx－3)＋f(x)<0可變形為f(mx－3)

12、于m的一次函數(shù)，則g(m)＝x·m－3＋x，m∈[－2,2]，可得當(dāng)m∈[－2,2]時(shí)，g(m)<0恒成立，若x≥0，g(2)<0，若x<0，g(－2)<0，解得－30， 且函數(shù)f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上為增函數(shù)， ∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3. ∴a＋b＝5. 答案：5 11．已知函數(shù)f(x)＝

13、ax＋xln x(a∈R)． (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[e，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍； (2)當(dāng)a＝1且k∈Z時(shí)，不等式k(x－1)

14、<， 即k<對任意x>1恒成立． 令g(x)＝，則g′(x)＝. 令h(x)＝x－ln x－2(x>1)， 則h′(x)＝1－＝>0， ∴h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增． ∵h(yuǎn)(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0， ∴存在x0∈(3,4)使h(x0)＝0，即g′(x0)＝0. 即當(dāng)1x0時(shí)，h(x)>0，即g′(x)>0. ∴g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增． 由h(x0)＝x0－ln x0－2＝0，得ln x0＝x0－2， g(x)min＝g(x0)＝＝ ＝x0∈(

15、3,4)， ∴k0時(shí)，由于函數(shù)y＝2mx2－x＋1的圖像的對稱軸x＝>0，故需且只需Δ>0，即1－8m>0，解得m<. 故0

16、上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為. (2)f(1)＝m－1，f′(1)＝2m，故切線方程為y－m＋1＝2m(x－1)， 即y＝2mx－m－1. 從而方程mx2－x＋ln x＝2mx－m－1在(0，＋∞)上有且只有一解． 設(shè)g(x)＝mx2－x＋ln x－(2mx－m－1)， 則g(x)在(0，＋∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 又g(1)＝0，故函數(shù)g(x)有零點(diǎn)x＝1. 則g′(x)＝2mx－1＋－2m＝＝. 當(dāng)m＝時(shí)，g′(x)≥0， 又g(x)不是常數(shù)函數(shù)，故g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)x＝1，滿足題意． 當(dāng)0

17、＝或x＝1.且>1， 由g′(x)>0，得0； 由g′(x)<0，得10， 故在上，函數(shù)g(x)又有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意． 綜上所述，m＝. B組——能力提升練 1．已知函數(shù)f(x)＝x(ln x－ax)有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，) B．(0，) C．(

18、－∞，] D．(0，] 解析：f(x)＝xln x－ax2(x＞0)，f′(x)＝ln x＋1－2ax.令g(x)＝ln x＋1－2ax， ∵函數(shù)f(x)＝x(ln x－ax)有極值，則g(x)＝0在 (0，＋∞)上有實(shí)根．g′(x)＝－2a＝， 當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)＞0，函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞，g(x)→＋∞， 故存在x0∈(0，＋∞)，使得f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)存在極小值f(x0)，符合題意． 當(dāng)a＞0時(shí)，令g′(x)＝0，得x＝.當(dāng)0＜x＜時(shí)，g′(x)＞0，函數(shù)g(x)

19、單調(diào)遞增；當(dāng)x＞時(shí)，g′(x)＜0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，∴x＝時(shí)，函數(shù)g(x)取得極大值．∵當(dāng)x→0和x→＋∞時(shí)，均有g(shù)(x)→－∞，要使g(x)＝0在(0，＋∞)上有實(shí)根，且f(x)有極值，則g()＝ln＞0，解得0＜a＜.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，)，選A. 答案：A 2．已知函數(shù)f(x)＝－k(＋ln x)，若x＝2是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　) A．(－∞，e] B．[0，e] C．(－∞，e) D．[0，e) 解析：f(x)＝－k(＋ln x)，則f′(x)＝(ex－kx)，∵x＝2是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)，∴x＝2是f(x)＝0

20、的唯一根．∴ex－kx≥0在(0，＋∞)上恒成立．令g(x)＝ex－kx(x∈(0，＋∞))，則g′(x)＝ex－k.當(dāng)k≤0時(shí)，g′(x)＞0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(0)＝1，∴g(x)≥0恒成立．當(dāng)k＞0時(shí)，g′(x)＝0的根為x＝ln k，當(dāng)0＜x＜ln k時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞ln k時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增．∴g(x)的最小值為g(ln k)＝k－kln k，∴k－kln k≥0，∴0＜k≤e，綜上所述，k≤e.故選A. 答案：A 3．(20xx·宜州調(diào)研)設(shè)f(x)＝|ln x|，若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax在區(qū)間(0

21、,4)上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：令y1＝f(x)＝|ln x|，y2＝ax，若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax在區(qū)間(0,4)上有三個(gè)零點(diǎn)，則y1＝f(x)＝|ln x|與y2＝ax的圖像(圖略)在區(qū)間(0,4)上有三個(gè)交點(diǎn)．由圖像易知，當(dāng)a≤0時(shí)，不符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，易知y1＝|ln x|與y2＝ax 的圖像在區(qū)間(0,1)上有一個(gè)交點(diǎn)，所以只需要y1＝|ln x|與y2＝ax的圖像在區(qū)間(1,4)上有兩個(gè)交點(diǎn)即可，此時(shí)|ln x|＝ln x，由ln x＝ax，得a＝.令h(x)＝，x∈(1,4)，則h′(x)＝，故函數(shù)h(x)在

22、(1，e)上單調(diào)遞增，在(e,4)上單調(diào)遞減，h(e)＝＝，h(1)＝0，h(4)＝＝，所以

23、－(3x＋4)＜0，即x＞－，故當(dāng)x＝－時(shí)，函數(shù)h(x)取得極大值．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y＝h(x)，y＝g(x)的大致圖像如圖所示，當(dāng)m≥0時(shí)，滿足g(x)≤h(x)的整數(shù)解超過兩個(gè)，不滿足條件；當(dāng)m＜0時(shí)，要使g(x)≤h(x)的整數(shù)解只有兩個(gè)，則需滿足，即，即，即－≤m＜－，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－，－)，故選B. 答案：B 5．(20xx·鄭州模擬)若函數(shù)f(x)＝x2＋－aln x(a>0)有唯一的零點(diǎn)x0，且m

24、－，h′(x)＝(a>0，x>0)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有唯一零點(diǎn)x0，所以函數(shù)g(x)，h(x)的圖像有唯一一個(gè)交點(diǎn)，即g(x)，h(x)有唯一公切點(diǎn)(x0，y0)，即由得x＋－2ln x0＝0，令φ(x)＝x＋－2ln x0，則φ(1)＝3>0，φ(2)＝5－7ln 2>0，φ(e)＝－e2＋<0，所以x0∈(2，e)，所以m＝2，n＝3，所以m＋n＝5. 答案：C 6．若函數(shù)f(x)＝＋1(a<0)沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ． 解析：f′(x)＝＝. 當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(x

25、) － 0 ＋ f(x)  極小值  若使函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)， 當(dāng)且僅當(dāng)f(2)＝＋1>0，解得a>－e2， 所以此時(shí)－e2

26、x2，f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2)， 當(dāng)x＞時(shí)，f′(x)＞0，f(x)遞增，＜x＜時(shí)，f′(x)＜0，f(x)遞減． 即有f(x)在x＝取得極小值，也為最小值， 此時(shí)y＝15×－22＝， 則x3＋y3－x2－y2≥(x3－x2)＋(y3－y2)≥－y＝－＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)，取得最小值1. 答案：1 8．(20xx·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝x|x2－a|，若存在x∈[1,2]，使得f(x)<2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ． 解析：當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)＝|x3－ax|， 由f(x)<2可得－2

27、為－x2－<－a<－x2＋， 設(shè)g(x)＝－x2－，導(dǎo)數(shù)為g′(x)＝－2x＋， 當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，g′(x)≤0， 即g(x)在[1,2]上單調(diào)遞減， 所以g(x)min＝－4－1＝－5， 即有－a>－5，即a<5； 設(shè)h(x)＝－x2＋，導(dǎo)數(shù)為h′(x)＝－2x－， 當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，h′(x)<0， 即h(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，可得h(x)max＝－1＋2＝1.即有－a<1，即a>－1. 綜上可得，a的取值范圍是－1

28、(2)當(dāng)m≥0時(shí)，討論函數(shù)f(x)與g(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝，當(dāng)m≤0時(shí)，f′(x)>0， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間． 當(dāng)m>0時(shí)，f′(x)＝，當(dāng)0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增． 綜上：當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)m>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)． (2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mln x，x>0，問題等價(jià)于

29、求函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 當(dāng)m＝0時(shí)，F(xiàn)(x)＝－x2＋x，x>0，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)m≠0時(shí)，F(xiàn)′(x)＝－， 當(dāng)m＝1時(shí)，F(xiàn)′(x)≤0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)，注意到F(1)＝>0，F(xiàn)(4)＝－ln 4<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)． 當(dāng)m>1時(shí)，0m時(shí)，F(xiàn)′(x)<0；10，所以函數(shù)F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上單調(diào)遞減，在(1，m)上單調(diào)遞增，注意到F(1)＝m＋>0， F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)． 當(dāng)01時(shí)，F(xiàn)′(x)<0；m0， 所以函數(shù)F(

30、x)在(0，m)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(m,1)上單調(diào)遞增，易得ln m<0， 所以F(m)＝(m＋2－2ln m)>0，而F(2m＋2)＝ －mln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)． 綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn)． 10．(20xx·衡水模擬)已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝aln x＋x2－4x. (1)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在x＝1處取得極值？證明你的結(jié)論． (2)設(shè)g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈，使得f(x0)≤g(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝＋2x－4＝.

31、假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在x＝1處取極值，則f′(1)＝0， 所以a＝2，此時(shí)，f′(x)＝，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以x＝1不是f(x)的極值點(diǎn)． 故不存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在x＝1處取得極值． (2)由f(x0)≤g(x0)，得(x0－ln x0)a≥x－2x0， 記F(x)＝x－ln x(x>0)，所以F′(x)＝(x>0)， 所以當(dāng)01時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增． 所以F(x)≥F(1)＝1>0， 所以a≥，記G(x)＝，x∈， 所以G′(x)＝＝. 因?yàn)閤∈，所以2－2ln x＝2(1－ln x)≥0， 所以x－2ln x＋2>0， 所以x∈時(shí)，G′(x)<0，G(x)單調(diào)遞減； x∈(1，e)時(shí)，G′(x)>0，G(x)單調(diào)遞增， 所以G(x)min＝G(1)＝－1，所以a≥G(x)min＝－1. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)．