新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第3章 第7節(jié)　三角形中的幾何計(jì)算、解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 Word版含解析

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1、 第七節(jié)　三角形中的幾何計(jì)算、解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 [考綱傳真]　能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題． 1．仰角和俯角 在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角．(如圖3-7-1①)． 　　?、佟　　　　　　　　　　、? 圖3-7-1 2．方位角和方向角 (1)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖3-7-1②)． (2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°等． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打

2、“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(　　) (2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.(　　) (3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．(　　) (4)如圖3-7-2，為了測(cè)量隧道口AB的長(zhǎng)度，可測(cè)量數(shù)據(jù)a，b，γ進(jìn)行計(jì)算．(　　) 圖3-7-2 [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB＝10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：5796217

3、9】 A．10 n mile B. n mile C．5 n mile D．5 n mile D　[如圖，在△ABC中， AB＝10，∠A＝60°， ∠B＝75°，∠C＝45°， ∴＝， ∴BC＝5.] 3．若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962180】 A．北偏東15° B．北偏西15° C．北偏東10° D．北偏西10° B　[如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.] 4．如圖3-

4、7-3，要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔的高度，選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)．在甲、乙兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500 m，則電視塔的高度是(　　) 圖3-7-3 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962181】 A．100 m B．400 m C．200 m D．500 m D　[設(shè)塔高為x m，則由已知可得BC＝x m，BD＝x m，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．] 5．如圖3-7-4，已知A，B兩點(diǎn)分別在河的兩岸，某測(cè)量

5、者在點(diǎn)A所在的河岸邊另選定一點(diǎn)C，測(cè)得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點(diǎn)的距離為(　　) 圖3-7-4 A．50 m B．25 m C．25 m D．50 m D　[因?yàn)椤螦CB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50 m．] 測(cè)量距離問題 　如圖3-7-5，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時(shí)氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin

6、37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 圖3-7-5 60　[如圖所示，過A作AD⊥CB且交CB的延長(zhǎng)線于D. 在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m. 在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°， ∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92 m， 由正弦定理＝，得 ＝，即＝， 解得BC＝≈60(m)．] [規(guī)律方法]　應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題需要下列三步： (1)根據(jù)題意，畫出示意圖，并標(biāo)出條件； (2)將所求問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中(如本例借助方位角構(gòu)建三角形)，通過合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識(shí)

7、正確求解； (3)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否符合實(shí)際意義，得出正確答案． [變式訓(xùn)練1]　江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距________m. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962182】 10　[如圖，OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)， 在△MON中，由余弦定理得， MN＝＝＝10(m)．] 測(cè)量高度問題 　(20xx·湖北高考)如圖3-7-6，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北3

8、0°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝______m. 圖3-7-6 100　[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m. 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300× ＝100(m)．] [規(guī)律方法]　1.在測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角． 2．分清已知條件與所求，畫出示意圖；明確在哪個(gè)三角形內(nèi)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)

9、的三角形，并注意綜合運(yùn)用方程、平面幾何、立體幾何等知識(shí)． [變式訓(xùn)練2]　如圖3-7-7，從某電視塔CO的正東方向的A處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在電視塔的南偏西60°的B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，AB間的距離為35米，則這個(gè)電視塔的高度為________米． 圖3-7-7 5　[如圖，可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°， ∠OBC＝45°，AB＝35米． 設(shè)OC＝x米，則OA＝x米，OB＝x米． 在△ABO中，由余弦定理， 得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB， 即352＝＋x2－x2·cos 150°， 整理得x＝5， 所以此電視塔的高度是

10、5米．] 測(cè)量角度問題 　在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向、距離A處(－1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75°方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船．同時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多長(zhǎng)時(shí)間？ [解]　設(shè)緝私船t小時(shí)后在D處追上走私船，則有CD＝10t，BD＝10t. 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°. 3分 根據(jù)余弦定理，可得 BC＝ ＝， 由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC＝45°，因此BC與正北方向垂

11、直. 7分 于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°，又＝， 即＝，得t＝.∴當(dāng)緝私船沿北偏東60°的方向能最快追上走私船，最少要花小時(shí). 12分 [規(guī)律方法]　解決測(cè)量角度問題的注意事項(xiàng) (1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義． (2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步． (3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用． [變式訓(xùn)練3]　如圖3-7-8，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把

12、消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cos θ的值． 圖3-7-8 [解]　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800?BC＝20. 4分 由正弦定理，得＝?sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 8分 由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝－sin∠ACB sin 30°＝. 12分 [思想與方法] 解三角形應(yīng)用題的兩種情形 (1)已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． [易錯(cuò)與防范] 1．“方位角”與“方向角”的區(qū)別：方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是. 2．在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．