新版高三數(shù)學(xué)理33個(gè)黃金考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)05 函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性解析版 Word版含解析

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1、 1

2、 1 高三數(shù)學(xué)33個(gè)黃金考點(diǎn)總動(dòng)員 【考點(diǎn)剖析】 一．最新考試說(shuō)明： 1．理解函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)討論和證明函數(shù)的單調(diào)性． 2．理解函數(shù)的奇偶性，會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性． 3．利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值． 二．命題方向預(yù)測(cè)： 1．利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間、比較大小、解不等式、求變量的取值是歷年高考考查的熱點(diǎn)． 2．函數(shù)的奇偶性是高考考查的熱點(diǎn)． 3．函

3、數(shù)奇偶性的判斷、利用奇偶函數(shù)圖象特點(diǎn)解決相關(guān)問(wèn)題、利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值等問(wèn)題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)． 3．題型以選擇題和填空題為主，函數(shù)性質(zhì)與其它知識(shí)點(diǎn)交匯命題． 三．課本結(jié)論總結(jié)： 1．奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反． 注意：確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法、性質(zhì)法等．　 2．若奇函數(shù)定義域中有0，則必有．即的定義域時(shí)，是為奇函數(shù)的必要非充分條件． 對(duì)于偶函數(shù)而言有：． 3．確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用

4、：定義法（取值、作差、鑒定）、導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等． 4．若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則可以表示為，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和． 5．既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意一個(gè)數(shù)集）． 6．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同增異減”；復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”．復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化（即復(fù)合有意義）． 7．函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對(duì)稱(chēng)． 推廣一：如果函數(shù)對(duì)于一切，都有成立，那么的圖像關(guān)于直線（由“和的一半確定”）對(duì)稱(chēng)． 推廣二：函數(shù)，的圖像關(guān)于直線（由確定）對(duì)稱(chēng)． 8．函數(shù)與函數(shù)

5、的圖像關(guān)于直線（軸）對(duì)稱(chēng)． 推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（由“和的一半 確定”）． 9．函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)． 推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)． 10．函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)． 推廣：曲線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)曲線是；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)曲線是． 11．曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得曲線是（逆時(shí)針橫變?cè)俳粨Q）．特別：繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，若有反函數(shù)，則得． 曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得曲線是（順時(shí)針縱變?cè)俳粨Q）．特別：繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，若有反函數(shù)，則得． 12．類(lèi)比“三角函數(shù)圖像”得： 若圖像有兩條對(duì)稱(chēng)軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為． 若圖像有兩個(gè)對(duì)

6、稱(chēng)中心，則是周期函數(shù)，且一周期為． 如果函數(shù)的圖像有下一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心和一條對(duì)稱(chēng)軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為． 如果是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為，那么． 特別：若恒成立，則． 若恒成立，則．若恒成立，則． 如果是周期函數(shù)，那么的定義域“無(wú)界”． 四、名師二級(jí)結(jié)論： 一個(gè)防范 函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數(shù)分別在(－∞，0)，(0，＋∞)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說(shuō)它在整個(gè)定義域即(－∞，0)∪(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開(kāi)寫(xiě)，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”連接． 一條規(guī)律 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇

7、偶性的必要條件． 注意：分段函數(shù)判斷奇偶性應(yīng)分段分別證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對(duì)稱(chēng)的兩段上都滿足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性． 兩個(gè)應(yīng)用 1．已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式． 抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式． 2．已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)． 常常采用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(－x)＝0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性可得知字母的值． 三種方法 判斷函數(shù)單調(diào)性的三種方法方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)導(dǎo)數(shù)法． 判斷函數(shù)的奇偶性的三種方法：(1)定義法；(

8、2)圖象法；(3)性質(zhì)法． 在判斷函數(shù)是否具有奇偶性時(shí)，為了便于判斷，有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，或應(yīng)用定義的變通形式： f(－x)＝±f(x) f(－x)±f(x)＝0＝±1，f(x)≠0． 四條性質(zhì) 1．若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0． 2．設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 3．奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性． 4．若f(x)是偶函數(shù)，則有f(-x)＝f(x)＝f(|x|)． 五、課本經(jīng)典習(xí)題： (1)新課

9、標(biāo)人教A版必修一第36頁(yè)練習(xí)第1（3）題 判斷下列函數(shù)的奇偶性：． 【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題，可以進(jìn)行多角度變式． 變式題：關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；③的最小值是；④在區(qū)間上是增函數(shù)；⑤無(wú)最大值，也無(wú)最小值．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ． 解： 為偶函數(shù)，故①正確；令，則當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，∴②⑤錯(cuò)誤，③④正確，故選①③④． (2)新課標(biāo)人教A版必修一第44頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第八題 設(shè)，求證：（1）；（2）． 【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題，可以進(jìn)行改編、變式或拓展． 改編：設(shè)定在R上的函數(shù)滿足：，則 ．

10、 解：由．得 ．由所求式子特征考查： ．． (3)新課標(biāo)人教A版必修一第83頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第3題 對(duì)于函數(shù)． （1）探索函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使為奇函數(shù)？ 【經(jīng)典理由】典型的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題，可以進(jìn)行改編、變式或拓展． 改編 對(duì)于函數(shù)．（1）用定義證明：在R上是單調(diào)減函數(shù)；（2）若是奇函數(shù)，求a值；（3）在（2）的條件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0． 證明：（1）設(shè)＜，則f（）-f（）=-=． ∵-＞0，＞0，＞0．即f（）-f（）＞0．∴f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù) （2）∵是奇函數(shù)，∴f（0）=0a=-1． （3）由（1）（2）可得在R上是單調(diào)

11、減函數(shù)且是奇函數(shù)，∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．轉(zhuǎn)化為f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），2t+1≥-t+5t≥，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集為：{t|t≥}． (4)新課標(biāo)人教A版必修一第83頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第4題 設(shè)，求證： （1）；（2）；（3）． 【經(jīng)典理由】典型的證明函數(shù)性質(zhì)題，可以進(jìn)行改編、變式或拓展． 改編1：設(shè)，給出如下結(jié)論：①對(duì)任意，有；②存在實(shí)數(shù)，使得；③不存在實(shí)數(shù)，使得；④對(duì)任意，有； 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 解：對(duì)于①： 對(duì)于②：，即恒有； 對(duì)于③：，故不存在，使 對(duì)于④： ，故正確的有①③④

12、改編2：已知函數(shù)滿足，且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 解：，得， 即，解得，，即得 ，參數(shù)分離得，因?yàn)? （當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的解滿足），所以． 六．考點(diǎn)交匯展示： (1)函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的零點(diǎn)交匯 例1．【20xx高考安徽，理2】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A (2) 函數(shù)的周期性與函數(shù)的零點(diǎn)交匯 例2．【20xx高考江蘇卷第13題】已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 【

13、答案】 【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)，周期函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題． (3) 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等的交匯問(wèn)題 例3．【20xx高考江蘇第19題】已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （1）證明：是上的偶函數(shù)； （2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）已知正數(shù)滿足：存在，使得成立，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． 【解析】 試題分析：（1）判斷函數(shù)的奇偶性，一般根據(jù)奇偶性的定義判斷，本題中首先有函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)的，其次計(jì)算，得到，故它是偶函數(shù)；（2）不等式恒成立問(wèn)題，由于本題

14、中，即，因此采用分離參數(shù)法求參數(shù)取值范圍，原不等式可化為 （2）由得，由于當(dāng)時(shí)，，因此，即，所以，令，設(shè)，則，，∵，∴（時(shí)等號(hào)成立），即，，所以． （3）由題意，不等式在上有解，由得 ，記，，顯然，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)椋?，故函?shù)在上增函數(shù)，，于是在 上有解，等價(jià)于，即．考察函數(shù) ，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，，，所以當(dāng)時(shí)，，即，，當(dāng)時(shí)，，即，，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． 【考點(diǎn)】（1）偶函數(shù)的判斷；（2）不等式恒成立問(wèn)題與函數(shù)的交匯；（3）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，比較大?。? 【考點(diǎn)分類(lèi)】 熱點(diǎn)一 函數(shù)的單調(diào)性 1．【20xx高考湖南，理5】設(shè)函數(shù)，則是（

15、 ） A.奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B. 奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) C. 偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D. 偶函數(shù)，且在上是減函數(shù) 【答案】A. 考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性． 2．【20xx遼寧高考理第3題】已知，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：所以，故選C． 考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用． 3．【20xx陜西高考理第7題】下列函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 考點(diǎn)：函數(shù)求值；函數(shù)的單調(diào)性． 4．【20xx天津高考理第4題

16、】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （　　） （A） （B） （C） （D） 【答案】D． 【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由于外層函?shù)為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，只要求的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，得單調(diào)遞增區(qū)間為，故選D． 考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）． 【方法規(guī)律】 1．對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法： (1)可以結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)求解． (2)可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之．但是，對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，一般采用定義法進(jìn)行． 2．求函數(shù)的單調(diào)

17、區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致． (1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間． (2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義確定單調(diào)區(qū)間． (3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間． (4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 3．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：f(x)在定義域上(或某一單調(diào)區(qū)間上)具有單調(diào)性，則f(x1)

18、)求解，但無(wú)論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行． 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】 誤區(qū)1． 用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，錯(cuò)用“自己證明自己”而致錯(cuò)（循環(huán)論證）． 【例1】（20xx廣州綜合測(cè)試）證明：函數(shù)f(x)＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 【錯(cuò)證】設(shè)0≤x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝，所以，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 【剖析】該證法犯了邏輯上的循環(huán)論證的錯(cuò)誤，本來(lái)要證明f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，可在由x1＜x2得到時(shí)，就用到了f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)的結(jié)論，犯下了“自己證明自己”的錯(cuò)誤． 誤區(qū)2．求

19、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，忽視函數(shù)的定義域而致錯(cuò) 【例2】（20xx浙江寧波十校聯(lián)考）求y＝的單調(diào)區(qū)間． 【錯(cuò)解】令t＝x2－4x－12，則t＝x2－4x－12在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，又y＝是增函數(shù)，所以y＝的單調(diào)區(qū)間是(－∞，2]與[2，＋∞)，其中在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增． 【剖析】上述解答錯(cuò)誤的原因是忽視了函數(shù)的定義域{x|x≤－2或x≥6}． 【正解】由x2－4x－12≥0，得x≤－2或x≥6，令t＝x2－4x－12，則t＝(x－2)2－16在(－∞，2]上是減函數(shù)，在[2，＋∞)上是增函數(shù)．又y＝是增函數(shù)，所以y＝的單調(diào)區(qū)間是(－∞，－2]與

20、[6，＋∞)，其中在(－∞，－2]上遞減，在[6，＋∞)上遞增． 【點(diǎn)撥】求解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，必須考慮函數(shù)的定義域，建立“定義域優(yōu)先”意識(shí)． 誤區(qū)3． 忽視隱含條件致誤 【例3】已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是(　　) 【錯(cuò)解】誤選B項(xiàng)的原因只是考慮到了使得各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為減函數(shù)的條件，要知道函數(shù)在R上為減函數(shù)，還需使得f(x)＝(3a－1)x＋4a在x＜1上的最小值不小于f(x)＝logax在x≥1上的最大值，多數(shù)考生易漏掉這一限制條件而造成失誤． 【正解】據(jù)題意使原函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)，只需滿足：．故選C． 【點(diǎn)評(píng)】一般地，若函數(shù)

21、f(x)在區(qū)間[a，b)上為增函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上為增函數(shù)，則不一定說(shuō)明函數(shù)f(x)在[a，c]為增函數(shù)，如圖（1），由圖像可知函數(shù)f(x)在[a，c]上整體不呈上升趨勢(shì)，故此時(shí)不能說(shuō)f(x)在[a，c]上為增函數(shù)，若圖象滿足如圖（2），即可說(shuō)明函數(shù)在[a，c]上為增函數(shù)，即只需f(x)在[a，b)上的最大值不大于f(x)在[b，c]上的最小值即可，同理減函數(shù)的情況依據(jù)上述思路也可推得相應(yīng)結(jié)論． 圖（1） 圖（2） 需注意以下兩點(diǎn)： (1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，如果一個(gè)函數(shù)在其定義域的幾個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù)(或減函數(shù))，不能認(rèn)為這個(gè)函數(shù)在其定義域上就是增函數(shù)(或減函數(shù))

22、，例如函數(shù)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上也是減函數(shù)，但不能說(shuō)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x1＝－1，x2＝1時(shí)，有f(x1)＝－1＜f(x2)＝1不滿足減函數(shù)的定義． (2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)有多個(gè)時(shí)，一般不能直接用“∪”將它們連接起來(lái)，例如：函數(shù) y＝x3－3x的單調(diào)增區(qū)間有兩個(gè)：(－∞，－1)和(1，＋∞)不能寫(xiě)成(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 熱點(diǎn)二 函數(shù)的奇偶性 1．【20xx高考廣東，理3】下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 【

23、答案】． 考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性． 2．【20xx高考湖南卷第3題】已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則( ) A． B． C． 1 D． 3 【答案】C 【解析】分別令和可得和，因?yàn)楹瘮?shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，即 ，則，故選C． 考點(diǎn):奇偶性． 3．【20xx全國(guó)1高考理第3題】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A．是偶函數(shù) B． 是奇函數(shù) C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù) 【答案】C 考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性． 4．

24、【20xx高考新課標(biāo)1，理13】若函數(shù)f(x)=為偶函數(shù)，則a= 【答案】1 【解析】由題知是奇函數(shù)，所以 =，解得=1. 考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性 【方法規(guī)律】 1．判斷函數(shù)奇偶性的方法 (1)定義法 一般地，對(duì)于較簡(jiǎn)單的函數(shù)解析式，可通過(guò)定義直接作出判斷；對(duì)于較復(fù)雜的解析式，可先對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用定義進(jìn)行判斷．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： (2)圖象法 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)．因此要證函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，只需證明此函數(shù)是奇函數(shù)即可；要證函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，只需證明此函數(shù)是偶函數(shù)即可．反之，也可利用函數(shù)圖象的對(duì)

25、稱(chēng)性去判斷函數(shù)的奇偶性． (3)組合函數(shù)奇偶性的判定方法 ①兩個(gè)奇(偶)函數(shù)的和、差還是奇(偶)函數(shù)，一奇一偶之和為非奇非偶函數(shù)． ②奇偶性相同的兩函數(shù)之積(商)為偶函數(shù)，奇偶性不同的兩函數(shù)之積(商)(分母不為0)為奇函數(shù)． ③復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”． (4)分段函數(shù)的奇偶性判定 分段函數(shù)應(yīng)分段討論，注意奇偶函數(shù)的整體性質(zhì)，要避免分段下結(jié)論． 2．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用技巧 (1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式 抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式． (2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式及

26、奇偶性求參數(shù) 常常采用待定系數(shù)法，利用f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于x的恒等式，由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得字母的值． (3)奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相反． 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)，其定義中要求f(x)和f(－x)必須同時(shí)存在，所以函數(shù)定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這是函數(shù)具有奇偶性的前提．如果某一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它一定是非奇非偶函數(shù)． 誤區(qū)．不明分段函數(shù)奇偶性概念致錯(cuò) 【例1】（20xx北京東城期末）判斷的奇偶性． 【錯(cuò)解】當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，f(－x)＝(－x

27、)2＋2(－x)＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)． 當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．所以f(x)是奇函數(shù)． 【剖析】漏x＝0情況． 【正解】盡管對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)不為零的x，都有f(－x)＝－f(x)成立，但當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝3≠－f(0)，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 熱點(diǎn)三 函數(shù)的周期性 1．【20xx四川高考理第12題】設(shè)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，則 ． 【答案】1 【解析】 試題分析：． 考點(diǎn):周期函數(shù)及分段函數(shù)． 2．設(shè)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)

28、時(shí)，,則 ． 【答案】-1 考點(diǎn):周期函數(shù)及分段函數(shù)． 【方法規(guī)律】 1．(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有 ，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫f(x)的周期．如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫f(x)的最小正周期． (2)周期函數(shù)不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，則kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期，周期函數(shù)的定義域無(wú)上、下界． 2．函數(shù)周期性的相關(guān)結(jié)論． 設(shè)a是非零常數(shù)，若對(duì)f(x)定義域內(nèi)的任意x，恒有下列條件之一成立：①f(x＋a)＝－f

29、(x)；②；③；④f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期．(以上各式中分母均不為零)． 【解題技巧】 求函數(shù)周期的方法 求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式計(jì)算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a．換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． 熱點(diǎn)四 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 1．【20xx高考天津，理7】已知定義在 上的函數(shù) （為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，記 ，則 的大小關(guān)系為(

30、 ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 考點(diǎn):1.函數(shù)奇偶性；2.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算. 2.【20xx高考福建卷第7題】已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 是偶函數(shù) B． 是增函數(shù) C．是周期函數(shù) D．的值域?yàn)? 【答案】D 【解析】 試題分析：由于分段函數(shù)的左右兩邊的函數(shù)圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以A不正確．由于圖象左邊不單調(diào)，所以B不正確．由于圖象x>0部分的圖象不是沒(méi)有周期性，所以C不正確．故選D． 考點(diǎn)：1．分段函數(shù)．2．函數(shù)的性質(zhì)． 3．【20xx全國(guó)2高考理第15題】已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，．若，則的取值范圍是__________．

31、 【答案】 【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以不等式，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得． 考點(diǎn):1.抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性；2.絕對(duì)值不等式的解法． 4. 【20xx高考上海理科第18題】若是的最小值，則的取值范圍為（ ）. A.[-1,2] B.[-1，0] C.[1，2] D. 【答案】D 考點(diǎn):1.函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)的最值． 【方法規(guī)律】 1．解這類(lèi)綜合題的一般方法 在解決函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題中，如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，根據(jù)簡(jiǎn)圖進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，就可以把抽象問(wèn)題變的直觀形象、復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，對(duì)問(wèn)題的解決有很大的幫助．

32、（1）一般的解題步驟：利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大，然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)整正負(fù)號(hào)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大?。? （2）畫(huà)函數(shù)草圖的步驟：由已知條件確定特殊點(diǎn)的位置，然后利用單調(diào)性確定一段區(qū)間的圖象，再利用奇偶性確定對(duì)稱(chēng)區(qū)間的圖象，最后利用周期性確定整個(gè)定義域內(nèi)的圖象． 2． 函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性之間內(nèi)在聯(lián)系 若函數(shù)有兩條對(duì)稱(chēng)軸(或兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，或一對(duì)稱(chēng)軸一對(duì)稱(chēng)中心)，則該函數(shù)必是周期函數(shù)．特別地，有以下結(jié)論(其中a≠0)： 若f(x)有對(duì)稱(chēng)軸x＝a，且是偶函數(shù)，則f(x)的周期為2a； 若f(x)有對(duì)稱(chēng)軸x＝a，且是奇函數(shù)，則f(x)的周期為4a； 若f(x)有

33、對(duì)稱(chēng)中心(a，0)，且是偶函數(shù)，則f(x)的周期為4a； 若f(x)有對(duì)稱(chēng)中心(a，0)，且是奇函數(shù)，則f(x)的周期為2a． 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】 誤區(qū)1．函數(shù)的性質(zhì)挖掘不全致誤 【例1】奇函數(shù)f(x)定義在R上，且對(duì)常數(shù)T＞0，恒有f(x＋T)＝f(x)，則在區(qū)間[0，2T]上，方程f(x)＝0根的個(gè)數(shù)至少有 (　　) A．3個(gè)　　　 B．4個(gè)　　　 C．5個(gè)　　　 D．6個(gè) 【錯(cuò)解】由f(x)是R上的奇函

34、數(shù)，得f(0)＝0x1＝0．再由f(x＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0x2＝T，x3＝2T．即在區(qū)間[0，2T]上，方程f(x)＝0根的個(gè)數(shù)最小值為3個(gè)． 【剖析】本題的抽象函數(shù)是奇函數(shù)與周期函數(shù)的交匯．即……①……②解時(shí)要把抽象性質(zhì)用足，不僅要充分利用各個(gè)函數(shù)方程，還要注意方程①和②互動(dòng)． 【正解】由方程①得f(0)＝0x1＝0．再由方程②得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0x2＝T，x3＝2T． 又∵，令x＝0得．又再由②得 ，故方程f(x)＝0至少有5個(gè)實(shí)數(shù)根．故選C． 誤區(qū)2．忽視隱含條件的挖掘致誤 【例2】（20xx江蘇模擬）設(shè)f(x)是定義在R上且周期

35、為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1]上， 其中a，b∈R．若，則a＋3b的值為_(kāi)_______． 【錯(cuò)解】因?yàn)閒(x)的周期為2，所以，即．又因?yàn)? ，所以． 【剖析】 (1)轉(zhuǎn)化能力差，不能把所給區(qū)間和周期聯(lián)系起來(lái)；(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，從而無(wú)法求出a、b的值． 【正解】因?yàn)閒(x)的周期為2，所以，即．又因?yàn)? ，所以．整理，得．① 又因?yàn)閒(－1)＝f(1)，所以，即b＝－2a． ② 將②代入①，得a＝2，b＝－4．所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10． 【熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】 1．【廣州市珠海區(qū)高三8月摸底考試5】下列函數(shù)在其定義

36、域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 2．【北京市重點(diǎn)中學(xué)高三8月開(kāi)學(xué)測(cè)試3】已知函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．是偶函數(shù) B．在上是增函數(shù) C．是周期函數(shù) D．的值域?yàn)? 【答案】D． 【解析】 試題分析：A：當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，∴A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，在上不是一直單調(diào)遞增的，∴B錯(cuò)誤；C：當(dāng)時(shí)，不是周期函數(shù)，∴C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的值域?yàn)?，∴D正確． 3．【河南省安陽(yáng)一中高三第一次月考2】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　 　) A．(0，＋∞)

37、 B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 【答案】Ｄ 【解析】 試題分析：首先由得函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－2) (2，＋∞)；再令，則在（０，＋∞）是減函數(shù)，又因?yàn)樵?－∞，－2)上是減函數(shù)；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)；故選Ｄ． 4．已知，方程在［0，1］內(nèi)有且只有一個(gè)根，則在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為（ ） A．20xx B．1006 C．20xx D．1007 【答案】C 5．【浙江省嘉興市高三3月教學(xué)測(cè)試（一）】若的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則( )

38、 A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 試題分析：，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．故選B． 6．【浙江省嘉興市高三3月教學(xué)測(cè)試（一）】若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則一定成立的是( ) A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)是奇函數(shù) C．函數(shù)是奇函數(shù) D．函數(shù)是奇函數(shù) 【答案】C 【解析】 試題分析：由題得，函數(shù)滿足，則有，，，，所以根據(jù)奇偶函數(shù)的判斷可得只有選項(xiàng)C是正確的，故選C 7．【北京市順義區(qū)高三第一次統(tǒng)考（理）】已知且，函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是 （ ）

39、 （A） （B） （ C） （ D）[ 【答案】C 【解析】 試題分析：由已知，得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故滿足，解得的取值范圍是． 8. 【廣東省揭陽(yáng)市高三3月高考第一次模擬考試】下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 在區(qū)間上單調(diào)遞增，合乎題意，故選D． 9. 已知是定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集的偶函數(shù)，，，若，則．如果，，那么的取值范圍為 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 10．【上海市松江

40、區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題】已知實(shí)數(shù)，對(duì)于定義在上的函數(shù)，有下述命題： ①“是奇函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”； ②“是偶函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)”； ③“是的一個(gè)周期”的充要條件是“對(duì)任意的，都有”； ④ “函數(shù)與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”的充要條件是“” 其中正確命題的序號(hào)是 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【解析】 試題分析：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性與函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是等價(jià)的，故①

41、正確，同理②也是正確的，那么本題只能選A了，對(duì)于③，我們知道函數(shù)滿足“對(duì)任意的，都有”時(shí)，是周期為的周期函數(shù)，但反過(guò)來(lái)一一定成立，如滿足“對(duì)任意的，都有”時(shí)，也是周期為的周期函數(shù)，③錯(cuò)誤，而函數(shù)與函數(shù)的圖象是關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，而還是軸，故④錯(cuò)誤． 11．【湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)20xx-上學(xué)期高三起點(diǎn)考試12】已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，，若，則的取值集合是__________． 【答案】(- 1 ， 3 )． 12．【20xx南通高三期末測(cè)試】設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)镽，周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；已知函數(shù) 則函數(shù)和的圖象在區(qū)間內(nèi)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ． 【答案】15 【解析】 試題分析：

42、根據(jù)題意可分別在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，如下圖所示，可見(jiàn)它們?cè)趨^(qū)間內(nèi)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為15個(gè)． 13．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 ． 【答案】 14．函數(shù)的定義域?yàn)?，若且時(shí)總有，則稱(chēng)為單函數(shù)．例如，函數(shù)是單函數(shù)．下列命題: ①函數(shù)是單函數(shù)； ②函數(shù)是單函數(shù)； ③若為單函數(shù)，且，則； ④函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性，則一定是單函數(shù)． 其中的真命題是 (寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))． 【答案】③ 【解析】 ①若，則由得，即，解得，所以①不是單函數(shù)．②若則由函數(shù)圖象可知當(dāng)，時(shí)，，所以②不是單函數(shù)．③根據(jù)單函數(shù)的定義可知，③正確．④在在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性，單在整個(gè)定義域上不一定單調(diào)，所以④不一定正確，比如②函數(shù)．故真命題為③．