（課標(biāo)通用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 5 第五節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（一）精練 理.docx

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第五節(jié)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(一) A組　基礎(chǔ)題組 1.(2018廣東廣州一模,12)設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f(x),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)+f(-x)=2x2,當(dāng)x<0時(shí),f(x)+1<2x,若f(a+1)≤f(-a)+2a+1,則實(shí)數(shù)a的最小值為(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-12 B.-1 C.-32 D.-2 答案　A　設(shè)g(x)=f(x)-x2(x∈R),則g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-2x2=0,∴g(x)是奇函數(shù).當(dāng)x<0時(shí),g(x)=f(x)-2x<-1,∴g(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),∴g(x)在R上是減函數(shù). ∵f(a+1)≤f(-a)+2a+1,∴f(a+1)-a2-2a-1≤f(-a)-(-a)2,即f(a+1)-(a+1)2≤f(-a)-(-a)2,即g(a+1)≤g(-a),∴a+1≥-a,即a≥-12.故選A. 2.已知a,b∈R,直線y=ax+b+π2與函數(shù)f(x)=tanx的圖象在x=-π4處相切,設(shè)g(x)=ex+bx2+a,若在區(qū)間[1,2]上,不等式m≤g(x)≤m2-2恒成立,則實(shí)數(shù)m(　　) A.有最小值-e B.有最小值e C.有最大值e D.有最大值e+1 答案　D　∵f(x)=tanx=sinxcosx, ∴f(x)=cos2x-sinx(-sinx)cos2x=1cos2x,∴a=f-π4=2,又點(diǎn)-π4,-1在直線y=ax+b+π2上,∴-1=2-π4+b+π2,得b=-1,∴g(x)=ex-x2+2,g(x)=ex-2x,令h(x)=ex-2x,則h(x)=ex-2,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),h(x)≥h(1)=e-2>0,∴g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,∴g(x)≥g(1)=e-2>0,∴g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,∴m≤g(x)min=g(1)=e+1,m2-2≥g(x)max=g(2)=e2-2,解得m≤-e或e≤m≤e+1,∴m的最大值為e+1,無(wú)最小值,故選D. 3.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文,21,12分)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1. (1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明:當(dāng)a≥1e時(shí),f(x)≥0. 解析　(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f(x)=aex-1x.由題設(shè)知,f(2)=0,所以a=12e2. 從而f(x)=12e2ex-lnx-1,f(x)=12e2ex-1x. 當(dāng)02時(shí),f(x)>0. 所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增. (2)證明:當(dāng)a≥1e時(shí),f(x)≥exe-lnx-1. 設(shè)g(x)=exe-lnx-1,則g(x)=exe-1x. 當(dāng)01時(shí),g(x)>0. 所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn). 故當(dāng)x>0時(shí),g(x)≥g(1)=0. 因此,當(dāng)a≥1e時(shí),f(x)≥0. 4.(2018貴州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)=ax-ex(a∈R),g(x)=lnxx. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)?x0∈(0,+∞),使不等式f(x)≤g(x)-ex成立,求a的取值范圍. 解析　(1)f(x)=a-ex,x∈R. 當(dāng)a≤0時(shí),f(x)<0,f(x)在R上單調(diào)遞減; 當(dāng)a>0時(shí),令f(x)=0得x=lna. 由f(x)>0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,lna); 由f(x)<0得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(lna,+∞). (2)?x0∈(0,+∞),使不等式f(x)≤g(x)-ex, 則ax≤lnxx,即a≤lnxx2. 設(shè)h(x)=lnxx2,則問題轉(zhuǎn)化為a≤lnxx2max, 由h(x)=1-2lnxx3,令h(x)=0,則x=e. 當(dāng)x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)變化時(shí),h(x),h(x)的變化情況如下表: x (0,e) e (e,+∞) h(x) + 0 - h(x) 單調(diào)遞增 極大值12e 單調(diào)遞減 由上表可知,當(dāng)x=e時(shí),函數(shù)h(x)有極大值,也為最大值,最大值為12e.所以a≤12e. B組　提升題組 1.已知函數(shù)f(x)=exx. (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)P2,e22處的切線方程; (2)證明:f(x)>2(x-lnx). 解析　(1)因?yàn)閒(x)=exx, 所以f(x)=exx-exx2=ex(x-1)x2,f(2)=e24, 又切點(diǎn)為2,e22,所以切線方程為y-e22=e24(x-2), 即e2x-4y=0. (2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-2(x-lnx)=exx-2x+2lnx,x∈(0,+∞), 則g(x)=ex(x-1)x2-2+2x=(ex-2x)(x-1)x2,x∈(0,+∞). 設(shè)h(x)=ex-2x,x∈(0,+∞), 則h(x)=ex-2,令h(x)=0,則x=ln2. 當(dāng)x∈(0,ln2)時(shí),h(x)<0; 當(dāng)x∈(ln2,+∞)時(shí),h(x)>0. 所以h(x)min=h(ln2)=2-2ln2>0,故h(x)=ex-2x>0. 令g(x)=(ex-2x)(x-1)x2=0,則x=1. 當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)<0; 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)>0. 所以g(x)min=g(1)=e-2>0,故g(x)=f(x)-2(x-lnx)>0,從而有f(x)>2(x-lnx). 2.(2019河南開封模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+b. (1)討論函數(shù)f(sinx)在-π2,π2內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值,有極值時(shí)求出極值; (2)記f0(x)=x2-a0x+b0,求函數(shù)|f(sinx)-f0(sinx)|在-π2,π2上的最大值D; (3)在(2)中,取a0=b0=0,求z=b-a24滿足條件D≤1時(shí)的最大值. 解析　(1)f(sinx)=sin2x-asinx+b=sinx(sinx-a)+b, -π20,-2<2sinx<2. ①a≤-2,b∈R時(shí),函數(shù)f(sinx)單調(diào)遞增,無(wú)極值. ②a≥2,b∈R時(shí),函數(shù)f(sinx)單調(diào)遞減,無(wú)極值. ③對(duì)于-2

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