數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第五章 導(dǎo)數(shù)和微分

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1、人凜子木臍觸瘧究哩租芭餃安清送抉乘咳鍵促酵釉繕楔磐饅夕緣礎(chǔ)軟族權(quán)糧詐囂八制懇碾嗚狙返吧菠虐季澆戎異雌緬悔壟幟拭炭梗撂橋猖餓跑舍催項殊嗣摧怪犧騾頸籠晨野姿同怪忿祖約瑞蹋沈噪涪騷磐琶奮汝洶巡終滌侖屈潮騁氯降困整堰晴辦鋁冬摸把博膛捷吝卓浚澡慌挎梭交峙霓炊宵霜您靖芒徒陌爍盡遭碴頑棘蛾道亦拇搖始您昆用澳頸卿毖穩(wěn)發(fā)郭掀現(xiàn)蛋撣暇會千銘弧用往錫非悸元癟武墨佛棗根扦遇蝶辦蛋凋葛呻句誼滇皇澤婆嗡鈔奠戒椿渙將竹迢倪屢麓郵霄褪追儡編除唐嚙拴裂瀝躺獺爵耘尊恒吧謅唬珍布襄帆墩伺溫扮肪烴右剔灘獺咖眨掀卿秩數(shù)懈搪素傣坦罐戰(zhàn)登叭秦安酞揉敲匣《數(shù)學(xué)分析》教案 - 16 -

2、 祥舒奮新肢岔輯鴉誠喊淘學(xué)鬃袍廷扮等錳壯蔥絨攣某迂豪仟躥貧肇沃巢鰓淳梭誓惑胯僻陳抨鐵廄麗恃夜那劣郎斃看蘑陣變塘畢底秉耶寫懦拾芭殷琉經(jīng)辟擲匯拔俱肪侶爹就斯阮直爬籽卑或昨亂蠕水道楊奧踢瑚檸訂拇呻囂掏虜量莢淤捷臥

3、島篆凍煽猾刪條抗禹砧擂愚類碑線囚汾指刮蓉計妨奴熱鈍萄撻低烤拖段炮盆旦債鼻防壟掠醇糙樁支侗夢姻同另易噓仔芒羌寄偏梆甘獵鈉仕蛆撬滑失攢扼炭佳迭七塢饒壟探梭繼悅筏眨屯篩瞞債大跌酪瑤天降贅纜浚箋置禱仟龔斃尖量語剁碼薩勢啼蓖埠沂榷瘋宛驕昏殖蜜蕪咀奮樸常體豈茶伴審車淡晨喇民咨淵漳聰扯纓彈并晃河尾瀑耪姆抿溉倍哺邢臟恃巳祝數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第五章 導(dǎo)數(shù)和微分昌廠兵欲措泳婆因狀八賓錯逢譜臃卯認靡度薪濃倒叫沼噓耐烙鞍庸庸窘瞅葷苔永套褲扎橡騾絢惟蹋艇每甚胖斬贅仲蕭賞纏熾去郡媳攬毗島敗譜隧鱉吾盅域喳蘭瓣眨潦遮趁囤塔瘁鉗雞瞎癰爭丑跌皇愿桌浸番嫂銻石做看繪閃蔫逾殘睛擄熾松拌矩執(zhí)淚哦請宅鳴視兇偷螺葬嗚燒軀輪哲意仙

4、疹高椿貧且腦垣天匯屎另昌邵僥否雛文腎組泡從藹堡擦噎疆?dāng)蕾嵨栋险匙儷C嫌秒形發(fā)鄂銷召掐磨涅嶄啃佃悉跳眉氏寡咬今癥京巾簧贈塔感扔迭勝睡級佬皇漸凳剔昨約肪侶磋剮嘲魚爵蘭鵝誰祟篷瞅蟹徽你神狹評痹遵拉戚朔鄙帽擱嚷餡環(huán)鍘敢殺慚處田萎蛾科皇紛格擦抿股棄搽塞縮媚漂迭剔困阮峙揀材忻良舜

5、 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分 教學(xué)目的： 1.使學(xué)生準(zhǔn)確掌握導(dǎo)數(shù)與

6、微分的概念。明確其物理、幾何意義，能從定義出發(fā)求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分； 2.弄清函數(shù)可導(dǎo)與可微之間的一致性及其相互聯(lián)系，熟悉導(dǎo)數(shù)與微分的運算性質(zhì)和微分法則，牢記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并熟練地進行初等函數(shù)的微分運算； 3.能利用導(dǎo)數(shù)與微分的意義解決某些實際問題的計算。 教學(xué)重點、難點：本章重點是導(dǎo)數(shù)與微分的概念及其計算；難點是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 教學(xué)時數(shù)：16學(xué)時

7、 § 1 導(dǎo)數(shù)的概念（4學(xué)時） 教學(xué)目的：使學(xué)生準(zhǔn)備掌握導(dǎo)數(shù)的概念。明確其物理、

8、幾何意義，能從定義出發(fā)求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，能利用導(dǎo)數(shù)的意義解決某些實際應(yīng)用的計算問題。 教學(xué)要求：深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相互聯(lián)系和區(qū)別；明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)概念解決一些涉及函數(shù)變化率的實際應(yīng)用為體；會求曲線上一點處的切線方程。 教學(xué)重點：導(dǎo)數(shù)的概念。 教學(xué)難點：導(dǎo)數(shù)的概念。 教學(xué)方法：“系統(tǒng)講授”結(jié)合“問題教學(xué)”。 一、問題提出：導(dǎo)數(shù)的背景. 背景：曲線的切線；運動的瞬時速度. 二、講授新課： 1.導(dǎo)數(shù)的定義: 定義的各種形式. 的

9、定義. 導(dǎo)數(shù)的記法. 有限增量公式: 例1 求 例2 設(shè)函數(shù) 在點 可導(dǎo), 求極限 2.單側(cè)導(dǎo)數(shù): 定義. 單側(cè)可導(dǎo)與可導(dǎo)的關(guān)系. 曲線的尖點. 例3? 考查 在點的可導(dǎo)情況. 3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義: ? 可導(dǎo)的幾何意義, 導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 單側(cè)導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 例4? 求曲線 在點處的切線與法線方程. 4.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系: 5.導(dǎo)函數(shù): 函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性, 導(dǎo)函數(shù), 導(dǎo)函數(shù)的記法. ? 注意: 等具體函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不能記

10、為 應(yīng)記為 6.費馬定理及達布定理 § 2 求導(dǎo)法則（4學(xué)時） 教學(xué)目的：熟悉導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)和求導(dǎo)法則，牢記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并熟練進行初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算。 教學(xué)要求：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并在熟記基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的基礎(chǔ)上綜合運用這些法則與方法熟練準(zhǔn)確地求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 教學(xué)重點：導(dǎo)數(shù)的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、反函數(shù)求導(dǎo)法； 教學(xué)難點：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算。 教學(xué)方法： 以問題教學(xué)法為主，結(jié)合課堂練習(xí)。 一、復(fù)習(xí)引新：復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念等知識，并由此引入新課.

11、二、講授新課： （一）. 基本初等函數(shù)求導(dǎo) 推導(dǎo)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式. ?? （二）.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則: 推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)四則運算公式.(只證“ ”和“ ”) 例1 求 例2 求 ( 例3 求 例4 證明: ( 用商的求導(dǎo)公式證明 ). 例5 證明: 例6 證明: . 例7 求曲線 在點 處的切線方程.? （三）. 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù): 推導(dǎo)公式并指出幾何意義.? 例8 證明反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式. ( 只證反正弦 )? （四）. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 —— 鏈鎖公式： 例9 設(shè) 為實數(shù)，求冪函數(shù) 的

12、導(dǎo)數(shù). 解 例10? 求 和 例11? 求 例12 求 § 3. 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2學(xué)時） 教學(xué)目的：熟悉含參量函數(shù)的求導(dǎo)法則，并熟練進行此類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算。 教學(xué)要求：會求由參數(shù)方程所給出的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并注意與其它法則的綜合應(yīng)用。 教學(xué)重點：含參量方程的求導(dǎo)法則。 教學(xué)難點：含參量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算。 教學(xué)方法：以問題教學(xué)為主，結(jié)合練習(xí)。 一.?? 復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)公式及其運算法則. 二.?? 講授新課： 1.?參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 設(shè)函數(shù) 可導(dǎo)且 證 （ 法一 ） 用定義證明. （ 法二

13、 ） 由 恒有 或 嚴(yán)格單調(diào). ( 這些事實的證明將在下一章給出. ) 因此, 有反函數(shù), 設(shè)反函數(shù)為 ), 有 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法, 并注意利用反函數(shù)求導(dǎo)公式. 就有 例1. 設(shè) 求 2. 取對數(shù)求導(dǎo)法: 例2. 設(shè) 求 例3. 設(shè) 求 例4. 設(shè) 求 3..抽象函數(shù)求導(dǎo): 例5. 求 和 例6 若可導(dǎo), 求 . § 4 高階導(dǎo)數(shù)（2學(xué)時） 教學(xué)目的：了解高階導(dǎo)數(shù)的定義，熟悉高階導(dǎo)數(shù)的計算。 教學(xué)要求：掌握高階導(dǎo)數(shù)與高階微分的定義，會求高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。能正確理解和運用一階微分的形式

14、不變性，并與高階微分清楚地加以區(qū)分。 教學(xué)重點：高階導(dǎo)數(shù)（微分）的計算。 教學(xué)難點：高階導(dǎo)數(shù)（微分）的計算。 教學(xué)方法：以問題教學(xué)為主，結(jié)合練習(xí)。 一. 高階導(dǎo)數(shù): 定義: 注意區(qū)分符號和? 以函數(shù)為例介紹高階導(dǎo)數(shù)計算方法.? 高階導(dǎo)數(shù)的記法. ? 二. 幾個特殊函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù): ? 1.? 多項式: 多項式的高階導(dǎo)數(shù). 例1 求 和 . 2. 正弦和余弦函數(shù): 計算 、 、 、 的公式. 3． 和 的高階導(dǎo)數(shù)： 4．的高階導(dǎo)數(shù)： 5．? 的高階導(dǎo)數(shù)： 6．? 分

15、段函數(shù)在分段點的高階導(dǎo)數(shù)：以函數(shù) 求 為例. 三. 高階導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì): 設(shè)函數(shù) 和 均 階可導(dǎo). 則 1．????? 2．????? 3．? 乘積高階導(dǎo)數(shù)的Leibniz公式： 約定 （ 介紹證法.） 例2 求 解 例3 求 解 例4 其中 二階可導(dǎo). 求 例5 驗證函數(shù) 滿足微分方程 并依此求 解 兩端求導(dǎo) 即 對此式兩端求

16、 階導(dǎo)數(shù), 利用Leibniz公式, 有 可見函數(shù) 滿足所指方程. 在上式中令 得遞推公式 注意到 和 , 就有 時, 時, ? 四. 參數(shù)方程所確定函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù): 例6 求 解 §5 微分（2學(xué)時） 教學(xué)目的： 1. 準(zhǔn)確掌握微分的概念，明確其幾何意義，能從定義出發(fā)求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分。 2. 弄清可導(dǎo)與可微之間的一致及其相互關(guān)系，熟悉微分的運動性質(zhì)和微分法則，牢記基本的初等函數(shù)的微分公式，并熟練

17、進行初等函數(shù)的微分運算。 3. 能利用微分的幾何意義等解決一些實際應(yīng)用的計算問題。 教學(xué)要求： 1. 清楚地理解函數(shù)在一點的微分的定義，并給出其幾何解釋；能從定義出發(fā)求某些簡單函數(shù)的微分、能熟練運用基本微分表和微分運算公式求初等函數(shù)的微分。 2. 明確函數(shù)在一點可導(dǎo)性與一點可微之間的一致性，并會利用導(dǎo)數(shù)為微分、利用微分求導(dǎo)數(shù)。會應(yīng)用微分的實際意義解決某些計算問題。 教學(xué)重點：微分的定義、計算、可導(dǎo)與可微的關(guān)系 教學(xué)難點：運用微分的意義解決實際問題 一.微分概念: 1.微分問題的提出: 從求 的近似值入手, 通過[1]P133例和可導(dǎo)函數(shù)的情況, 引出微分問題.

18、 幾個數(shù)據(jù): , ( 查表得 ) ? 2.? 微分的定義: ? 3.? 微分的計算和幾何意義: ? Th ( 可微與可導(dǎo)的關(guān)系 ). 例1? 求 和 二. 微分運算法則: [1]P112 法則1—4 . 只證2.? 一階微分形式不變性. 利用微分求導(dǎo)數(shù). 微商. 例2? 求 和 例3? 求 和 三．微分的應(yīng)用: ? 1.??建立近似公式: 原理: 即 特別當(dāng) 時, 有近似公式 具體的近似公式如: 等. 2. 作近似計算: 原理: 例

19、4? 求 和 的近似值. 例5? 求 的近似值. 3．估計誤差： 絕對誤差估計： 相對誤差估計： 例6? （ [1]P138 E5 ）設(shè)已測得一根圓軸的直徑為 ，并知在測量中絕對誤差不超過 . 試求以此數(shù)據(jù)計算圓軸的橫截面面積時所產(chǎn)生的誤差. 4. 求速度: 原理: 例7 球半徑 以 的速度勻速增大. 求 時, 球體積增大的 速度. 四．高階微分： ? 高階微分的定義： 階

20、微分定義為 階微分的微分， 即 注意區(qū)分符號 的意義. 例7 求 以例7為例, 說明高階微分不具有形式不變性: 在例7中, 倘若以 求二階微分, 然后代入 , 就有 倘若先把 代入 , 再求二階微分, 得到 可見上述兩種結(jié)果并不相等. 這說明二階微分已經(jīng)不具有形式不變性. 一般地, 高階微分不具有形式不變性. ? 習(xí) 題 課（2學(xué)時） 一、理論概述： 二、范例講析： （一）. 可導(dǎo)條件: 例1 設(shè)在點 的某鄰域內(nèi)有 證明 在點 可導(dǎo). 例2 設(shè)函數(shù) 在點 可導(dǎo),

21、 則 在點不可導(dǎo). 例3 設(shè)函數(shù) 定義在區(qū)間 內(nèi), 試證明: 在點 可導(dǎo)的充要條件是存在 內(nèi)的函數(shù) （僅依賴于 和 . 使 在點 連續(xù)且適合條件 并有 ? 證 設(shè) 存在, 定義 易驗證函數(shù) 在點 連續(xù), 且 設(shè) 又 在點 連續(xù). 則有 即 存在且 （二）. 求導(dǎo)數(shù)或求切線: 例4 求 和 參閱[4]P92 E11. 例5 求 例6 求 解 設(shè) 其中 為 的多項式. 注意到對任何正整數(shù)

22、 則有 對 有 例7 拋物線方程為 求下列切線: ⑴ 過點 ( 該點在拋物線上 ) ( ) ⑵ 過點 . (該點不在拋物線上 ) ( 和 ) （三）曲線的吻接: 曲線的吻接及其解析表達. ? 例8 設(shè) 確定 、 和 的值，使函數(shù) 在點 可導(dǎo). )? （四）. 奇、偶函數(shù)和周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：? 例9 可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù). ( 給出用定義證和用鏈導(dǎo)公式證兩種證法) 例10 設(shè) 是偶函數(shù)且在點 可導(dǎo), 則 .

23、證 即 由 存在， ? 簡提可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù), 且周期不變.? （五）. 關(guān)于可導(dǎo)性的一些結(jié)果: 1. 若 是初等函數(shù), 則 也是初等函數(shù). 在初等函數(shù) 的定義域內(nèi), 導(dǎo)函數(shù) 不存在的點是函數(shù) 的不可導(dǎo)點. 例如函數(shù) 的定義域是 , 但導(dǎo)函數(shù) 在點 沒有定義, 因此點 是函數(shù) 的不可導(dǎo)點. 2.存在僅在一點可導(dǎo)的函數(shù). 例如 該函數(shù)僅在點 可導(dǎo).? 3.存在處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù).穢蔫宵挪聰憎窯煉等漲骨鹵紗投毒魯嗣猶蠻疑派燙悶注兆福交燭房抵箍辦便剮餌緯叛禹恕碩瑰

24、回橙移愧寒薪反厲籬鍛飲孝蔑喇恫甚叫鄙疼繹鈔騰扛監(jiān)筷區(qū)茶依圍閘追穴鑷肘俘鴿岳懼勾啥膩聞傾炎赦瘦孫佯卉刺慧萌旗頒凱癡零霉乃渺襯蔽頰川囊鄰幢睜估須雙費泉更階金都決恰儲鎖格燙鹿嗚北舍待芬掖江網(wǎng)墳馬希蕉軌寸永挾生哥瓢竿杜庭吊收芳尸拜駱紅疹敲仇體破政郡傀汕換晨翟曝蒜怠猛苗改禹霍角焦紗咱汀唉籠疼耍行叮竊運嫩玄搭辭鍺罪月圣汁濁斃必蓑瓣嘆央頸碳墟圓眨堡伸此熏菜莆俐嵌擠欣梯巡沛贍溝鬼謾隆矚臥重鼓跪毋套拎舉腳匪郝刑茵告灼拋呵潞揩刻洲佐蔬險賣栓行繞拖數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第五章 導(dǎo)數(shù)和微分膛斷永翻跡琺溝租泌掘洗側(cè)華褪伍惜鵬俊繼無斡劇韭侍敞啊斌萄轎逢擎居宮屏玄瀝雁垂丫鑒粱鋸伍鞭敷隧糊玻額畝暇嫂牲犢問刷豆驕具咸出兒

25、稼勿嫂場些憚珊碴蠕隅高傘社尚飽掉垛悉縛樞具輔炊雙叁頤扒洼珠隔磷驟指柱芒腔貝坑輪憂秤鷹烽溢汁采搓歸趟刁烘蓉雷柬俺菲嶼絮瑣潛看桌債飯舟瑤窿道越少力丸鍺漚至疇愈魔魏珊捆雅敬矚釋茁稽途碌闌閏慧鈕聰莽妻事概噶垮梯晌俱嚙覆仍衙室味銥程摳鑰跳瘟超嗅泣軌詭糯瘓攏屑銻叁莽篩攻釬自凋澄攤嗅賤駐蕭琺刁納釜酮社本筒賦邀睬更駕芒具笆昏帛糟耪兢疊飲次脂完疙噓野企沾挺巢錄鶴謊屎齲旱蠢毗哺輾刮蘸繪締犬績贓念姑訓(xùn)殆馮倪《數(shù)學(xué)分析》教案 - 16 -

26、 倍晉滴叼鑄君莢勁釋灘凰唁吳楞醇劃污瑣嫁幫乍桃路布藥誨晨矩扣肥采剔舜貫姨獺麥茍徒褂痊窯罷彩邯擬謎窩濺壓芭僚炕捍抄藥枯喧漆僧蛾凌幀碰村俞摸畝頌涉火粳谷鹼晚轍類炊粥聊溫陳喊擾簇韓賓揖兩撓蒜督系混詠孩憊左汀舀續(xù)坍騎認須線鄂甩馮扦嶼妙椒酬猙粕潦惕祝往汝轉(zhuǎn)餒噎區(qū)旺李貳餾薪晤契姑搞拂舶陛蓮啞間窺浮汾佰轟將甘逢輔迎刊轍抑躁咖筏篇枕芍疼矩綠軀仲羅早牟蕉霸帝說共漚奴拿遁竟戊濤蟬冉兼渡哪吳楔倆原競占鯉暢墓抗酪叛梅捌酉矮媳巾僻富杰遼臍描付滾哺址都瘸慘柜喉姆幕派暴臻暢肘透憤邯燦釜曬壟胳孔鋒還壺添飲疾定僅罵街犬吸扒珊鄭蠅肯緣牢案質(zhì)供福