新版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第14篇 第2節(jié) 證明不等式的基本方法

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1、 1

2、 1 第十四篇 第2節(jié) 一、填空題 1.若a>b>c,則與的大小關(guān)系為________. 解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0, ∴<. 答案:< 2.若a>b>1,則a+與b+的大小關(guān)系是________. 解析:a+-=a-b+=. 由a>b>1得ab>1,a-b>0, 所以>0. 即a+>b+. 答案:a+>b+ 3.若0<α<β<,sin α

3、+cos α=a,sin β+cos β=b,則a與b的大小關(guān)系是________. 解析:a2=1+sin 2α,b2=1+sin 2β, 又0<2α<2β<, ∴sin 2α0,b>0,a≠b,A=f,B=f(),C=f,則A、B、C中最大的為________. 解析:∵a>0,b>0,a≠b, ∴>>, 又函數(shù)f(x)=x在R上單調(diào)遞減, ∴f0,y>0,z>0),則P與3的大小關(guān)系為_

4、_______. 解析:∵1+x>0,1+y>0,1+z>0, ∴++<++=3.即P<3. 答案:P<3 6.設(shè)x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,則a、b應(yīng)滿足的條件是________. 解析:x-y=(a2b2+5)-(2ab-a2-4a)=(ab-1)2+(a+2)2>0, ∴ab-1≠0或a+2≠0, 故a,b滿足的條件為ab≠1或a≠-2. 答案:ab≠1或a≠-2 7.已知a>b>c,n∈N*,且+≥恒成立,則n的最大值為________. 解析:∵a-c>0, ∴n≤+=+=2++恒成立, ∵a-b>0,b-c>0, ∴+≥2=2.

5、∴n≤4.即n的最大值為4. 答案:4 8.設(shè)x>5,P=-,Q=-,則P與Q的大小關(guān)系為________. 解析:-=-=-=+--<0. ∴<, 又∵P>0,Q>0, ∴P>Q. 答案:P>Q 9.已知a>0,b>0,a+b=1,則+的最大值為________. 解析:(+)2 =a+1+b+1+2 =a+b+2+2 ≤3+2× =6. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號成立. 即(+)2≤6, 故+≤. 答案: 10.某品牌彩電廠家為了打開市場,促進(jìn)銷售,準(zhǔn)備對其生產(chǎn)的某種型號的彩電降價(jià)銷售,現(xiàn)有四種降價(jià)方案: (1)先降價(jià)a%,再降價(jià)b%; (2)先降價(jià)b%

6、,再降價(jià)a%; (3)先降價(jià)%,再降價(jià)%; (4)一次性降價(jià)(a+b)%. 其中a>0,b>0,a≠b,上述四個(gè)方案中,降價(jià)幅度最小的是________. 解析:設(shè)降價(jià)前彩電的價(jià)格為1,降價(jià)后彩電價(jià)格依次為x1、x2、x3、x4. 則x1=(1-a%)(1-b%) =1-(a+b)%+a%·b% x2=(1-b%)(1-a%)=x1, x3= =1-(a+b)%+[(a+b)%]2, x4=1-(a+b)%<1-(a+b)%+a%·b%=x1=x2, x3-x1=2-a%·b%>0, ∴x3>x1=x2>x4. 答案:方案(3) 二、解答題 11.在△ABC中,∠

7、A,∠B,∠C的對邊分別是a、b、c,若a、b、c三邊邊長的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證∠B<90°. 證明:假設(shè)∠B<90°不成立, 即∠B≥90°, 從而∠B是△ABC的最大角, ∴b是△ABC的最大邊, 即b>a,b>c. ∴>,>, 相加得+>+=. 這與已知+=矛盾, 故∠B≥90°不成立, 從而∠B<90°. 12.若正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求證: (1)a2+b2+c2≥; (2)++≥. 證明:(1)∵1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3(a2+b2+c2), ∴a2+b2+c2≥. (2)∵(a+1+b+1+c+1) ?。?++++++≥9. ∴++≥=.

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